「第3章 平面应力和平面应变【教学课件】」.ppt

第三章平面问题 要点 建立平面问题的基本方程 包括 平衡微分方程 几何方程 物理方程 变形协调方程 边界条件的描述 方程的求解方法等 3 1平面应力问题与平面应变问题 1 平面应力问题 1 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多 平板 如 板式吊钩 旋转圆盘 工字形梁的腹板等 2 受力特征 外力 体力 面力 和约束 仅平行于板面作用 沿z方向不变化 3 应力特征 如图选取坐标系 以板的中面为xy平面 垂直于中面的任一直线为z轴 由于板面上不受力 有 因板很薄 且外力沿z轴方向不变 可认为整个薄板的各点都有 由剪应力互等定理 有 结论 平面应力问题只有三个应力分量 应变分量 位移分量也仅为x y的函数 与z无关 2 平面应变问题 1 几何特征 水坝 滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多 且沿长度方向几何形状和尺寸不变化 近似认为无限长 2 外力特征 外力 体力 面力 平行于横截面作用 且沿长度z方向不变化 约束 沿长度z方向不变化 3 变形特征 如图建立坐标系 以任一横截面为xy面 任一纵线为z轴 设z方向为无限长 则 沿z方向都不变化 仅为x y的函数 任一横截面均可视为对称面 水坝 因为任一横截面均可视为对称面 则有 所有各点的位移矢量都平行于xy平面 平面位移问题 平面应变问题 注 1 平面应变问题中 但是 2 平面应变问题中应力分量 仅为xy的函数 可近似为平面应变问题的例子 煤矿巷道的变形与破坏分析 挡土墙 重力坝等 如图所示三种情形 是否都属平面问题 是平面应力问题还是平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 3 平面问题的求解 问题 已知 外力 体力 面力 边界条件 求 仅为xy的函数 需建立三个方面的关系 1 静力学关系 2 几何学关系 3 物理学关系 形变与应力间的关系 应力与体力 面力间的关系 形变与位移间的关系 建立边界条件 平衡微分方程 几何方程 物理方程 1 应力边界条件 2 位移边界条件 3 2平面问题基本方程 3 2 1平衡微分方程 取微元体PABC P点附近 Z方向取单位长度 设P点应力已知 体力 X Y AC面 BC面 注 这里用了小变形假定 以变形前的尺寸代替变形后尺寸 由微元体PABC平衡 得 整理得 剪应力互等定理 两边同除以dxdy 并整理得 两边同除以dxdy 并整理得 平面问题的平衡微分方程 2 说明 1 两个平衡微分方程 三个未知量 超静定问题 需找补充方程才能求解 2 对于平面应变问题 x y方向的平衡方程相同 z方向自成平衡 上述方程两类平面问题均适用 3 平衡方程中不含E 方程与材料性质无关 钢 石料 混凝土等 4 平衡方程对整个弹性体内都满足 包括边界 3 2 2斜面上的应力主应力 1 斜面上的应力 1 斜面上应力在坐标方向的分量XN YN 设P点的应力分量已知 斜面AB上的应力矢量 s 斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦 由微元体平衡 整理得 3 整理得 4 外法线 2 斜面上的正应力与剪应力 3 4 将式 2 3 2 4 代入 并整理得 5 6 说明 1 运用了剪应力互等定理 2 的正负号规定 将N转动90 而到达的方向是顺时针的 则该为正 反之为负 任意斜截面上应力计算公式 3 若AB面为物体的边界S 则 18 平面问题的应力边界条件 2 一点的主应力与应力主向 1 主应力 若某一斜面上 则该斜面上的正应力称为该点一个主应力 当时 有 求解得 7 平面应力状态主应力的计算公式 主应力所在的平面 称为主平面 主应力所在平面的法线方向 称为应力主向 由式 7 易得 平面应力状态应力第一不变量 2 应力主向 设 1与x轴的夹角为 1 1与坐标轴正向的方向余弦为l1 m1 则 设 2与x轴的夹角为 2 2与坐标轴正向的方向余弦为l2 m2 则 应力主向的计算公式 8 由 得 显然有 表明 1与 2互相垂直 结论 任一点P 一定存在两互相垂直的主应力 1 2 3 N的主应力表示 由 1与 2分别为最大和最小应力 4 最大 最小剪应力 由 显然 当 时 N为最大 最小值 由 得 max min的方向与 1 2 成45 小结 18 平面问题的应力边界条件 1 斜面上的应力 8 表明 1与 2互相垂直 2 一点的主应力 应力主向 最大最小应力 7 max min的方向与 1 2 成45 3 2 3几何方程刚体位移 建立 平面问题中应变与位移的关系 几何方程 1 几何方程 一点的变形 线段的伸长或缩短 线段间的相对转动 考察P点邻域内线段的变形 变形前 变形后 P A B u v 注 这里略去了二阶以上高阶无穷小量 PA的正应变 PB的正应变 P点的剪应变 P点两直角线段夹角的变化 整理得 