3-微分中值定理及导数应用习题课.pdf

第三章第三章 微分中值定理 及导数的应用 习题课 微分中值定理 及导数的应用 习题课 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 bfaf 一 小结一 小结 罗尔定理罗尔定理 0 f x y o a b xfy g f agbg afbf ab afbf f bfaf xxg 1 0 1 1 1 nn n xxf 柯西中值定理柯西中值定理 xxg x y o a b xfy 泰勒中值定理泰勒中值定理 000 xxxfxfxf nn n xxxf 00 1 L 0 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 微分中值定理及其相互关系 微分中值定理及其相互关系 2 一元微分学的应用 一元微分学的应用 1 研究函数的性态 研究函数的性态 3 证明恒等式或不等式 证明恒等式或不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调性单调性 极值极值 凹凸凹凸 拐点拐点 渐近线渐近线 曲率 曲率 2 解决最值问题 解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题 利用一元微分学证明不等式的方法 利用一元微分学证明不等式的方法 用中值定理 用泰勒公式 用函数的单调性 用函数的极值和最值 用函数的凹凸性等 用中值定理 用泰勒公式 用函数的单调性 用函数的极值和最值 用函数的凹凸性等 利用利用逆向思维逆向思维 关键是关键是设辅助函数设辅助函数 一般解题方法一般解题方法 1 证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在 2 若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数 3 若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值 可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 多用多用罗尔定理罗尔定理 可考虑用可考虑用 柯西中值定理柯西中值定理 必须必须多次应用 中值定理 多次应用 中值定理 4 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式 5 若结论为不等式若结论为不等式 要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧 有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论 7 曲率 曲率 5 求不定式极限 求不定式极限 利用洛比达法则 泰勒公式 利用洛比达法则 泰勒公式 6 研究方程实根 研究方程实根 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用中值定理 单调性 利用中值定理 单调性 8 泰勒公式 其中 泰勒公式 其中 0 n xxo 当当0 0 x时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 xf 0 xf 00 xxxf 2 0 0 2 xx xf L n n xx n xf 0 0 xRn 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 之间之间与在与在xx 2 3 2 1 y y k 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 1 2 1 1 2nnx xox n xxe L 12 1 5 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx L 2 1 6 4 2 1cos 12 2642 n n n xo n xxxx xL 1 32 1ln 1 32 n n n xo n xxx xx L 1 1 1 2nn xoxxx x L 1 1 2 1 1 1 2 nn m xox n nmmm x mm mxx L L 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时当当0 x 作业作业 习题习题3 8 P229 2 3 5 8 10 3 5 8 12 1 3 13 2 4 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1例1 6 5 6 sinln 的正确性 上在验证罗尔定理对 的正确性 上在验证罗尔定理对 xy 解解 1 0 22 LQ 证明不等式 证明不等式例7例7 证证 0 ln ttttf令令 1ln ttf则则 0 1 t tf 0 0 ln 是凹的或在 是凹的或在 yxxyyxtttf 2 2 1yx fyfxf 于是 于是 2 ln 2 lnln 2 1yxyx yyxx 即 即 2 ln lnln yx yxyyxx 即 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8例8 解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 讨论函数 1 讨论函数 xyln 的图形的凹凸性 2 设 的图形的凹凸性 2 设ba 是任意两个正数 是任意两个正数 10 证明 证明 baba 1 1 1 1 x y 0 1 2 1ln lnln 1 baba 即 即baba ba baba 1 1 等号成立 时当且仅当 等号成立 时当且仅当ba 例9 例9 10 时当证明时当证明 x 1 1 2 x x e x 证1 证1 只要证只要证 10 01 1 2 xxex x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 2 