第四章 第2讲 导数在函数中的应用.ppt

第2讲导数在函数中的应用 1 函数的单调性与导数的关系一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 2 判别f x0 是极大 极小值的方法若x0满足f x0 0 且在x0的两侧f x 的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的 点 f x0 是 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的 点 f x0 是 极大值 极大值 极小值 极小值 1 f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 C D 2 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 故选D x2 a3 若函数f x x 1 在x 1处取极值 则a 3 4 函数f x x3 15x2 33x 16的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 由 x 11 x 1 0得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 5 2011届北京海淀区联考 函数f x lnx 2x的极值点为 1 11 考点1讨论函数的单调性 例1 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 求a b 的值 2 求函数f x 的单调区间与极值点 解题思路 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值 解析 1 f x 3x2 3a 曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 2 f x 3 x2 a a 0 当a 0时 f x 0 函数f x 在 上单调递增 此时函数f x 没有极值点 本题在当年的高考中 出错最多的就是将第 1 题 的a 4用到第 2 题中 从而避免讨论 当然这是错误的 互动探究 1 2011届广东台州中学联考 设f x 是函数f x 的导函数 将y f x 和y f x 的图象画在同一直角坐标系中 不可能正确 的是 D 解析 根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系 进行逐一判断 A B C都有可能成立 排除A B C 选D 1 先求出原函数f x 再求得g x 然后利用导数判断函数的单调性 单调区间 并求出最小值 2 作差法比较 构造一个新的函数 利用导数判断函数的单调性 并由单调性判断函数的正负 3 对任意x 0成立的恒成立问题转化为函数g x 的最小值问题 互动探究 2 2 2011年广东 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 解析 f x 3x2 6x 3x x 2 f x 的单调递增区间为 0 2 递减区间为 0 2 f x 在x 2处取得极小值 考点3利用导数解决函数中的恒成立问题 1 若曲线y f x 在点P 2 f 2 处的切线方程为y 3x 1 求函数f x 的解析式 2 讨论函数f x 的单调性 立 求b的取值范围 互动探究 1 如果函数g x f x 是偶函数 求f x 的极大值和极小值 2 如果函数f x 是 上的单调函数 求a的取值范围 思想与方法7 运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题 2011年广东 设a 0 讨论函数f x lnx a 1 a x2 2 1 a x的单调性 1 求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 2 求函数最值的步骤 1 求出f x 在 a b 上的极值 2 求出端点函数值f a f b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 1 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 如果一个函数在给定的定义域上的单调区间不止一个 这些区间之间不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 2 求函数的最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过与端点