几何方程 9 说明 1 反映任一点的位移与该点应变间的关系 是弹性力学的基本方程之一 2 当u v已知 则可完全确定 反之 已知 不能确定u v 积分需要确定积分常数 由边界条件决定 3 以两线段夹角减小为正 增大为负 2 刚体位移 物体无变形 只有刚体位移 即 a b c 由 a b 可求得 d 将 d 代入 c 得 或写成 上式中 左边仅为y的函数 右边仅x的函数 两边只能等于同一常数 即 d 积分 e 得 e 其中 u0 v0为积分常数 x y方向的刚体位移 代入 d 得 2 10 刚体位移表达式 讨论 1 仅有x方向平移 2 仅有y方向平移 3 r 说明 P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度 刚性转动 3 2 4斜方向的应变及位移 1 斜方向的正应变 N 问题 已知 求任意方向的线应变 N和线段夹角的变化 设P点的坐标为 x y N点的坐标为 x dx y dy PN的长度为dr PN的方向余弦为 于是PN在坐标轴上的投影为 N点位移 变形后的P1N1在坐标方向的投影 设PN变形后的长度P1N1 dr PN方向的应变为 N 由应变的定义 两边同除以 dr 2 得 化开上式 并将 的二次项略去 有 dr 11 2 P点两线段夹角的改变 变形前 PN的方向余弦 PN 的方向余弦 变形后 P1N1的方向余弦 P1N1 的方向余弦 化简 得 略去二阶小量 同理 得 PN与PN 变形后的夹角改变为 代入 并利用 并略去高阶小量 有 12 从中求出变形后两线段间的夹角 进一步求出 3 斜方向应变公式的应用 3 斜方向应变公式的应用 1 已知一点的应变 可计算任意方向的应变 的最大值 最小值 主应变 主应变方向等 2 已知一点任意三方向的应变 可求得该点的应变分量 若用45 应变花测构件表面应变 若用120 应变花测构件表面应变 即 求得该点的应变分量 作为作业 3 2 5物理方程 建立 平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称 本构方程 本构关系 物性方程 1 各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下 物性方程即为材料力学中的广义虎克 Hooke 定律 13 其中 E为拉压弹性模量 G为剪切弹性模量 为侧向收缩系数 又称泊松比 1 平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 15 平面应力问题的物理方程 注 1 2 物理方程的另一形式 2 平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中 16 平面应变问题的物理方程 注 2 平面应变问题物理方程的另一形式 由式 2 13 第三式 得 3 两类平面问题物理方程的转换 1 平面应力问题 平面应变问题 材料常数的转换为 2 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为 3 2 6边界条件 1 弹性力学平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 2 几何方程 9 3 物理方程 未知量数 8个 方程数 8个 结论 在适当的边界条件下 上述8个方程可解 2 边界条件及其分类 边界条件 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系 是力学计算模型建立的重要环节 边界分类 1 位移边界 2 应力边界 3 混合边界 三类边界 1 位移边界条件 位移分量已知的边界 位移边界 用us vs表示边界上的位移分量 表示边界上位移分量的已知函数 则位移边界条件可表达为 17 平面问题的位移边界条件 说明 称为固定位移边界 2 应力边界条件 给定面力分量边界 应力边界 由前面斜面的应力分析 得 式中取 得到 18 式中 l m为边界外法线关于x y轴的方向余弦 如 平面问题的应力边界条件 垂直x轴的边界 垂直y轴的边界 例1 如图所示 试写出其边界条件 q 1 2 3 4 说明 x 0的边界条件 是有矛盾的 由此只能求出结果 内容回顾 1 两类平面问题 平面应力问题 平面应变问题 几何特征 受力特征 应力特征 几何特征 受力特征 应变特征 水坝 滚柱 位移边界条件 2 平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 2 几何方程 9 3 物理方程 4 边界条件 1 2 应力边界条件 平面应力问题 例2 如图所示 试写出其边界条件 1 AB段 y 0 代入边界条件公式 有 2 BC段 x l 3 AC段 y xtan 例3 图示水坝 试写出其边界条件 左侧面 由应力边界条件公式 有 右侧面 例4 图示薄板 在y方向受均匀拉力作用 