习题册第3章 导数的应用(解答)200811 高等数学 专升本.doc

班级 姓名 学号 日期 第3章 导数的应用1判断题（1） （ ）（2） （ ）（3） （ ）2单项选择题（1）下列各式中正确运用罗必达法则求极限的是（ B ）(A) （B）(C) 不存在 (D) （2）下列各式中运算正确的是（ A ）（A） (B)(C)+(D)3用罗必达法则求下列极限（1） 解 原式=（2） 解 原式=（3） 解 原式=（4）解 原式=4用罗必达法则求下列极限（1） 解 原式=（2） 解 原式=（3）解 因为 =， 所以=。（4）解 因为而=，所以=（5）解 因为而 =所以=（6）解 因为=，所以=（7）解 因为，而，所以5判断题（1）若在上连续，在 内可导，则必存在一点 使得（ ）（2）若在可导，则必存在一点使得 （ ） （3）设函数在上可导，且，则方程在上至多有一根（ ）6验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性，并求的值解 在上连续，在内可导，所以满足拉格朗日中值定理，则至少存在一个点，使得，即 又因为，所以，。7不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间解 （1）在区间上连续，（2）在区间内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在，使得；，而至多有三个根，所以在区间上各有一根。8设，证明: 证明 令在上满足拉格朗日定理，则至少存在一点 使得 即，又因为， ，而由于，所以，即 ，即 成立9证明恒等式: 证明 令 ，由拉格朗日定理得推论可得 恒为常数， 所以10判断题（1）若函数在点处取的极值，则曲线在点处必有平行于轴的切线（ ） （2）在内的可导函数只有一个极大值点，则这个极大值点是在内的最大值点（ ）（3）曲线在上无极值 （ ）（4）若则是的驻点但不是极值点 （ ）（5）若则 （ ）（6）若在内单调增加且可导，则在内 （ ）（7）设函数在上可导，且，则方程在上至多有一根. （ ）（8）可导函数的极值点必是函数的驻点. （ ）（9）若则必是函数的极值. （ ）11单项选择题（1）设在区间上可导，且则在上有（D ）（A） （B）(C) (D) （2）下列函数中，在内单调递增的是（ A ）（A） （B） （C） (D) （3）设函数在有定义，则在与处（ C ）（A）可能取得极小值 （B）可能取得极大值（C）可能取得最大值或最小值 （D）既不能取得极值，也不能取得最值（4）2是函数在上的（ C ）（A）极大值 （B）极小值 （C）最大值 （D）最小值11确定函数的单调区间.12求下列函数的极值（1）解 函数的定义域为，令， 得到函数的驻点 0极小值 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数存在极小值（2）解 函数的定义域为 ，让，得到函数的驻点，极小值极大值13设在时都取得极值，试确定 的值，并判断 在是取得极大值还是极小值？解 ， 因为是函数的驻点，所以，。即，解得，。， ，所以是极小值，所以是极大值。14求函数在区间0，4上的最大值与最小值解 因为所以 当时，所以没有极值 又因为， 所以最大值为，最小值为15某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆 截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形的宽为，由题意可得 所以，=，让得到驻点为所以底宽为时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省16. 设有一边长为的正方形铁片，从四个角截去同样的小方块，作成一个无盖的的方盒子，问小方块的边长为多少时才能使盒子容积最大？解 设小方块的边长为 所以 所以，让得到函数的驻点，（舍去）又因为，所以是极大值，也就是最大值 小方块的边长为时才能使盒子容积最大17求点到抛物线的最短距离.解：设为抛物线上任一点，该点到点的距离为，则 即令，得唯一驻点且.故最短距离为 18单项选择题（）结论（ ）正确（A）可微函数在达到极值，则必有、.（B）函数在达到极值，则必有，（C）若，则在达到极值（D），不存在，则在一定不达到极(2) 函数在点处（B）结论正确.（A）是驻点且是极值点 （B）不是驻点是极值点（C）不是驻点不是极值点 （D）是驻点不是极值点（3）二元函数 的极大值点是（ ）(A) (1，0) (B) (0，1) (C) (0，0) (D) (1，1) (4) 函数在点（0，0）处（A ）.（A）连续，偏导数不存在； （B）连续，偏导数存在；（C）连续且可微； （D）不连续，偏导数不存在.(5)函数在点（0，0）处，有（C ）.（A） （B）（C）不存在 （D）以上都不对19.求函数的极值解 令 ，解得，在点处，且，有极小值.极小值为.20. 求函数z = x3 + y2 2xy的极值*21.