高考数学 题根选载20 多面体向四面体寻根.doc

高中数学题根选载题根20.多面体，向四面体寻根我国恢复高考始于1977年，可是高考数学中的立体几何试题，却是1979年开始面世。就是那道试题，向全国教育战线发出了重大信息：培养学生的空间想象能力是中学数学教育的极其重要的任务，而学好立体几何，则应从最简单的几何图形四面体开始。一.题根案例【根题】（1979，全国卷，六题）设三棱锥v-abc中，avb=bvc=cva=直角求证：abc是锐角三角形【证法1】如图1-1，作vdbc于d ，vbc中bvc=90.点d必在斜边bc上。vavb且vavc,va平面vbc，故vabc.所作bcvd,bc平面vad,从而bcad。故abc,acb为锐角，同理bac为锐角，故abc为锐角三角形.【证法2】建立如图1-2的空间直角坐标系，设，有，故bac为锐角，同理abc,bca为锐角，故abc为锐角三角形.评注：在1979年的条件下，向量知识还远未进入中学数学。那时本题的另一标准证法是利用余弦定理，即在设abc的3边依次为的条件下，证明每个角的余弦之值为正。可惜的是，那时能够顺利证明这道题的考生实在太少。二、理论基础1.空间不共面的4点确定一个四面体。每个四面体必定有4个顶点，6条棱和4个三角形表面。2.一个表面是正三角形，另一个顶点在此表面的射影是此正三角形中心的四面体，叫做正三棱锥。正三棱锥的3个侧面都是等腰三角形；3.侧棱与底面边长相等的正三棱锥，叫做正四面体。正四面体的每个表面都是正三角形；4.将一个长方体任意截下一个角块如图2，我们称截得四面体为“直角四面体”。直角四面体具有如下性质：（1）它的3条侧棱两两垂直，从而3个侧面也两两垂直；（2）它的底面三角形abc必定是锐角三角形；（3）它的3组对棱都互相垂直；（4）如果它的侧棱，则它的体积。（5）如果它的3个侧面积依次为底面积为，那么。这个结论是2005年高考全国文科卷一道考题的答案，可视为勾股定理在空间的推广。（6）如果它的侧棱底面上的高为那么。以上（5），（6）两结论的证明，请参看本书题根27：“连年勾股，连年风流”。5.正方体中的四面体.如图3，依次连结正方体abcd-efgh的4个顶点a,c,f,h,即将原正方体分割为5个四面体。其中分别以b,d,e,g为一个顶点的四面体都是直角四面体，而6条面对角线组成的四面体acfh，则是正四面体。图3若设正方体的棱长为则其体积为，每个直角四面体的体积都是，所以这个正四面体的体积.反之，若设正四面体acfh的棱长为则正方体的棱长为，其体积，于是.如同边长为的正三角形面积为一样，棱长为的正四面体体积必定是.以上说明，正四面体无非是正方体的一个“零件”，同样，任何四面体都可以看成某多面体的一个“零件”.于是我们认定：多面体的根在四面体。学好空间几何，应当从学好四面体开始。三、考场精彩【题1】（2005， 全国卷，1 5题）如图4-1，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且、均为正三角形，efab，ef=2，则该多面体的体积为（ ）【解析】如图4-2，延长ea、fb交于g，又延长fc、ed交于h，由三角形中位线性质知：多面体efgh是棱长为2的正四面体，其体积评注：本题是当年高考中，难倒大批考生的“大难题”。一般考生都是采用割补法作的，其计算量之大让人苦不堪言。本解看出原多面体只不过是正四面体的一个“零件”，以下的计算就简便多了。【题2】（2013.江苏卷，8题）在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .【解析】如图5，连显然面def是三棱锥的中截面，从而, 即。评注：在平面几何中，两相似三角形的面积比等于其相似比的平方。这一结论推广到空间：两相似三棱锥的体积比等于其相似比的立方。图5中，由于d,e,f分别是的中点，所以三棱锥a-def与a-bca1可视为相似三棱锥，其相似比为。【题3】（2008年武汉市二月调考）在四面体abcd中，三组对棱长分别相等且依次为.则此四面体abcd的外接球的半径r为（ ）【解析】如图6，将这个四面体abcd置于长方体aebf-gchd之中,那么该四面体与长方体有同一个外接球,且球半径等于该长方体的体对角线之半.设此长方体的三度（即长、宽、高度）依次为.令于是这个长方体的体对角线之长，从而所求外接球的半径.选c.评注：图6的长方体中去掉4个直角四面体后，得到一个“对角线四面体”，从长方体中分离出这个“对角线四面体”并不难，难的是将原题中的“对角线四面体”复原成长方体。