高中数学5.5运用不等式求最大小值5.5.1利用平均不等式求最大小值同步测控.docx

5.5.1 运用算术几何平均不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.设x、yR+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是( )A.40 B.10 C.4 D.2解析:lgx+lgy=lg(xy)=lglg=lg=2.答案:D2.设x、yR+,且xy-(x+y)=1,则( )A.x+y2(+1) B.xy+1C.x+y(+1)2 D.xy2(+1)解析:x、yR+,xy()2.()2-(x+y)1,即(x+y-2)28.x+y2(+1).而xy-(x+y)xy-2,xy-21,即(-1)22.+1.即xy3+.答案为A.答案:A3.设x、yR,且x+y=4,则3x+3y的最小值为( )A.9 B.18 C.3 D.6解析:3x+3y=18.答案:B4.若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则( )A.RPQ B.PQR C.QPR D.PRb1,lgalgb0.QP.R=lglg=(lga+lgb)=Q,RQP.答案:B5.下列命题中,x+的最小值是2;的最小值是2;的最小值是2;2-3x-的最小值是2.其中正确命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:x不一定为正数,错;2,当且仅当x=0时取“=”,正确;=2,但,等号取不到;2-3x-中x的正负不定,错.答案:A6.x0,y0且x+y=1,则a恒成立的a的最小值是( )A. B. C.2 D.解析:a2()2=x+y+2,又x+y+22(x+y)=2,由a恒成立,得a22,即amin=.答案:B7.若x+3y+2z=6,则=3x+27y+9z的最小值为( )A.6 B.9 C.27 D.81解析:=3x+27y+9z=27.答案:C8.若x0,则4x+的最小值为( )A.50 B.100 C. D.20解析:4x+=2x+2x+.答案:C我综合，我发展9.设x0,y0,x2+=1,则的最大值为_.解析:x0,y0,x2+=1,=.答案:10.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为_.解析:a0,b0,a+b2,ab=a+b+32+3.(-3)(+1)0.-30.ab9.答案:911.已知sin2+sin2+sin2=1(、均为锐角),则coscoscos的最大值为_.解析:cos2cos2cos2()3=()3= ()3=,又、均为锐角,coscoscos.答案:12.函数y=x2+;y=;y=ex+4e-x;y=sinx+(0x)中最小值为4的函数为_.(只填序号)解析:y=x2+=4,当且仅当x2=,即x2=2时取“=”.y=4.当且仅当时取“=”,但,最小值不是4.y=ex+4e-x=4,当且仅当ex=4e-x,即ex=2时取“=”.0x0,y=sinx+=4.但sinx,最小值不是4.答案:13.已知ab0,求a2+的最小值.分析:可构造乘积为定值,求和的最小值.解:ab0,a-b0.0b(a-b)2=.a2+a2+=16.当且仅当a2=,即a=且b=a-b,b=时取“=”.当a=,b=时,a2+最小为16.14.当0x时,求y=x2(1-3x)的最大值.解:0x0.y=x2(1-3x)=3=.当且仅当=1-3x,即x=时取“=”,ymax=我创新，我超越15.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是宽和长分别为x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8 m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001 m)分析:根据题意列出等式,表示出料长,求最小值.解:由题意得xy+x=8,y=(0x).框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+,当(+)x=,即x=8-时等号成立,此时x=2.343,y=2.828.当x=2.343 m,y=2.828 m时用料最省.16.某单位决定投资32 000元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价为400元,两侧墙砌砖,每米长造价450元,顶部每平方米造价为200元,试计算:仓库面积S最大为多少?这时铁栅长多少?解:设铁栅长为x m,一堵墙长为y m,则S=xy,由题意,得400x+2450y+200xy32 000,即4x+9y+2xy320.4x+9y24x9y=12xy=12S,32