2017_18学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系学案含解析.docx

11.2集合间的基本关系子集提出问题具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.导入新知子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC化解疑难对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB.例如0,11,0,1，则00,1，01，0,1(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作AB或BA.(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如0N，而不能写成0N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N.集合相等提出问题设Ax|x是有三条边相等的三角形，Bx|x是等边三角形问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是是.导入新知集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.化解疑难对两集合相等的认识(1)若AB，且BA，则AB；反之，如果AB，则AB，且BA.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证AB与BA同时成立即可(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.真子集提出问题给出下列集合：Aa，b，c，Ba，b，c，d，e问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：AB.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中导入新知真子集的概念定义如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB且BC，则AC；(2)AB且AB，则AB化解疑难对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.空集提出问题一个月有32天的月份组成集合T.问题1：含有32天的月份存在吗？提示：不存在问题2：集合T存在吗？是什么集合？提示：存在是空集导入新知空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，(2)A，则A化解疑难与0的区别(1)是不含任何元素的集合；(2)0是含有一个元素0的集合，0集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3D4(2)指出下列各组集合之间的关系：A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解(1)选B对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是含有两个元素0与1的集合，而(0,1)是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以0,1与(0,1)不相等；对于，0与0是“属于与否”的关系，所以00故是正确的(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.类题通法判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍活学活用已知集合Mx|x1a2，aN*，Px|xa24a5，aN*，则M与P的关系为()AMP BMPCPM DMP解析：选D对于任意xM，x1a2(a2)24(a2)5，aN*，a2N*，xP，由子集定义知MP.1P，此时a24a51，即a2N*，而1M，1a21在aN*时无解综合知，MP.有限集合子集的确定例2(1)已知集合Ax|0x3且xN，则A的真子集的个数是()A16 B8C7 D4(2)满足1,2M1,2,3,4,5的集合M有_个解析(1)Ax|0x3且xN0,1,2，集合A的真子集的个数为2317.(2)由题意可得1,2M1,2,3,4,5，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5；含有四个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；含有五个元素：1,2,3,4,5故满足题意的集合M共有7个答案(1)C(2)7类题通法公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集(2)含n个元素的集合有(2n1)个真子集(3)含n个元素的集合有(2n1)个非空子集(4)含有n个元素的集合有(2n2)个非空真子集(5)若集合A有n(n1)个元素，集合C有m(m1)个元素，且ABC，则符合条件的集合B有2mn个活学活用已知集合AxN|1x3，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合解：这样的集合共有3个xN|1x30,1,2，A0,1,2且A中至少有一个元素为奇数，当A中含有1个元素时，A可以为1；当A中含有2个元素时，A可以为0,1，1,2.集合间关系的应用例3已知集合Ax|x4，Bx|2axa3若BA，求实数a的取值范围解当B时，只需2aa3，即a3；当B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a4或2a3.综上可得，实数a的取值范围为a|a2类题通法利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集活学活用已知集合Ax|1ax2，Bx|1x0时，A.又Bx|1x1且AB，如图作出满足题意的数轴：a2.当a2m1，即m5；当B时，解得即m.故实数m的取值范围是m|m52在本例中，若将“AB”改为“AB”，求实数m的取值范围解：AB，两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致3若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：已知集合Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围解：Ax|x24x00，4，BA，B或B0或B4或B0，4当B时，方程x22(a1)xa210无实数根，则0，即4(a1)24(a21)0.a2，即a的取值范围是a|a2(2)若B是A的子集，即BA，则a2，即a的取值范围是a|a2(3)若AB，则必有a2.课时达标检测一、选择题1设集合M，N，kZ，则正确的是()AMN BMNCMN DM与N的关系不确定解析：选B集合M中的元素x(kZ)，集合N中的元素x(kZ)，而2k1为奇数，k2为整数，因此MN.2已知集合Mx|x，xZ，则下列集合是集合M的子集的为()AP3,0,1BQ1,0,1,2CRy|y1，yZDSx|x|，xN解析：选D先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系集合M2，1,0,1，集合R3，2，集合S0,1，不难发现集合P中的元素3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素3M，而集合S0,1中的任意一个元素都在集合M中，所以SM，且SM.3已知集合Px|x21，Qx|ax1，若QP，则a的值是()A1 B1C1或1 D0,1或1解析：选D由题意，当Q为空集时，a0；当Q不是空集时，由QP，知a1或a1.4已知非空集合P满足：P1,2,3,4,5，若aP，则6aP，符合上述条件的集合P的个数是()A4 B5C7 D31解析：选C由aP,6aP，且P1,2,3,4,5可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为3，1,5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,5,2,4，1,2,3,4,5，共7个5已知集合M(x，y)|xy0和P(x，y)|x0，y0，那么()APM BMPCMP DMP解析：选CMP.二、填空题6设x，yR，A(x，y)|yx，B(x，y)1，则A，B的关系是_解析：B(x，y)|yx，且x0故BA.答案：BA7图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为_；B为_；C为_；D为_解析：由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文答案：小说文学作品叙事散文散文8已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为_解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax22xa0(aR)仅有一个根当a0时，方程化为2x0，x0，此时A0，符合题意当a0时，224aa0，即a21，a1.此时A1，或A1，符合题意a0或a1.答案：0,1，1三、解答题9由“2，a，b”三个元素构成的集合与由“2a,2，b2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值解：根据集合相等，有或解得或或再根据集合元素的互异性，得或10已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且BA，求实数a组成的集合C.解：由x23x20，得x1，或x2.A1,2BA，对B分类讨论如下：若B，即方程ax20无解，此时a0.若B，则B1或B2当B1时，有a20，即a2；当B2时，有2a20，即a1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C0,1,211设集合A1,3，a