是一种“逆向思维”，是破解一些难题的重要手段。【题4】（2010.辽宁卷.12题）有4根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这6根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）【解析】长为a的这两根直铁条，有且仅有两种焊接方法：（1）焊接成共一端点；（2）焊接为一组对棱.如图7-1，bc=bd=a.则在bcd中，bc+bdcd,即有a1;abc中，ab+acbc,即有a4.于是得：1a4 （1）取cd中点m，连am,bm.则amcd,bmcd.且.abm中bm+amab,即又bmab+am,即,。综合得 （2）再综合（1），（2），取交集得 ： （3）如图7-2,ad=bc=a,取bc中点m,连am,dm,则ambc,dmbc,且.amd中,am+dmad,即 （4）最后综合（3）（4），取并集：，故选a评注：1.不是任意6条线段都能够连成四面体。它们能连成四面体的必要条件是：任一表面和中截面的3条线段都符合“任意两条之和大于第3条”。2.由两个具有公共底边的等腰三角形组成的四面体，具有等腰三角形的类似性质，即中截面abm垂直平分其公底。这是解题中重要的隐含条件，我们不妨称这样的四面体为“等腰四面体”。【题5】（2010江西理数16题）如图8，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【解析】在图8中，设取bc中点m,连am,om.则aom中aom=90.同理：于是，于是评注：本解的思路是：先写出，的解析式，再用求差比较法比较其大小四、题根拓展1.四面体，向多面体拓展【题1】（2010.全国ii卷.11题）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（）（a）有且只有1个 （b）有且只有2个 （c）有且只有3个 （d）有无数个【解析】正方体有8个顶点.3条两两异面的棱占用其中6个顶点，所以我们优先考察其他两个顶点.如图9，设正方体棱长为1.显然点d,与b1到直线ab, 、所在直线的距离相等（都是1）.因而我们猜测：,直线d b1上任意一点到这3条直线的距离都相等.以下给出证明：建立如图的空间直角坐标系，则直线d b1上任意一点可记为.依次作peab于e,pfcc1于f,pga1d1于g.则有.那么可见点p符合条件.所以符合题设条件的点有无穷多. 故选d.评注：根据这个分析，我们还可推出，当且仅当时，这个距离的最小值为.此时点p位于正方体的中心.2.四面体，向外接球拓展【题2】（湖北省黄冈市名校2010年高三数学模拟试题（4），12题）如图10-1，在正三棱锥sabc中，m、n分别为棱sc、bc的中点，并且ammn，若侧棱长sa=，则正三棱锥sabc的外接球的表面积为（ ）a9 b12 c16 d32【解析】既然sabc是正三棱锥，必有sbac（为什么？），.mn是sbc的中位线，mnsb. 已知，故sb平面sac,故知此三棱锥为直角四面体。如图10-2，将此直角四面体补成正方体ascd-ebfp，则此正方体与原三棱锥同一个外接球，其直径为：，半径，故所求外接球表面积（平方单位）,故选a.评注：本题是湖北省黄冈地区的传统命题。由于其构思的精妙，凡“看”不到 “直角四面体”这个隐含条件的考生，无不陷入繁杂的计算而难以自拔. 华中师大于2008和2009年主编的数学通讯特辑的第12卷中，曾连续两年推出同类型的试题是：如图10-3所示，在正三棱锥abcd中，e、f分别是ab、bc的中点efde，若bc=a,则正三棱锥abcd的体积为 ( )a.a b.a3 c.a3 d.本题答案为b,读者不妨一试。3.非特殊图形向特殊图形拓展 【例3】如图11-1.正四面体abcd的3个顶点分别在两两互相垂直的3条射线ox,oy,oz上,点e在棱cd上，则以下结论：1.oa=ob=oc; 2.aboe; 3.ob平面acd; 4.直线ad与ob成45角； 5.二面角d-ob-a为45.其中正确结论的序号是 【解析】显然aobboccoa,oa=ob=oc;如图11-2，将原形补成正方体oamb-cndp, 连结om,由abom且aboc,知ab平面ocdm.