高中数学必修4知识点清单.pdf

1 高中数学必修高中数学必修 4 知识点知识点 第一章第一章 三角函数三角函数 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 象限的角 在直角坐标系内 顶点与原点重合 始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边落 在第几象限 就是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上 这个角不属于任何 象限 叫做轴线角轴线角 第一象限角的集合为 36036090 kkk 第二象限角的集合为 36090360180 kkk 第三象限角的集合为 360180360270 kkk 第四象限角的集合为 360270360360 kkk 终边在x轴上的角的集合为 180 kk 终边在y轴上的角的集合为 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 3 与角 终边相同的角 连同角 在内 都可以表示为集合 Zkk 360 4 弧度制 1 定义 等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用弧度做单位叫弧度制 半径为r的圆的圆心角 所对弧的长为l 则角 的弧度数的绝对值是 l r 2 度数与弧度数的换算度数与弧度数的换算 2360o 180 rad 1 rad 185730 57 180 注 注 角度与弧度的相互转化 设一个角的角度为 o n 弧度为 角度化为弧度 180180 n nn o oo 弧度化为角度 o o 180180 3 若扇形的圆心角为 是角的弧度数 半径为r 则 弧长公式 180 用度表示的 n l 用弧度表示的 rl 扇形面积 360 2 用度表示的 扇 rn s lrrS 2 1 2 1 2 扇 用弧度表示的 2 5 三角函数 1 定义定义 设 是一个任意大小的角 的终边上任意一点 的坐标 是 x y 它与原点的距离是 22 0r OPrxy 则sin y r cos x r tan0 y x x 定义 定义 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 那么 v 叫做 的正弦 记作 sin 即 sin y u 叫做 的余 弦 记作 cos 即 cos x 当 的终边不在 y 轴上时 x y 叫做 的正切 记作 tan 即 tan x y 2 三角函数值在各象限的符号 口诀 全正 口诀 全正 S S 正 正 T T 正 正 C C 正 正 口诀 第一象限全为正 二正三切四余弦 3 特殊角的三角函数值 的角度的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 的弧度 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 0 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 的角度 210 225 240 270 300 315 330 360 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 P x y y xo sin x y O x y cos O tan x y O P x y y x o 3 4 三角函数线 如下图 5 同角三角函数基本关系式 平方关系 1cossin 22 商数关系 cos sin tan 6 三角函数的诱导公式 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 口诀 终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin coscos tantan 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 5 sin 2sin cos 2cos tan 2tan 口诀 函数名称不变 正负看象限 6 sincos 2 cossin 2 tancot 2 7 sincos 2 cossin 2 tancot 2 口诀 正弦与余弦互换 正负看象限 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限 即将括号里面的角拆成即将括号里面的角拆成 2 k 的形式 的形式 4 7 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 函 数 sinyx cosyx tanyx 图 象 定 义 域 R R 2 x xkk 值 域 值域 1 1 当2 2 xk k 时 max 1y 当2 2 xk k 时 min 1y 值域 1 1 当 2xkk 时 max 1y 当2xk k 时 min 1y 值域 R 既无最大值也无最小值 周 期 性 sinyx 是周期函数 周期为 2 TkkZ 且0k 最小正周期为2 cosyx 是周期函数 周期 为2 TkkZ 且0k 最小正周期为2 tanyx 是周期函数 周 期 为 TkkZ 且 0k 最小正周期为 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2 2 22 kk k 上是增函数 在 3 2 2 22 kk k 上是减函数 在 2 2kkk 上 是增函数 在 2 2kk k 上是减函数 在 22 kk k 上是增函数 对 称 性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 5 8 1 sinyxb 的图象与xysin 图像的关系 振幅变换 xysin xAysin 周期变换 xysin xy sin 相位变换 xysin sin xy 平移变换 sin xAy sinyxb 注 函数xysin 的图象怎样变换得到函数 sinyAxB 的图象 两种方法 先平移后伸缩 先平移后伸缩 sinyx 平移 个单位 sinyx 左加右减 纵坐标不变 s in xy 横坐标变为原来的 1 倍 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移 B个单位 sinyAxB 上加下减 先伸缩后平移 先伸缩后平移 sinyx 纵坐标不变 xy sin 横坐标变为原来的 1 倍 平移 个单位 sin xy 左加右减 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移 B个单位 sinyAxB 图象整体向左 0 或向右 