设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值. .22判断题（1）若为曲线的拐点，则必有 （ ）（2）若，则必为函数曲线的拐点 （ ）（3）若在一区间上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在这区间是凹的 （ ） （4）曲线 （）（5）曲线 （）（6）曲线 （）（7）当 （）23单项选择题（1）设函数的一阶导数，则在内（ C ）（A）单调减函数、凹曲线 （B）单调减函数、凸曲线（C）单调增函数、凹曲线 （D）单调增函数、凸曲线（2）对于函数，下列结论正确的是 （C ）（A）是极大值点 （B）是极小值点 （C）点是曲线的拐点 ( D）点不是曲线的拐点（3）曲线的水平渐近线是 （ A ）（A） （B） （C） ( D）（4）曲线的铅垂渐近线是 （ C ）（A）直线 （B）直线 （C）直线和直线 （D）不存在24求函数的凹、凸区间及拐点解 因为，所以，,让得到， 函数在区间上是凸函数，函数在区间上是凹函数 函数在区间上是凸函数,函数的拐点为，25试决定曲线中的 使为驻点，为拐点，且通过点解 因为，所以, 为驻点，即（1） ，为拐点，即（2） 函数通过了点，,所以（3） （4） 由（1）（2）（3）（4）组成的方程组解得，26求曲线的渐近线解 即因为所以曲线的水平渐近线为的直线,因为，,曲线的铅垂渐近线为，两条直线27描绘函数的图形解 （1）函数的定义域为，（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性 （3）令，得到，表明了曲线与轴有两个交点 （4），令得， ，所以为极小值点，为极小值 ，所以为极小值点，为极大值 （5）令得到，解得是函数的拐点 012000极小值0拐点极大值4 1 2 328设某产品的总成本函数和收入函数分别为和，其中为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润 解 （1）函数的定义域为，（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性 （3）令，得到，表明了曲线与轴有两个交点 （4），令得， ，所以为极小值点，为极小值 ，所以为极小值点，为极大值 （5）令得到，解得是函数的拐点 012000极小值0拐点极大值4 1 2 329一商店按批发价每件6元买进一批商品零售，若零售价每件定为7元，估计可卖出100件，若每件售价每降低01元，则可多卖出50件问该商店应批发进多少件商品，每件商品售价为多少元时，才能获得最大利润？ 最大利润是多少？解 设每件售价降低个01元时，能获得最大利润，则 令，得。函数有唯一驻点，为最大值点。此时，该商店应批发进件商品，商品售价为元时，能获得最大利润。最大利润是元。30某个体户以每条10元的价格购机一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为，问该个体户将销售价定为多少时，才能获得最大利润解 ， 利润函数为=，让得到函数的驻点为（元）又因为，所以为极大值，也就是最大值31 设某产品的需求量对价格的函数关系为，求当时的需求价格弹性解 因为需求量对价格的函数关系为 又由需求价格弹性的计算公式= 当时，需求价格弹性为自测题3 一、判断题（61分=6分）1如果是的极值点，则一定不是的拐点（）2是可导函数的一个极值点，则必有 （ ）3函数在开区间内是单调的，则曲线必是上凹的或必是下凹的（ ）4若则必是函数的极值 （ ）5若，则必为函数曲线的拐点 （ ）6若在一区间上，曲线总在它每一点的切线下方，则曲线在这区间是凸的 （ ）二、填空题（142分=28分） 1函数的驻点是，单调增加区间是，单调减少区间是，极值点是，它是极小值点 2函数在达到最小值，的驻点不存在3函数在内单调增加，则 4 若在内满足，则在内是单调递减函数5若连续函数在区间内恒有;则此函数在上的最大值是6曲线的拐点是7的垂直渐近线为，水平渐近线为8。三、单项选择题（63分=18分）1下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数 （A） （B） （C） （D） 2函数在-1，2上没有（ A ）（A） 极大值（B） 极小值 （C） 最大值（D） 最小值3 若，则是的（ D ）（A） 极大值点（B） 最大值点 （C） 极小值点（D）驻点4设在处具有二阶导数，且，则（ A ）.(A) 是的极大值点 (B) 是的极小值点(C) 是的拐点 (D) 不是的极值点，也不是的拐点5设在处二阶可导，且，则下列结论正确的是（D ）(A) 是极大值点 (B) 是极小值点 (C) 是拐点 (D) 可能是极值点，可能是拐点6.函数的极值点是（ C ）.（A）和 （B）和 （C）和 （D）和四、计算题（46分） 1求极限（65分=30分） （1） 解 =（2）解 =（3） 解 =（4） 解 因为 而=，所以，原式（5） 解 因为，而=，所以 =（6）解 原式。2求函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点（6分） 解 函数的定义域为，令得驻点在区间上函数的导数大于零，函数为单调递增函数。在区间和上函数的导数小于零，函数为单调递减函数；，1拐点极小值无定义，解得，当时，函数的二阶导数小于零，为凸函数。当和时，函数的二阶导数大于零，为凹函数。拐点为。3设生产某种产品个单位时的成本函数