xexxf x 设 设0 0 f则则 1 21 2 x exxf 0 0 f 10 04 2 xexxf x 1 0 单调递减在单调递减在x f 0 0 fxf 1 0 单调递减在单调递减在xf 0 0 fxf 01 1 2 xex x 即即 1 1 2 x x e x 10 x 例9 例9 10 时当证明时当证明 x 1 1 2 x x e x 证2 证2 只要证只要证 10 01 1 2 xxex x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 2 xexxf x 设设0 0 f则则 1 21 2 x exxf0 0 f 10 04 2 xexxf x 利用泰勒公式 得利用泰勒公式 得 2 2 0 0 x f xffxf 10 02 22 ab ba 分析 分析 只要证只要证baablnln 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ln x x xf 设 设 b b a alnln 即 即 2 ln1 x x xf 证1 证1 用中值定理证用中值定理证 lnln abf a a b b ln1 2 ab ba ea Q 1lnln e 0ln1 a a b blnln 即 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ln x x xf 设 设 2 ln1 x x xf 证2 证2 用单调性证用单调性证 时当时当ex 0 ln1 2 Q a a b blnln 即 即 例10 例10 时当证明时当证明eab ab ba baablnln b b a alnln 即即分析 分析 只要证只要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 lnln xaaxxf 设设 ln x a axf 证3 证3 用单调性证用单调性证 则 则0lnln baabbf ab ba 即即 时当证明时当证明eab ab ba 分析 分析 只要证只要证baablnln 2 x a xf 0 例10 例10 单增 单增 x f afxf 1ln a 0 单增 单增 xf afbf 0 例11 例11 证明证明 0 1 arctan 1ln x x x x 证 证 设设xxxxarctan 1ln 1 则 则0 0 2 1 1 1ln 1 x xx 0 0 x 故故0 x时 时 x 单调增加 从而单调增加 从而0 0 x 即即 0 1 arctan 1ln x x x x 思考 思考 证明证明 10 arcsin 1ln 1 1 0 时 时 1 ln 1 22 xxx 证 证 令令 1 ln 1 22 xxxxf则则0 1 f xxxfln2 0 1 f xxfln2 1 1 2 x 02 1 f 3 2 1 2 x x xf x x 1 1 2 x 法1 法1 由由 xf在在1 x处的二阶泰勒公式 得处的二阶泰勒公式 得 xf 2 1 2 1 x f 3 1 3 x f 2 1 x 3 3 2 1 3 1 x xx在在 0 0 故所证不等式成立 与 故所证不等式成立 与 1 之间 之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 法2 法2 列表判别 列表判别 1 ln 1 22 xxxxf0 1 f 2 1 ln2 x xxxf0 1 f 1 1 ln2 2 x xxf 02 1 f 3 2 1 2 x x xf x x f x f x f xf 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 xfx时故当时故当 即即 1 ln 1 22 xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 法3 法3 利用利用极值第二判别法极值第二判别法 0 1的唯一根是易知的唯一根是易知 xfx 的唯一为的唯一为 1xfx 故故0 1 f也是最小值 因此当 也是最小值 因此当0 x时时 0 xf 即即 22 1 ln 1 xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 ln 1 22 xxxxf0 1 f 2 1 ln2 x xxxf0 1 f 1 1 ln2 2 x xxf 02 1 f 极小点 极小点 0 1 f 且且 1 y ox 2 2 1 ln 1 x xxy 法4 法4 原不等式等价于原不等式等价于 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 ln 1 x x xx时当时当 1 1 ln 10 0 x 于是 内单调增加在于是 内单调增加在 0 x 0 1 10 xx时当时当 1 1 ln x x x即即 1 1 ln x x x即即 0 1 1 xx时当时当 1 2 0 g 例13 例13 设设 xg具有二阶导数 且具有二阶导数 且0 0 g 1 0 g 2 0 g 求 求 2 0 lim x xxg x 解解1 2 0 lim x xxg x x xg x 2 1 lim 0 x gxg x 0 lim 2 1 0 0 2 1 g 1 2 lim 0 xg x 解解2 0 2 1 0 0 22 xoxgxggxg 22 xoxx 2 0 lim x xxg x 2 22 0 lim x xox x 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14 例14 设设 xf具有连续二阶导数 且具有连续二阶导数 且0 3sin lim 23 0 x xf x x x 试求 试求 0 f 0 f 0 f 解解1 3 0 23 0 3sin lim 3sin lim x xxfx x xf x x xx 2 0 3 3cos3 lim x xfxxfx x x xfxxfx x 6 23sin9 lim 0 3 0 f 