分类讨论在数学教学中的应用.doc

目 录中文摘要2外文摘要31分类讨论思想方法的含义42 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则52.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则52.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义53数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践73.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想方法73.2 根据问题中有可能出现的各种情况进行分类讨论83.3 根据研究对象的不同类型进行分类讨论93.4 根据曲线类型进行分类讨论10结束语12参考文献13致谢141 分类讨论思想方法的含义分类讨论法就是对问题进行分情况讨论的方法。当问题含有多种可能的情况，人们难以对它进行统一处理时，可以按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与分类相应的结论，综合这些结论，便得到问题的答案。这种分析问题，解决问题的方法称为分类讨论法。比如在逻辑学中，是从集合的观点来认识分类讨论法。集合的分类，是指把一个非空集合分成若干非空子集合，这些子集合中任意两个的交是空集，所有子集合的并为原集合。由于任何概念的外延都是集合，所有集合的分类包含了逻辑意义上的概念分类。在中学教学中，分类讨论法广为使用，几乎贯穿于全部教学过程之中。从横向看，在定义，计算，合情推理与演绎推理，数学证明等方面都有广泛的运用；从纵向看，则运用于中学各年级的所有科目的数学教学之中。分类讨论是初等数学一种重要的数学思想，它是我们必须具备的数学素养，是思维广阔性的要求，也是思维深刻性，批判性的基础。思维过程是对事物经过分类，将事物区分为一定从属关系的不同等级，从而使知识更加具有层次性和系统化，任何事物都有异同点，按照事物的共性，把事物归为较大的类，再根据差异性把事物划分为较小的类，为事物的认识和再认识创造条件。在解决综合问题或复杂问题时，可将所研究对象的集合按照一定的标准，划分为若干个部分去分析研究，再把分析研究的结果综合起来，从而使问题得以解决。分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法：分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案。分类讨论贯穿在整个数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化，系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题能力有很大作用。特别地，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理层次性和概括性。2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则分类讨论是一种数学思想方法，那么什么是数学思想方法？下面加以说明。2.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉，是实现数学教学面向全体学生的重要内容。数学教学必须在数学知识的教学和解题活动中突出数学思想方法。进行知识的教学必须要遵循一定的原则，数学思想方法是数学知识的重要范畴，进行数学思想方法的教学，也应符合一般的教学原则，根据数学思想方法的特性还应该遵循其他一些原则。也就是必须遵循渗透性，反复性，明确性和实践性的教学原则。数学思想方法在数学教学中具有重要地位，分类讨论法作为数学思想方法，它在数学教学中的作用不言而喻。分类讨论贯穿在整个数学教学之中。通过分类可以使大量繁杂的问题条理化系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着十分重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题的能力有很大作用。特别的，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理性和概括性。所以在数学教学中渗透分类讨论是非常重要的，而且也是必要的。2.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义分类讨论数学思想方法，它应用于函数，方程，不等式，排列组合等各个方面，在初中数学中有许多体现“分类讨论”思想方法的内容，无论在代数还是在几何中都能找到。