第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元测试-强化卷）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

2/8第三章指数运算与指数函数（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断.【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误；对于B，由，故B正确；对于C，由，故C错误；对于D，由，故D错误.故选：B.2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解.【详解】函数是指数函数，且且，解得，，.故选：A．3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.【详解】令，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.4．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的性质比较大小.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以．故选：D．5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解.【详解】由图得，，所以.因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示，由图可知：，则.故选：A.6．（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性求解即可.【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增，要使函数（且）在上单调递减，则，解得.故选：B.7．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，时，求时的值.【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，即时，，则再经过6年，，.故选：D8.（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果．【详解】，其图象如图所示，由图可知，在上单调递减，在上单调递增，要使，且成立，则有且，故必有且，又，即为，整理得，故选：A．二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.（25-26高一上·全国·单元测试）设，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据指数幂运算法则即可判断．【详解】对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，方法一（由内向外化）．方法二（由外向内化）．故D正确.故选:AD.10．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（

）A．的值域为B．的解集为C．的图象与的图象关于轴对称D．函数是偶函数【答案】AC【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断.【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确；对于B，因，由得，即，∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误；对于C，由，可得，由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确；对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，故D错误.故选：AC.11．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的值域为B．方程恰有一个实根C．是奇函数D．【答案】BCD【分析】对于A：利用复合函数求值域的方法求出的值域，结合高斯函数的定义即可判断；对于B：把方程转化为，画出图像即可判断；对于C：写出的解析式，利用奇偶性的定义判断即可；对于D：利用C选项得出，再利用倒序相加求和.【详解】因为，所以，所以，所以的值域为，故A错误；方程，由于时等号不成立，则，作出函数与的图象如图所示，由图可知，两函数图象只有一个交点，所以方程有且只有一个实根，故B正确；令，所以，所以是奇函数，故C正确；由C选项知是奇函数，所以的图象关于点对称，所以，记，又，所以，所以，故D正确.故选:BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．（25-26高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则．【答案】【分析】由可得，结合可得结论.【详解】因为，所以，所以所以.13．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则．【答案】【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到.【详解】是幂函数，则，所以，．在中，令，得，所以定点为，故，又，解得．14．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若常数，则关于的方程的实数根的个数是.【答案】1【分析】问题化为，，的交点个数，结合幂函数、指数函数的性质判断即可得.【详解】由题设，令，，，由幂函数、指数函数的性质易知在R上单调递增，在R上单调递减，且，趋向于，趋向于；，趋向于，趋向于0；所以与有且仅有一个交点，即原方程实数根个数为1.三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分13分)（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式：(1)；(2)．15．【详解】（1）原式．（6分）（2）原式．（13分）16.(本小题满分15分)（24-25高二下·河北·期末）已知函数.(1)当时，求在上的值域；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【分析】（1）先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域.（2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解.【详解】（1）当时，.令，，则，.（3分）因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时；当时，故函数，的值域为.（5分）所以当时，在上的值域为.（7分）（2）当时，，满足在上单调递增，满足题意；当时，设，则，.(9分)因为单调递增，所以要使在上单调递增，须使在上单调递增，

所以（12分）解得.综上可得：实数的取值范围为，即.（15分）17.（本小题满分15分）（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数.(1)若，求的取值范围.(2)求的单调区间.(3)当时，求的最值.【分析】（1）由，得，根据指数函数的单调性可得，即可求解的取值范围；（2）由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增；又指数函数在上单调递增，根据复合函数单调性即可求解；（3）当，，所以，即可求解函数的最值.【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或.所以的取值范围为.（5分）（2）已知函数的对称轴：，由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增；又指数函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性可知所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（10分）（3）当，，所以，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.（15分）18．（本小题满分17分）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数．(1)试确定的奇偶性；(2)求证：函数在上是减函数；(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数；（2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数；（3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围．【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且有，故函数为奇函数.（5分）（2）证明：，设，再由，可得，故函数在上是减函数.（10分）（3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数，恒成立，由函数在上是减函数，可得恒成立，（13分）即恒成立，，解得：，故的取值范围为.（17分）19．（本小题满分17分）（24-25高一下·云南·期末）已知函数，，.(1)判断函数的奇偶性：(2)证明：；(3)若的最小值为，求实数的值.【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断.（2）分别写出与，进行化简