2012年上海各区县高三一模数列题汇总.docVIP

2012年上海各区县高三一模数列题汇总嘉定区22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分定义，的“倒平均数”为（）已知数列前项的“倒平均数”为，记（）（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求答案：22（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，（1分）当时，当时，而也满足此式所以（）（1分）所以，（1分），因此（1分）（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，（2分）由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）解得或（1分）所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立（1分）（3）由，得，（1分） 若，则，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故此时，为，符合题意（1分） 若，则，因为周期为，故，所以，即或，解得或，均不合题意（1分）设数列的前项和为，则对，有（1分）即 所以 因此（2分）卢湾区22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期例如：数列， 可看作周期为1的数列； 数列， 可看作周期为2的数列； 数列， 可看作周期为3的数列（1）对于数列，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、均为实数，求该数列的一个通项公式答案：22（1）或等（3分）（2）当时，；（5分）当时，；（7分）当时，（）（9分）（3）由题意，应有，得，（10分）于是，把，代入上式得（12分）由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，（13分），于是，因为，所以，（14分）于是可求得（15分）故（）或写成（,）（16分）闵行区22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分将边长分别为1、2、3、n、n+1、（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为记数列满足,（1）求的表达式；（2）写出的值，并求数列的通项公式；（3）记，若不等式有解，求的取值范围.答案：22.解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，第n个阴影部分图形的面积为.（2分）故 （4分）（2）， 当n为偶数时， （3分） 当n为大于1的奇数时， 故 （5分）（3）由（2）知 又 （）当n=1时，即，于是（）当n为偶数时，即 于是， （3分）（）当n为大于1的奇数时， 即于是， （5分）综上所述： （7分）徐汇区22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分.设把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为，且关于的不等式的解集为。各项均为正数的数列的前项和为，点列在函数的图象上。（1）求函数的解析式；（2）若，求的值；（3）令，求数列的前项中满足的所有项数之和.答案：22、解：（1）由条件可知，2分因为关于的不等式的解集为，所以3分即函数的解析式为4分（2）因为点列在函数的图象上，所以代入，即因为，所以；6分当时，化简得：7分因为所以，即数列为等差数列，且。9分则，所以。12分（3）在数列的前项中为奇数时，所以14分为偶数时，要满足，则16分所以，满足的所有项数之和为18分静安区22 (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（）.（1） 求数列的前项和；（2） 如果对于，总有，求的取值范围.答案：22（1）由已知有，.2分所以，5分所以，因为，所以.8分（2）即.由且得.2分所以或3分即或对任意成立，5分而，且，所以或.8分杨浦区22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数，数列满足，, 1. 求，的值； 2. 求证：数列是等差数列；3. 设数列满足， 若对一切成立，求最小正整数的值.答案：（1）【解】由，得 3分（2）【解】由 得 8分所以，是首项为1，公差为的等差数列 9分（3）【解】由（2）得 -10分当时 ，当时，上式同样成立， 12分 所以因为，所以对一切成立， 14分 又随递增，且，所以，所以， 16分青浦区23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，即3，4，1，2和3，4，2，1 （每写出一个给2分，多写不得分）4分（2）存在数列的创新数列为等比数列5分设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以 6分若为等比数列，设公比为，因为，所以7分当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式）； 9分当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列综上符合条件的创新数列只有一个 10分（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列， 11分设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以若为等差数列，设公差为，因为，所以且 12分当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列； 14分当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个； 15分当时， 又这与矛盾，所以此时不存在。 17分综上满足条件的数列的个数为个（或回答个） 18分浦东新区22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.答案：解：（1），为集合中的元素，即.2分，为集合中的元素，即.4分 （2）， 当时，对恒成立，此时，；7分 当时，令，；设为不超过的最大整数，令，此时，.10分（3），令，即；当时，于是，当时，于是；13分 ，有和项，共82项.16分长宁区23 （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造，求使对恒成立的最小值.答案：23、（1）等，答案不唯一；4分（2），当时最小值为9,；6分，则,因此，时，最大值为6，9分所以，数列是数列的“下界数列”；10分（3）， 12分不等式为，13分设，则，15分当时，单调递增，时，取得最小值，因此， 17分的最小值为 18分崇明县22、（本题16分，第（1）小题3分；第（2）小题5分；第（3）小题8分）已知数列和的通项分别为，（），集合，设. 将集合中元素从小到大依次排列，构成数列.（1）写出；（2）求数列的前项的和；（3）是否存在这样的无穷等差数列：使得（）？若存在，请写出一个这样的数列，并加以证明；若不存在，请说明理由答案：22解：（1） （2），所以 （3）存在。如，（不唯一） 证明：，所以，所以 假设，则存在实数，所以，由于上式左边为整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以所以。即：满足要求。 虹口区22、（15分）已知是数列的前项和，（，），且（1）求的值，并写出和的关系式；（2）求数列的通项公式及的表达式；（3）我们可以证明：若数列有上界（即存在常数，使得对一切 恒成立）且单调递增；或数列有下界（即存在常数，使得对一切恒成立）且单调递减，则存在利用上述结论，证明：存在 答案：22、（1）当时， ； 得又，即时也成立5分（2）由（1）得，是首项为1，公差为1的等差数列，时，又，也满足上式，10分（3），单调递增，又，存在15分黄浦区23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知，且，数列、满足，(1) 求证数列是等比数列；(2) (理科)求数列的通项公式；(3) (理科)若满足，试用数学归纳法证明：23(本题满分18分) 证明(1)，,. ， 又， 数列是公比为3，首项为的等比数列 解(2)(理科)依据(1)可以，得于是，有，即 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列故所以数列的通项公式是 (3)（理科）用数学归纳法证明：(i)当时，左边，右边，即左边=右边，所以当时结论成立(ii)假设当时，结论成立，即 当时，左边 ，右边即左边右边，因此，当时，结论也成立 根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立 普陀区22、（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列是首项为2的等比数列，且满足（1） 求常数的值和数列的通项公式；（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、第项，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由。答案：22（1）解：由得，又因为存在常数，使得数列为等比数列，则