证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在 解 平面应力问题 在AC AB边界上无面力作用 即 AB边界 由应力边界条件公式 有 1 AC边界 代入应力边界条件公式 有 2 A点同处于AB和AC的边界 满足式 1 和 2 解得 A点处无应力作用 例5 图示楔形体 试写出其边界条件 图示构件 试写出其边界条件 例6 例5 图示楔形体 试写出其边界条件 上侧 下侧 图示构件 试写出其应力边界条件 例6 上侧 下侧 3 混合边界条件 1 物体上的一部分边界为位移边界 另一部为应力边界 2 物体的同一部分边界上 其中一个为位移边界条件 另一为应力边界条件 如 图 a 位移边界条件 应力边界条件 图 b 位移边界条件 应力边界条件 平面问题的基本方程 1 平衡微分方程 2 2 几何方程 9 3 物理方程 平面应力问题 15 4 边界条件 位移 17 应力 18 3 2 7圣维南原理 问题的提出 求解弹性力学问题时 使应力分量 形变分量 位移分量完全满足8个基本方程相对容易 但要使边界条件完全满足 往往很困难 如图所示 其力的作用点处的边界条件无法列写 1 静力等效的概念 两个力系 若它们的主矢量 主矩相等 则两个力系为静力等效力系 这种等效只是从平衡的观点而言的 对刚体来而言完全正确 但对变形体而言一般是不等效的 2 圣维南原理 Saint VenantPrinciple 原理 若把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 则近处的应力分布将有显著改变 而远处所受的影响可忽略不计 3 圣维南原理的应用 1 对复杂的力边界 用静力等效的分布面力代替 2 有些位移边界不易满足时 也可用静力等效的分布面力代替 注意事项 1 必须满足静力等效条件 2 只能在次要边界上用圣维南原理 在主要边界上不能使用 如 例7 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 左侧面 代入应力边界条件公式 右侧面 代入应力边界条件公式 有 上端面 为次要边界 可由圣维南原理求解 y方向力等效 对O点的力矩等效 x方向力等效 注意 必须按正向假设 上端面 方法2 取图示微元体 可见 与前面结果相同 由微元体的平衡求得 3 2 8按位移求解平面问题 1 弹性力学平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 2 几何方程 9 3 物理方程 4 边界条件 1 2 2 弹性力学问题的求解方法 1 按位移求解 位移法 刚度法 以u v为基本未知函数 将平衡方程和边界条件都用u v表示 并求出u v 再由几何方程 物理方程求出应力与形变分量 2 按应力求解 力法 柔度法 以应力分量为基本未知函数 将所有方程都用应力分量表示 并求出应力分量 再由几何方程 物理方程求出形变分量与位移 3 混合求解 以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数 将 并求出这些未知量 再求出其余未知量 3 按位移求解平面问题的基本方程 1 将平衡方程用位移表示 由应变表示的物理方程 将几何方程代入 有 19 a 将式 a 代入平衡方程 化简有 20 2 将边界条件用位移表示 位移边界条件 应力边界条件 a 将式 a 代入 得 21 17 式 20 17 21 构成按位移求解问题的基本方程 说明 1 对平面应变问题 只需将式中的E 作相替换即可 2 一般不用于解析求解 作为数值求解的基本方程 3 按位移求解平面问题的基本方程 1 平衡方程 20 2 边界条件 位移边界条件 17 应力边界条件 21 3 2 9按应力求解平面问题相容方程 1 变形协调方程 相容方程 按应力求解平面问题的未知函数 2 平衡微分方程 2个方程方程 3个未知量 为超静定问题 需寻求补充方程 从形变 形 变与应力的关系建立补充方程 将几何方程 9 作如下运算 显然有 22 形变协调方程 或相容方程 即 必须满足上式才能保证位移分量u v的存在与协调 才能求得这些位移分量 例 其中 C为常数 由几何方程得 积分得 由几何方程的第三式得 显然 此方程是不可能的 因而不可能求出满足几何方程的解 2 变形协调方程的应力表示 1 平面应力情形 将物理方程代入相容方程 得 22 利用平衡方程将上述化简 a 将上述两边相加 b 将 b 代入 a 得 将上式整理得 23 应力表示的相容方程 2 平面应变情形 将上式中的泊松比 代为 得 24 平面应力情形 应力表示的相容方程 平面应变情形 注意 当体力X Y为常数时 两种平面问题的相容方程相同 即 25 3 按应力求解平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 相容方程 形变协调方程 23 3 边界条件 平面应力情形 说明 1 对位移边界问题 不易按应力求解 2 对应力边界问题 且为单连通问题 