它们分布在概念的定义，定理的证明，运算的法则（性质），图形（象）的性质和具体问题的解决中。如在概念的定义中有：有理数的定义；绝对值的定义等。在定理的证明中有：圆周角定理的证明。在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法；一元二次方程根的判别式等。在图形（象）的性质中有：点和圆，直线和圆，圆和圆的位置关系；函数图像的性质等。对分类讨论数学思想方法的学习中，常常在存在这样那样的问题。其一在分析问题时分类讨论的意识不强，如在解分式不等式时往往不注意讨论分母的正负，而给不等式的两边同乘以分母。分类讨论时存在盲目性。分类讨论问题的关键是在解决好分类的合理性，而分类的合理性在很大程度上有取决于分类的标准“分界点”的确定，学生往往就是因为不能准确地确立“分界点”，而导致盲目地使用分类讨论法，以致出现求解的失误。分类讨论时存在的主观性。凡在数学问题的求解中，遇到数量的大小或符号不能确定，图形位置或形状不确定都应分类讨论，但分类讨论应该是在计算推理的过程中自然的展开，而不是一开始就主观的认为应该怎样讨论。基于以上原因，在教学中应从以下几个方面，对学生加以引导，帮助学生增强分类讨论的意识，克服分类讨论中的盲目性和主观性。在概念，定义本身就是分类叙述的。如有关双曲线，椭圆，抛物线位置不定的。用分类讨论叙述的某些性质，如在数中含字母的指数或对数不等式。公式，定理具有分类讨论的附加条件，如等比数列求和公式及求极限问题。具有分类讨论的运算法则。几何图形具有分类讨论的位置关系。如何进行合理的分类。这是分类讨论思想的核心和灵魂，首先要有扎实的基础知识，同时要掌握好分类的基本原则和分类的步骤.分类的原则：分类应该按同一标准进行；分类应当没有遗漏；分类应当没有重复分类的步骤：确定要讨论的对象及讨论对象的取值范围；正确选择分类标准合理分类；逐类逐段分类讨论；归纳整合。3 数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践如何进行合理的分类，这是分类讨论思想的核心。在数学教学中合理分类，是要精心设计的。3.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想方法在数学教学中，从来都存在一种发展的眼光来看待数学思想方法，不仅要求体会概念和结论所蕴含的数学思想方法，同时要求体会他的在后续学习中的作用。它是数学知识发生过程的提炼，抽象概括和升华，要经过教师长期的，有意识的，有目的教学活动去渗透，提示，归纳。并使学生能在后续的学习与解题的实践中去运用与领悟，才能最终转化为他们自己的东西。很显然，数学思想方法教学的渗透性与实践性决定了数学教学中并不直接明显所指，而只能通过精心设计教案，努力营造教学氛围，引导学生积极主动的参与到数学知识的发生和发展过程，或者通过学生的自主学习与主动探究。以这种很自然与合理的方式来揭示，归纳与应用。案例：已知aR,函数f(x)。(1) 略 （2） 求函数在区间上的最小值。 这是一道以研究函数性质。重点考察学生分类讨论思想方法的问题。但很多学生由于平时学习中对分类讨论思想的掌握与应用不十分扎实，不明白为什么要分类，以谁为分类对象。怎样分类以及这种分类的合理性之所在，以致造成解题思路受阻。事实上，在研究问题中含有变化不定的动态因素，不能用同一种方法解决或同一种形式叙述时，就要对问题精心分类讨论。本题中由于函数f(x)中含有绝对值符号，如果没有这个“麻烦”，它就是一个三次函数，利用求导就容易解决了。我们自然就想到应该先处理这个“麻烦”。而脱去绝对值符号的方法就是确定x-a的符号。而x-a的符号是正负都可能，不是对x-a的符号进行分类讨论就必然，这就是要看x与a两个均是变量。故x与a都可以作为分类的对象。若对x分类，则属于定义域分类讨论；若对a分类，则属于对字母参数分类讨论。由于研究函数的性质是在整个定义域内进行的，故划分定义域不是上策，从而参数a 为首选为分类的对象，接下来的问题自然就是以什么标准对a进行分类了。由于函数f(x)的定义域为区间。我们应该想到选择闭区间的两个端点1，2作为标准，将a的范围分为三类：a1,1a2,a2.1， 当a1时，由于，得=0，= ，因为0，均小于1.故当时，0.所以在上为增函数，所以=1-a.2, 当1a2是，在区间上，由，而，0故。3， 当a2时，由。得=0，= 。因为a2，所以,(而。于是自然就产生了一级分类：和2，及和）.当时，在上为增函数。在上为减函数。