数学归纳法及其应用.doc

数学归纳法及其应用山东省惠民地区教研室 王学贤作者简历王学贤 山东潍坊人，1960年毕业于淄博师范专科学校数学系，同年留校任教，后在博兴一中任数学教师1980年被评为中学特级教师，1988年被评为中学高级教师现任山东惠民地区教研室副主任，山东省中学数学教学研究会副理事长教学目的(1)了解归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的命题教学过程一、引入新课师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样考虑的？提出问题，让学生在解答的过程中发现规律生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线、5条对角线和9条对角线以六边形为例，每个顶点可引3条，六个顶点可引18条，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线师：n边形(n4)有多少条对角线？为什么？由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极性，增强了猜想的信心生：适合师：观察等差数列的前几项：a1=a10d，a2=a11d，a3=a12d，a4=a13d，你发现了什么规律？试用a1、n和d表示an生：an=a1(n1)d师：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律但是，由归纳法得出的一般结论并不一定可靠例如，一个数列的通项公式是an=(n25n5)2，请算出a1，a2，a3，a4你能得到什么结论？生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，可知an=1师：由an=(n25n5)2计算a5由a5=251，否定了学生的猜想举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到22n1均为质数而推测：n为非负整数时，22n1都是质数，但这一结论是错误的因为数学家欧拉发现，n=5时22n1是一个合数：2251=4294967297=6416700417数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高至此，归纳法作为一种发现规律的推理方法的教学已告结束师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明对于由归纳法得出的某些与自然数有关的命题P(n)，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证新问题引导学生思考：既然对于P(n0)、P(n01)、P(n02)、的正确性无法一一验证，那么如何证明P(n) (nn0)的正确性呢？至此，数学归纳法的引入水到渠成二、新课师：我们将采用递推的办法解决这个问题同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下这种传递相推的方法，就是递推从一个袋子里第一次摸出的是一个白球接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？生：能断定为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质师：要研究关于自然数的命题P(n)，我们先来看自然数有什么性质自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1；如果知道了一个数，就可知道下一个数有了这两条，所有自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了类似地，我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n)：先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明如果n=k(kn0)时命题正确，则n=k1时命题正确只要有了这两条，就可断定对从n0开始的所有自然数命题正确这就是数学归纳法的基本思想先通俗了解数学方法的基本思想，对深刻理解数学方法的实质至关重要！师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是：(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立，即验证P(n0)正确；(2)假设n=k(kN，且kn0)时结论正确，证明n=k1时结论正确即由P(k)由(1)和(2)，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确这两步实质上是证明P(n)的正确具有递推性(1)是递推的始点；(2)是递推的依据步骤(1)是一次验证，步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程步骤用的是演绎推理由(1)与(2)可知，递推的过程是：正确上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明P(n)正确性的过程先明确步骤，然后在运用中加深理解数学归纳法的实质师：用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1(n1)d对一切nN都成立(证明由学生完成，并得出：师：至此，对等差数列通项公式的“观察猜想证明”的研究结束观察特例，归纳一般结论，用数学归纳法证明，这是解答有关连续自然数命题的有效途径下面，我们来看教材中的例题：证明135(2n1)=n2请同学们自己完成，然后将自己的证明与教材中的证明对照，如发现错误，找出错误的原因师：用数学归纳法证明135(2n1)=n2，如采用下面的证法，对吗？(1)n=1时，通过验证，等式成立；(2)假设n=k时等式成立，即135(2k1)=k2则135(2k1)+2(k+1)-1这就是说，当n=k1时等式也成立由(1)和(2)，可知对任何nN等式都成立生甲：证明是对的生乙：证明方法不是数学归纳法因为第二步证明时，未用到归纳假设指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法师：从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式数学归纳法的核心，是在验证n取第一值n0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k1)正确也就是说，核心是证明命题的正确具有递推性因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设归纳假设，是用数学归纳法证题的关键教师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械地套用两个步骤，而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系师：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的那么，没有第一步行吗？新的问题引起学生新的思索生甲：第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确其实，这是显然的，可以省略生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2462n=n2n1成立吗？设n=k时成立，即2462k=k2k1，则 2462k2(k1)=k2k12k2=(k1)2(k1)1这就是说，n=k1时等式也成立若仅由这一步就得出等式对任何nN都成立的结论，那就错了事实上，当n=1时，左边=2，右边=3，左边右边可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何nN，该式都是不成立的因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去三、练习四、小结师：本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：验证P(n0)成立；假设P(k)成立(kN且kn0)，推证P(k1)成立(2)数学归纳法的核心，是在验证P(n0)正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(nn0)第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据因此，两步缺一不可证明中，恰当地运用归纳假设是关键(3)数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想(5)“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径五、布置作业略自我评述(1)现行中学数学教材，主要是演绎推理的体系对定理和公式，多偏重于证明，很少研究其发现过程本节课第一次明确介绍归纳法，应充分利用教材提供的素材，通过实例，引导学生观察，在此基础上进行归纳推理本节课利用“观察归纳证明”这一思维方法解答问题对思路进行概括，有助于培养学生发现问题、解决问题的能力，也有助于培养学生创造思维的能力(2)在教学中，先通过实例，形象生动地说明数学归纳法的基本思想，然后讲解数学归纳法的两个步骤，最后揭示两个步骤的内在联系，逐步深入，使学生对数学归纳法的认识由表及里，深化理解(3)提出反例，说明运用数学归纳法没有第二步不行；再提出反例，说明没有第一步也不行由此得到结论：两步缺一不可构造反例，是否定命题正确的基本而重要的数学方法本节课针对学生仅从形式上运用数学归纳法的通病，设计出不用归纳假设进行论证的例子让学生找出错误的原因这有助于学生从实质上理解数学归纳法，进而正确加以运用(4)教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪其智慧，求得问题的解决一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生