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 f 6 1 0 3 1 3 3sin 2 9 lim 0 xf x fxf x x x 0 6 1 0 3 1 2 9 ff 0 9 0 f 例14 例14 设 设 xf具有连续二阶导数 且具有连续二阶导数 且0 3sin lim 23 0 x xf x x x 试求 试求 0 f 0 f 0 f 解解2 3 0 23 0 3sin lim 3sin lim x xxfx x xf x x xx 3 3 3 24 3 0 2 0 0 0 3 3 3 lim x xo xf xfxfxo x x x 3 332 0 0 6 27 2 0 0 0 3 lim x xx f xfxf x 9 0 0 0 3 0 fff 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 例14 例14 设 设 xf具有连续二阶导数 且具有连续二阶导数 且0 3sin lim 23 0 x xf x x x 试求 试求 0 f 0 f 0 f 解解3 3 0 23 0 3sin lim 3sin lim x xxfx x xf x x xx 3 332 0 0 2 1 0 0 3sin lim x xoxfxfxfx x 2 2 0 3 0 2 3 0 2 0 3cos3 lim x xfxffx x 3 0 f 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 0 33cos27 lim 0 fx x 9 0 f x xffx x 6 0 3 0 23sin9 lim 0 0 0 f 注意注意 再计算换成此题不能先把 再计算换成此题不能先把xx33sin 1 用洛必达法则和不能分别对 用洛必达法则和不能分别对 23 3sin 2 x xf x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15 例15 设设 xf具有连续二阶导数 且具有连续二阶导数 且 3 1 0 1 lime x xf x x x 试求 试求 0 f 0 f 0 f 解解 3 1ln 1 lim 0 x xf x x x 由条件知 由条件知 则必须 则必须0 1ln lim 0 x xf x x 即 即0 lim 0 x xf x x 从而 从而0 lim 0 x xf x 于是 于是0 lim 0 xf x 所以 所以0 0 f x xf x lim 0 又又 lim 0 xf x 0 所以 所以0 0 f 于是于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 1 0 0 22 xoxfxffxf 0 2 1 22 xoxf x x xoxfx 1 0 0 2 1 1 lim x x x xf xe 1 0 3 1 lim 0 2 1 1 lim 0 xoxfx xx e 0 2 1 1f e 3 0 2 1 1 f即即4 0 f 所以所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例16 例16 0 1 0 lim 0 f x xf xf x 且 具有二阶导数设且 具有二阶导数设 证明至少存在一点证明至少存在一点 1 0 使使 0 f 证 证 由 由0 lim 0 x xf x 知 知0 lim 0 xf x 即 即0 0 f 0 1 0 11 xfx使存在 由罗尔定理知使存在 由罗尔定理知 x xf x lim 0 又又 x fxf x 0 lim 0 0 0 f 0 0 1 fx使存在 又由罗尔定理使存在 又由罗尔定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17 例17 设在设在 xf 1 0 内可导 且内可导 且 0 1 f证明至少存在一点证明至少存在一点 1 0 使 上连续 在 使 上连续 在 1 0 f f 证 证 问题转化为证问题转化为证 0 ff 设辅助函数设辅助函数 xxfx 显然显然 x 在 在 0 1 上满足罗尔定理条件 故至上满足罗尔定理条件 故至 1 0 使使 0 ff 即有即有 f f 少存在一点少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17例17 设在设在 xf 1 0 内可导 且内可导 且 0 1 f证明至少存在一点证明至少存在一点 1 0 使 上连续 在 使 上连续 在 1 0 2 f f 证 证 问题转化为证问题转化为证 0 2 ff 设辅助函数设辅助函数 2 xfxx 显然显然 x 在 在 0 1 上满足罗尔定理条件 故至上满足罗尔定理条件 故至 1 0 使使 0 2 2 ff 即有即有 2 f f 少存在一点少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求证存在求证存在 1 0 使使 设设 1 0 可导 且可导 且 0 1 f在连续 在连续 1 0 xf 证 证 xfxx n 1 0 因此至少存在 显然 因此至少存在 显然 x 在 0 1 上满足罗尔定理条件 在 0 1 上满足罗尔定理条件 即即0 ffn 设辅助函数 使得 设辅助函数 使得 1 ffn nn 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 ffn 例17例17 例18 例18 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的零点 一定存在 的两个零点之间可导 证明 在设 的零点 一定存在 的两个零点之间可导 证明 在设 xfxf xfxf 证 证 x exfxF 令令 xx exfexfxF 则 则 x exfxf 2121 xxxfxx 不妨设 的两个零点是设不妨设 的两个零点是设 0 21 xFxF则则 0 21 Fxx使存在 由罗尔定理知使存在 由罗尔定理知 0 