所以的最小值应为与的大小，而-=7-3a(与的大小要由7-3a符号确定，于是就产生了下面三级分类)i) 当时， ii) 当时，。iii) 当时，这是一道错综负杂的分类讨论综合题，动态因素多，分类层次多，但我们从上述分析也可看，无论问题多么复杂，分类讨论这一思想方法的选用（分类的原因），分类对象的确定，分类标准的界定以及每一分类层次的产生都有其自然而合理的理由。只要教师教学中更多的去关注这种自然性与合理性，学生对数学思想方法的掌握与使用才能运用自如，得心应手。 在解决数学问题时，由于研究问题过程中出现了不同情况，因而需要对不同情况进行分类研究。通过分类讨论常能化繁为简，更清楚的暴露问题的本质，并增加条件，使问题易于解决，同时，避免丢解。3.2 根据问题中有可能出现的各种情况进行分类讨论例1.已知：函数 (a,b为常数)，方程有两个实数根为（1） 求函数的解析式 （2）设解关于的不等式，（05年，江西）分析：（1）要求出a,b需要建立关于a,b的方程。（2）解上述不等式是否需要进行分类讨论？为什么？如果要进行分类讨论，讨论的对象是什么？分类的标准又是什么？解：（1）将=3，=4分别代入得： 得，所以。 （2）原不等式即为，可化为。 即。由于k的位置（比如k可能在2的左边也可能在2的右边等等）。要最终影响最终的解集，故需要对参数k进行分类讨论。 由数轴得：当时，解集为； 当时，不等式为，解集为。 当时，解集是。小结：先要确定此题分类讨论对象是参数k,注意进一步讨论。不重复，不遗漏，此题切忌再去讨论的情况。3.3 根据研究对象的不同类型进行分类讨论例2：解关于x的不等式：。分析：首先这是一个含参数a的不等式，学生很容易认为是一个二次不等式实际上不一定。因为二次项函数是含参数的取值不同使不等式类型发生变化，故需要对二次项系数a分类；（1）。对于（2），不等式易解；对于（1）；又需要再次分类：或，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还在两根之间。而确定这一点滞后，又会遇到1与谁大谁小的问题。因而又需要做一次分类讨论，故而解题时，需要做三次分类讨论。解：当时，原不等式化为 ，即解集； 当时，原不等式化为，（1） 若，则原不等式化为，不等式解为；（2） 若，则原不等式为（a） 当时，不等式解集为；（b） 当时，不等式解集为；（c） 当，不等式的解为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当解集为。3.4 根据曲线类型进行分类讨论例3: ,问方程表示什么曲线？分析：对于此题学生很容易想到学习过的椭圆和双曲线标准方程，即想到把原式化成为。但是化成这一种型式的前提条件是。而且的正负会引起曲线类型的不同。因此对要进行分类讨论：。又注意到与（）表示的曲线是不一样的。因此还应该有一个“分界点”。即，故恰当的分类为。解：（1）当时，方程变为，即，表示直线；（2）当时，方程变为，即，表示直线；（3）当时，原方程变为； (a)当时，方程表示双曲线； （b）当时，方程表示椭圆； （c）当时，方程表示圆； （d）当时，方程表示椭圆； （e）当时，方程表示双曲线。小结：此题的分类讨论点也是非常多，故需要不重复，不遗漏的分类研究。例4，的极限是（ ） A ,2, B,-2, C,0, D不存在。分析：这是一个函数极限问题。首先要让学生回忆什么是函数极限，函数极限和已学的数列极限有什么不同？显然通过回忆数列极限是一个数列极限，即有两个意思，应分别考察两种情况下的极限，故此题我们在解决时应分类进行。解：当时， 由于 ，故该函数极限不存在。小结：此题就是因为函数极限自身的特点进行了分类研究，如果把题目换成结果是否相同？显然不同，此时是一个数列极限是单侧极限，无需分类讨论，只能选A。结束语 分类思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫逻辑划分。不论是宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象，发展科学必不可少的思想，因此分类讨论思想既是一种逻辑方法，也是一种数学思想，在数学教学中运用这一思想，必能构解决许多问题，为课堂加血带来许多亮点，使学生学习数学中越来越有兴趣，越来越有激情。使课堂大放光彩，让学生在轻松愉快的学习之中获得知识，同时也获得这一分类讨论的思想与方法。参考文献 ：1. 中华人民共和国教育部制定 数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003 年2. 沈文选 中学数学思想方法 湖南师范大学出版社 1999年第一版3. 周春荔 数学观和方法论 首都师范大学出版社 1996.年8月4. 李晓