但是平面ocdm,aboe,obam,而am与平面acd有公共点a,ob与平面acd不平行,（根据：两平行线之一与一个平面相交时，另一条亦必与该平面相交）四边形andm是正方形,dam=45，而 obam,直线ad与ob亦成45角；连结on,ndob,且ob平面ocna,noa是二面角d-ob-a的平面角.noa=45，即二面角d-ob-a为45，综上，题中正确结论的序号是1，2，4，5.仅有结论3是不正确的.评注：有了两两垂直的3条直线，即想到构造正方体（或长方体）。于是将原来的正四面体作为该正方体的“一个零件”，问题也就好处理了。这仍然叫做“逆向思维”。4.空间几何向解析几何拓展【例4】正方体abcd-a1b1c1d1中，m,n分别为bb1和b1c1的中点，p为平面dmn内满足到点d与平面bb1c1c等距离的动点.则点p的轨迹是（ ）a.抛物线 b.双曲线 c.椭圆 d.圆【解析】如图12，过d,m,n的长方体截面是五边形dgmnh.设p为此截面内满足轨迹条件的点.连pd,作pq平面bb1c1c于q,则pd=pq.作qrmn于r,连pr，mn平面pqr, mnpr.设二面角d-mn-c的大小为. pqr中pqr=90,pqpr. 于是为常数, 即圆锥曲线的离心率.所求轨迹为椭圆.选c.评注：判断圆锥曲线的类型，需考察动点到定点与定直线的距离之比，也就是其离心率。5.投影公式之应用【例5】（2013.辽宁卷，18题）如图13，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点. （i）求证：平面pac平面pbc; （ii）若，求二面角的余弦值. 【解析】（i）已知pa平面abc，pabc;已知ab为圆的直径，acbc,故bc平面pac.但bc平面pbc，平面pac平面pbc（ii）直角三角形abc中，ac=1.ab=2,abc=30，作cdab于d,则.设所求二面角为,注意到pbd是pbc在平面pab上的射影，且而，故.评注：求二面角的大小是空间几何中的难点之一。有条件时用投影公式求其余弦是一个不错的选择：如果平面与交成角，且内某图形的面积为s，其在内投影面积为，那么.小结： 1.四面体是一切多面体都存在的“零件”，所以掌握四面体，是掌握其他多面体的基础；2.掌握四面体，需首先掌握四面体的几种特殊形式，即正四面体，等腰四面体和直角四面体；3.特别留心四面体中的隐含条件：若将其置入某特殊多面体之中，极可能找到最佳的解题方法。五、题根精练1.（2012. 江苏卷，7题）.如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=3cm,aa1=2cm,则四棱锥a-bb1d1d的体积为 cm32.（2010陕西文数。8题） 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a.2b.1c.d.3.将一个钢球置于长为的正四面体的铁丝架内,则这个钢球的最大体积为（ ）4.已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为（）(a) (b) (c) (d) 5.（06江西卷第20题）.如图，在三棱锥a-bcd中，侧面acd,abd是全等的直角三角形ad是公共的斜边，且另一个侧面abc是正三角形. （）求证：；（）求二面角bacd的余弦；（）在线段ac上是否存在一点e，使ed与面bcd成角？若存在，确定e的位置；若不存在，说明理由.参考答案1.三棱柱abd-a1b1d1的体积直角四面体aa1b1d1的体积故所求体积为.2.这个几何体是如图的三棱柱，底面直角三角形的面积为，高为，故其体积，选b.3.符合题设条件的球必须与四面体的6条棱都相切.根据球的对称性，只需使这个球与四面体的一组对棱相切.所以一组对棱间的距离就是这个球的直径.如图，分别取ab,cd的中点n，m.连结amb,连mn.则mn之长即为异面棱ab,cd的距离.当四面体棱长为时，mn=1.于是这个球的最大体积是.故选b.4.b.如图，过cd作球o的大圆,设ab交此大圆面于m.连mo并延长交cd于n. 为使四面体abcd体积最大,必须ab平面mcd,且mncd.根据平面几何中的垂径定理,此时m,n分别弦ab,cd的中点.连oa,od,则oa=od=2,则此四面体的最大体积为.5. 提示：考察题设数据，这个四面体会是什么特殊多面体的一个重要“零件”？（）如解图1，将原图补成正方体hcdbagfe，显然，符合题设的全部条件.连hd，则hdbc. 又bcahbc平面ahd,故bcad（不补形的做法：取bc中点h，则bcdh，bcah，线面垂直即可）（）如解图2