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函数的极值与导数 3 3 2 单调性与导数有什么关系 单调性与导数有什么关系 设函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 为此区间的增函数 若f x 0 则f x 为此区间的减函数 y 2x3 6x2 7 观察函数f x 2x3 6x2 7的图像 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 我们说f 0 是函数的一个极大值 y 2x3 6x2 7 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 我们说f 0 是函数的一个极大值 函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 则f 2 是函数的一个极小值 y 2x3 6x2 7 一般地 设函数y f x 在点x0及其附近有定义 函数极值的定义 如果对于x0附近的所有点 都有f x0 f x 则f x0 是函数y f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 一般地 设函数y f x 在点x0及其附近有定义 函数极值的定义 如果对于x0附近的所有点 都有f x0 f x 则f x0 是函数y f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 一般地 设函数y f x 在点x0及其附近有定义 如果对于x0附近的所有点 都有f x0 f x 则f x0 是函数y f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值 如图 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 如图 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 如图 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 如图 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 如图 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 注意 极值点的导数为零 切线与y轴垂直 注意 极值是局部概念 反映了函数在某一点附近的大小情况 而最大值 最小值是对于整个定义区间上的点而言 注意 函数的极值点xi是区间 a b 内部的点 区间的端点不能成为极值点 注意 若f x 在区间 a b 内有极值 则f x 在 a b 内一定不是单调函数 注意 函数的极大 小 值可能不止一个 并且函数的极大值不一定大于极小值 极小值不一定小于极大值 例题 例题 当x 2时 y极大值 当x 2时 y极小值 例题 列表检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 若在根x0的左侧附近为正 右侧为负 则函数y极大值 f x0 若在根x1的左侧附近为负 右侧为正 则函数y极小值 f x1 求方程f x 0的根 求导函数f x 求函数y f x 的极值的一般步骤 练习 y x2 7x 6 练习1 教科书96面练习第1 2题 y 2x2 5x 求下列函数的极值 y x3 27x y 3x2 x3 练习 练习2
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