eff即即 0 eQ 0 ff 的零点是 的零点是 xfxf 例19 例19 设在设在 xf ba内可导 且内可导 且 0 baxxf baK 存在对于任意常数存在对于任意常数使 上连续 在 使 上连续 在 ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 bfaf若若证明证明 K f f 证 证 问题转化为证问题转化为证0 Kff Kx exfxF 令 令 KK eKfefF 即即 0 K eKff 0 bFaF则则 0 Fba使存在 由罗尔定理知使存在 由罗尔定理知 0 K eQ 0 Kff 例20 例20 设实数满足下述等式设实数满足下述等式 n aaa 10 L 0 12 1 0 n aa a n L 证明方程证明方程 在在 0 1 内至少有一个实根 内至少有一个实根 0 10 n nx axaaL 证 证 令令 10 n nx axaaxF L则可设则可设 12 1 0 12 n n x n a x a xaxFL 1 0 上连续在显然上连续在显然xF且且 0 F 由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点 1 0 使使 0 F 即即 100 10 内至少有一个实根 在内至少有一个实根 在 n nx axaaL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 0 内可导在内可导在 0 1 F 例21 例21 设设 在在 xgxf ba 0 x g 上具有二阶导数 且上具有二阶导数 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 bgagbfaf 证明证明 0 1 xgba 内在 内在 2 g f g f ba 使 内至少存在一点在 使 内至少存在一点在 证 证 1 用反证法 1 用反证法 0 cgbac使设存在使设存在 上分别用罗尔定理 在上分别用罗尔定理 在 bcca 0 2121 xgxgbcxcax使存在使存在 用罗尔定理 上对在用罗尔定理 上对在 21 xgxx 0 21 gxx使存在使存在 矛盾与 矛盾与0 x g 2 xgxfxgxfxF 令令 0 bFaF则则 使存在 由罗尔定理知使存在 由罗尔定理知 ba 0 gfgfF g f g f 即 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 ff ff xf 使 内存在两点在试证 且内可导在上连续在设 使 内存在两点在试证 且内可导在上连续在设 例22 分析 例22 分析 1 0 中的任一点是设中的任一点是设 x 1 0 xxxf在对在对 定理上分别用拉格朗日中值 定理上分别用拉格朗日中值 0 0 x fxf f x xf 0 x x xff f 1 1 x xf 1 1 1 x 2 1 1 ff 要使要使 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 1 0 xfx使即只需求使即只需求 2 1 1 xf x xf x 只要只要0 21 xfxxf即即 证明证明 1 1 0 0 1 0 ffxf连续在已知连续在已知 2 1 1 0 xfx使 存在由介值定理使 存在由介值定理 1 0 定理上分别用拉格朗日中值在对定理上分别用拉格朗日中值在对xxxf 0 0 x fxf f x xf 0 x x xff f 1 1 x xf 1 1 0 x x2 1 1 2 1 x 2 1 1 ff 则则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 ba f b f a baff xf 使内存在不同的在 对任意给定的正数试证 且内可导在上连续在设 使内存在不同的在 对任意给定的正数试证 且内可导在上连续在设例23例23 证证 均为正数与均为正数与baQ10 ba a 1 0 上连续在又上连续在又xfQ由介值定理 由介值定理 ba a f 使得使得 1 0 存在存在 有中值定理上分别用在有中值定理上分别用在 1 0 Lagrangexf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 fff 1 1 1 fff 1 2 1 1 0 0 ff注意到由注意到由 1 2 有有 1 baf b baf a f ba a 3 4 1 1 f f f ba b 3 4 得得 f f ba f b f a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例24 例24 内可导 在 上连续在设内可导 在 上连续在设babaxf 且且 0ba x xf x的某去心邻域内在的某去心邻域内在 0 0 fxf 即 即 的极小值是 的极小值是 0 xff 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 xf具有二阶导数 且具有二阶导数 且0 0 f 1 lim 0 x xf x 则 则 xf在在0 x点取得极小值 点取得极小值 例28 例28 证1 证1 1 lim 0 x xf x Q 0 0 x xf x的某去心邻域内在的某去心邻域内在0 x f即即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0单调递增的某去心邻域内在单调递增的某去心邻域内在xfx 0 0 0 fxfx时当时当 0 0 0 x xf x的某去心邻域内在的某去心邻域内在0 x f即即 2 2 1 0 0 xfxffxf 则 则 2 2 1 0 xff 的极小值是 的极小值是 0 xff 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 f 设设 L xfhxfhxf 1 1 1 hxf n h xf n h n n n n 10 又 又 1 xf n 连 续 且连 续 且0 1 xf n 证 明 证 明 1 1 