0 平移 个单位 图象上每个点的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍 纵坐标不变 图象整体向上 0 b 或向下 0 b 平移b个单位 6 上加下减 2 函数 0 0 sin AbxAy的性质 振幅 周期 2 频率 1 2 f 相位 x 初相 定义域 R 值域 Ab Ab 当2 2 xk k 时 max yA b 当2 2 xk k 时 min yAb 周期性 函数 0 0 sin AbxAy是周期函数 周期为 2 T 单调性 x 在2 2 22 kk k 上时是增函数 x 在 3 2 2 22 kk k 上时是减函数 对称性 对称中心为 0 k k 对称轴为x 2 kk 第二章第二章 平面向量平面向量 1 向量定义 既有大小又有方向的量叫做向量 向量都可用同一平面内的有向线段表示 2 零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作0 零向量的方向是任意的 3 单位向量 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量 与向量a平行的单位向量 a a e 4 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量 记作ba 规定0与任何向量平行 5 相等向量 长度相同且方向相同的向量叫相等向量 零向量与零向量相等 注意 注意 任意两个相等的非零向量 都可以用同一条有向线段来表 示 并且与有向线段的起点无关 6 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相接 平行四边形法则的特点 起点相同 b a C abCC 7 运算性质 交换律 abba 结合律 abcabc 00aaa 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 7 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 设 两点的坐标分别为 11 x y 22 xy 则 2121 xx yy 8 向量数乘运算 实数 与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作a aa 当0 时 a 的方向与a的方向相同 当0 时 a 的方向与a的方向相反 当0 时 0a 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设 ax y 则 ax yxy 9 向量共线定理 向量 0a a 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使ba 设 11 ax y 22 bxy 其中0b 则当且仅当 1221 0 x yx y 时 向量a 0b b 共线 10 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内 的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使 1 122 aee 不共线不共线的向量 1 e 2 e作为 这一平面内所有向量的一组基底 11 分点坐标公式 设点 是线段 12 上的一点 1 2 的坐标分别是 11 x y 22 xy 当 12 时 点 的坐标是 1212 11 xxyy 12 平面向量的数量积 8 定义 cos0 0 0180a ba bab 零向量与任一向量的数量积为0 性质 设a和b都是非零向量 则 0aba b 当a与b同向时 a ba b 当a与b反向时 a ba b 2 2 a aaa 或aa a a ba b 运算律 a bb a aba bab abca cb c 坐标运算 设两个非零向量 11 ax y 22 bxy 则 1212 a bx xy y 若 ax y 则 2 22 axy 或 22 axy 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 0abx xy y 设a b都是非零向量 11 ax y 22 bxy 是a与b的夹角 则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 第三章第三章 三角恒等变形三角恒等变形 1 同角三角函数基本关系式 平方关系 1cossin 22 商数关系 cos sin tan 倒数关系 1cottan 2 2 2 tan1 tan sin 2 2 tan1 1 cos 注意 注意 tan cos sin 按照以上公式可以 知一求二 2 两角和与差的正弦 余弦 正切 S sincoscossin sin S sincoscossin sin C sinsincoscos cos a C sinsincoscos cos a T tantan1 tantan tan T tantan1 tantan tan 正切和公式 tantan1 tan tantan 9 3 辅助角公式辅助角公式 x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 sin sincoscos sin 2222 xbaxxba 其中 称为辅助角 的终边过点 ba a b tan 4 二倍角的正弦 余弦和正切公式 2 S cossin22sin 2 C 22 sincos2cos 1cos2sin21 22 2 T 2 tan1 tan2 2tan 二倍角公式的常用变形 二倍角公式的常用变形 sin 22cos1 cos 22cos1 sin 2cos 2 1 2 1 cos 2cos 2 1 2 1 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 2cossincos 44 降次公式 降次公式 2sin 2 1 cossin 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 5 半角的正弦 余弦和正切公式 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 6 同角三角函数的常见变形 活用 同角三角函数的常见变形 活用 1 1 22 cos1sin 2 cos1sin 22 sin1cos 2 sin1cos 2sin 2 cossin sincos cottan 22 10 2cot2 2sin 2cos2 cossin sincos tancot 22 2sin1cossin21 cos sin 2 cossin 2sin1 7