2021高考数学一轮复习 第6章 数列 第2节 等差数列及其前n项和教学案 理 北师大版.doc

第二节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nn)，d为常数(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数a，使a，a，b成等差数列，那么a叫作a与b的等差中项，即a.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：snna1d.3等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d0时，等差数列an的通项公式andn(a1d)是关于d的一次函数(2)当d0时，等差数列an的前n项和snn2n是关于n的二次函数4等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最大值；若a10，则sn存在最小值等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn)是公差为md的等差数列(4)数列sm，s2msm，s3ms2m，(mn)也是等差数列，公差为m2d.(5)若an，bn均为等差数列且其前n项和为sn，tn，则.(6)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(7)若等差数列an的项数为偶数2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd，.(8)若等差数列an的项数为奇数2n1，则s2n1(2n1)an1；.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn，都有2an1anan2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()ab c2 daa4a82a610，a65，又a106，公差d.故选a.2设数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a62且s530，则s8等于()a31b32c33d34b设数列an的公差为d，法一：由s55a330得a36，又a62，s832.法二：由得s88a1d82832.3已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_487依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.4某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为_820设第n排的座位数为an(nn)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为820.考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，sn五个量，可“知三求二”(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程1.(2019全国卷)记sn为等差数列an的前n项和已知s40，a55，则()aan2n5ban3n10csn2n28ndsnn22na由题知，解得an2n5，snn24n，故选a.2(2018全国卷)记sn为等差数列an的前n项和若3s3s2s4，a12，则a5等于()a12b10c10d12b设等差数列an的公差为d，由3s3s2s4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选b.3(2019黄山三模)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1()a23b32c35d38c由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为3，则9a1(3)207，解得a135，故选c.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.考点2等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出snan2bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列 若数列an的前n项和为sn，且满足an2snsn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2snsn10，得snsn12snsn1，因为sn0，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，所以sn.当n2时，ansnsn1.当n1时，a1不适合上式故an证明成等差数列的关键是为与n无关的常数，同时注意求数列an的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n1的情形教师备选例题数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和sn，并证明.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以snn2，.证明：1.故.1.已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.2已知数列an的前n项和为sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1sn1，an1an2sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2s11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列考点3等差数列的性质及应用等差数列中常用的解题性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qn)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s2n1(2n1)an.(3)在sn中常用性质或等差中的项解题(1)正项等差数列an的前n项和为sn，已知a3a9a150，则s11()a35b36c45d55(2)(2019锦州模拟)已知等差数列an的前n项和为sn.若s57，s1021，则s15等于()a35b42c49d63(3)已知sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则s2 020_.(1)d(2)b(3)2 020(1)因为an为正项等差数列，故a3a92a6，所以a2a6150，解得a65或者a63(舍)，所以s1111a611555，故选d.(2)在等差数列an中， s5，s10s5，s15s10成等差数列，即7,14，s1521成等差数列，所以7(s1521)214，解得s1542.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2 019d2 0182 0191，s2 02012 0202 020.以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答教师备选例题(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()a0b37c100d37(2)(2019商洛模拟)等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()a20b22c24d8(3)设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s636，则a7a8a9等于()a63b45c36d27(1)c(2)c(3)b(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.(2)因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差数列，得s3，s6s3，s9s6为等差数列即2(s6s3)s3(s9s6)，得到s9s62s63s345.1.已知等差数列an的前n项和为sn，若m1，且am1am1a10，s2m139，则m等于()a39b20c19d10b数列an为等差数列，则am1am12am，则am1am1a10可化为2ama10，解得am1.又s2m1(2m1)am39，则m20.故选b.2设等差数列an，bn的前n项和分别为sn，tn，若对任意的nn，都有，则的值为()a.b.c.d.c由题意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故选c.考点4等差数列前n项和的最值问题求等差数列前n项和sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.一题多解等差数列an的前n项和为sn，已知a113，s3s11，当sn最大时，n的值是()a5b6 c7d8c法一：(邻项变号法)由s3s11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a70，a80，当n14时，an0.所以当n12或n13时，sn取得最大值法二：sn20nn2n2.因为nn，所以当n12或n13时，sn有最大值法三：由s10s15，得a11a12a13a14a150.所以5a130，即a130.所以当n12或n13时，sn有最大值本题用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给与解得，三种方法各有优点，灵活运用是解题的关键1.设数列an是公差d0的等差数列，sn为其前n项和，若s65a110d，则sn取最大值时，n的值为()a5b6c5或6d11c由题意得s66a115d5a110d，化简得a15d，所以a60，故当n5或6时，sn最大2(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且a2