探究化归与转化思想在高中数学中的应用.doc

探究化归与转化思想在高中数学中的应用厦门五显中学 陈秋枫在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之化归和转化的思想方法。 数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。 世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。 由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。 在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。 下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。1、 正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。例1、 已知函数在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。解：（法一）当函数在（0，1）内没有零点时在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，. 而当（0，1）时，得。 要使，必有 故满足题设的实数的取值范围是 （法二）设，对称轴为，注意到，故对称轴必须在轴的右侧。 (1) 当时，即，有，此时；(2)当时，有此时有。综合（1）（2）得实数的取值范围是 点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。 2、常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例2、 已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点.分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b). 解：设点()在曲线上,则整理得 可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程在和(4,9)内分别有一根,即对 平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。 3、 特殊与一般的转化 一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例3、 已知向量， 若，满足，则的面积等于 。 分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由条件可得。利用特殊值，如设代 入，则，故面积为1。例4、已知函数,求的值. 分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系. 解: = = 于是 = = 点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。4、 等与不等的转化 相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。例5、已知都是实数，且求证：。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求与之间的关系。 解：， 。 又，且即。 点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决。5、 数与形的转化许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。例6、求函数的最大值和最小值。分析：令，转化为关于的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨讨论可得。解：.设则，并且。当时如图。有当时， ,为和中的较大者，即或.当时，有。点评：通过换元降三角问题转化为较为熟悉的二次函数问题，利用二次函数图像结合分类讨论，使问题得到解决。6、 陌生与熟悉的转化 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。例7、对任意函数可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： 输入数据，经数列发生器输出； 若，则数列发生器结束工作；若则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义。若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；若输入时，产生的无穷数列，满足对任意正整数n均有，求的取值范围。分析：此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。解：（1）的定义域， 数列只有三项， （2），即， 故当时，（3）解不等式，得或，要使，则或对于函数，若则；若则且依此类推可得数列的所有项均满足综上所述，由，得点评：本题主要考查学生的阅读审题、综合理解的能力，涉及函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用。由以上几种典型题型的剖析足以说明掌握好化归与转化的思想方法对学好高中数学是非常有帮助的，它可以帮助我们寻找到一些简单的方法来解决一些较为复杂的题目。但我们在应用化归与转化的思想方法还应注意它的三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、 转化到何处，即转化的目标；3、 如何进行转化，即转化的方法。为了让我们更好地应用化归与转化的思想方法，我们在应用时还应遵循以下五条原则：1、 熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解；2、 简单化原则，将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。3、 和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。4、