满足上述方程的解是唯一正确解 3 对多连通问题 满足上述方程外 还需满足位移单值条件 才是唯一正确解 例8 下面给出平面应力问题 单连通域 的应力场和应变场 试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场 不计体力 1 2 解 a b 1 将式 a 代入平衡方程 满足 将式 a 代入相容方程 式 a 不是一组可能的应力场 例8 下面给出平面应力问题 单连通域 的应力场和应变场 试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场 不计体力 1 2 a b 2 解 将式 b 代入应变表示的相容方程 式 b 满足相容方程 b 为可能的应变分量 例9 图示矩形截面悬臂梁 在自由端受集中力P作用 不计体力 试根据材料力学公式 写出弯曲应力和剪应力的表达式 并取挤压应力 0 然后说明这些表达式是否代表正确解 解 材料力学解答 式 a 满足平衡方程和相容方程 a 式 a 是否满足边界条件 代入平衡微分方程 显然 平衡微分方程满足 式 a 满足相容方程 再验证 式 a 是否满足边界条件 满足 满足 近似满足 近似满足 结论 式 a 为正确解 代入相容方程 上 下侧边界 右侧边界 左侧边界 3 2 10常体力情况下的简化 1 常体力下平面问题的相容方程 令 拉普拉斯 Laplace 算子 则相容方程可表示为 平面应力情形 平面应变情形 当体力X Y为常数时 两种平面问题的相容方程相同 即 或 25 2 常体力下平面问题的基本方程 1 平衡方程 2 相容方程 形变协调方程 3 边界条件 18 4 位移单值条件 对多连通问题而言 讨论 1 Laplace方程 或称调和方程 2 常体力下 方程中不含E a b 不同材料 具有相同外力和边界条件时 其计算结果相同 光弹性实验原理 3 用平面应力试验模型 代替平面应变试验模型 为实验应力分析提供理论基础 3 常体力下体力与面力的变换 平衡方程 相容方程 边界条件 令 常体力下 满足的方程 a 将式 b 代入平衡方程 相容方程 边界条件 有 b c 表明 1 变换后的平衡方程 相容方程均为齐次方程 容易求解 2 变换后问题的边界面力改变为 结论 例如 p 图示深梁在重力作用下的应力分析 原问题 体力 边界面力 所求应力 变换后的问题 体力 边界面力 1 当y 0时 2 当y h时 3 当y 2h时 所求得的应力 原问题的应力 常体力下体力与面力转换的优点 好处 原问题的求解方程 变换后问题的求解方程 常体力问题 无体力问题 作用 1 方便分析计算 齐次方程易求解 2 实验测试时 一般体力不易施加 可用加面力的方法替代加体力 注意 面力变换公式 与坐标系的选取有关 因此 适当选取坐标系 可使面力表达式简单 主要内容回顾 1 按位移求解基本方程 2 按应力求解平面问题的基本方程 相容方程 应力表示的相容方程 按应力求解的基本方程 常体力下可以简化 求解方法 3 3应力函数逆解法与半逆解法 常体力下问题的基本方程 边界条件 位移单值条件 a b 式 a 为非齐次方程 其解 全解 齐次方程通解 1 平衡微分方程解的形式 1 特解 常体力下特解形式 非齐次方程的特解 1 2 3 2 通解 式 a 的齐次方程 c d 的通解 将式 d 第一式改写为 由微分方程理论 必存在一函数A x y 使得 e f 同理 将式 d 第二式改写为 g h 比较式 f 与 h 有 也必存在一函数B x y 使得 由微分方程理论 必存在一函数 x y 使得 i j 将式 i j 代入 e f g h 得通解 k 对应于平衡微分方程的齐次方程通解 3 全解 取特解为 则其全解为 26 常体力下平衡方程 a 的全解 由式 2 26 看 不管 x y 是什么函数 都能满足平衡方程 x y 平面问题的应力函数 Airy应力函数 2 相容方程的应力函数表示 将式 2 26 代入常体力下的相容方程 25 有 注意到体力X Y为常量 有 将上式展开 有 27 应力函数表示的相容方程 给出了应力函数满足的条件 式 2 27 可简记为 或 式中 满足方程 2 27 的函数 x y 称为重调和函数 或双调和函数 结论 应力函数 应为一重调和函数 按应力求解平面问题 X 常量 Y 常量 的归结为 1 27 2 然后将代入式 2 26 求出应力分量 先由方程 2 27 求出应力函数 26 3 再让满足应力边界条件和位移单值条件 多连体问题 3 应力函数求解方法 28 无体力情形 3 应力函数求解方法 1 逆解法 1 根据问题的条件 几何形状 受力特点 边界条件等 假设各种满足相容方程 2 27 的 x y 的形式 2 主要适用于简单边界条件的问题 然后利用应力分量计算式 2 26 求出 具有待定系数 3 再利用应力边界条件式 2 18 来考察这些应力函数 x y 对应什么样的边界面力问题 从而得知所设应力函数 x y 可以求解什么问题 1 根据问题的条件 几何形状 受力特点 边界条件等 假