lim 0 n h 例29 例29 证 证 利用泰勒公式利用泰勒公式 1 1 1 xf n h xfhxfhxf n n L 1 1 1 1 hxf n h xf n h n n n n 10 1 n 且 且 0 0 1 00 xfxfxf n L 0 0 xf n 问 问n取何值时 取何值时 00 xfx是拐点 是拐点 例31 证1 例31 证1 0 0 xf n 不妨设 点连续在不妨设 点连续在 0 xxf n Q 0 00 xfxUxxU n 使使 由泰勒公式 由泰勒公式 0 xUx 1 0 0 nn xxf n xfxf 之间介于之间介于 0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 0 内在 是奇数时当内在 是奇数时当xUn 00000 xxxfxfxfxfxx 时当 时当 的图形是凹曲线 的图形是凹曲线 xf 的图形是凸曲线 的图形是凸曲线 xf 是拐点 是奇数时故当 是拐点 是奇数时故当 00 xfxn 1 0 内在 是偶数时当内在 是偶数时当xUn 0 xfxf 是极小值 是极小值 0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 xf在在 0 x的邻域内有的邻域内有n阶连续导数阶连续导数 1 n 且 且 0 1 00 xfxfxf n L 0 0 xf n 问 问 n取何值时 取何值时 00 xfx是拐点 是拐点 例31 证2 例31 证2 0 0 xf n 不妨设 由泰勒公式 不妨设 由泰勒公式 1 1 00 1 0 nn n xxoxf n xx xf 是偶数时当 是偶数时当n 1 0 0 xfxx 时当 时当 是极小值则 是极小值则 0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由泰勒公式 由泰勒公式 2 2 00 2 0 nn n xxoxf n xx xf 是奇数时当 是奇数时当n 2 0 0 xfxx 时当 时当 是拐点 是奇数时故当 是拐点 是奇数时故当 00 xfxn 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论 结论 设设 xf在在 0 x的邻域内有的邻域内有n阶连续导数阶连续导数 1 n 且 且 0 1 00 xfxfxf n L 0 0 xf n 则 1 则 1 n为偶数时 1 为偶数时 1 0 0 xf n 0 xf是极小值 2 是极小值 2 0 0 则当则当ax 时时 xgxf 证 证 令令 xgxfx 则则 1 1 0 0 nka k L 0 axx n 利用利用 x 在在ax 处的 处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得 x xa 时时 xgxf 0 n n ax n 例33 例33 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例34 例34 设函数在设函数在 xf ba内可导 且内可导 且 Mxf 证明证明在在 xf ba内有界 内有界 证 证 取点取点 0 bax 再取异于再取异于 0 x的点的点 bax 对对 xxxf 0 在以在以为端点的区间上用拉氏中值定理 得为端点的区间上用拉氏中值定理 得 00 xxfxfxf 0 之间与界于之间与界于xx 00 xxfxfxf 00 xxfxf 0 abMxf K 定数 定数 可见对任意可见对任意 bax Kxf 即得所证 即得所证 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数的连续性及导函数 例35 例35 填空题填空题 1 设函数 1 设函数上连续 在上连续 在 xf 的则的则 xf 其导数图形如图所示 其导数图形如图所示 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 单调减区间为 极小值点为 极小值点为 极大值点为 极大值点为 x f 0 21 xx 0 21 xx 21 xx 0 x 提示 提示 xf根据根据 的正负作 的正负作 f x 的示意图 的示意图 单调增区间为 单调增区间为 o 2 x 1 x y x ox xf 1 x 2 x 的图形如图所示 的图形如图所示 o xf x 在区间 在区间 上是凸弧 拐点为 上是凸弧 拐点为 0 21 xx 0 0 2211 fxfxxfx 提示 提示 xfxf 的可导性及根据 的可导性及根据 的正负作 的正负作 f x 的示意图 的示意图 形在区间 形在区间 上是凹弧 则函数 上是凹弧 则函数 f x 的图的图 2 2 设函数设函数上可导 在上可导 在 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 21 xx xf o2 x 1 x y x 2 x x f 1 x ln 1ln 1 xxxf xf 例36 例36 证明在证明在 x x xf 1 1 0 上单调增加 上单调增加 证 证 1 1ln ln x xxf ln 1ln xxx 1 1 ln 1ln 1 1 x xx x xf x 令令 ln ttF 在 在 x x 1 上利用拉氏中值定理 上利用拉氏中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 xx x 10 1 ln 1ln 1 1 故当 故当 x 0 时 时 0 x f从而从而 xf在在 0 上单调增 得 上单调增 得 例37 例37 设在设在 xf 上可导 且上可导 且 证明 证明 f x 至多只有一个零点 至多只有一个零点 证 证 设设 xfex x 则则 xfxfex x 0 0 xfxf 故故 x 在在 上连续单调递增 从而至多只有 一个零点 又因 上连续单调递增 从而至多只有 一个零点 又因 0 x e因此因此 xf也至多只有一个零点 也至多只有一个零点 思考 思考 若题中若题中0 xfxf 改为改为 0 nm 例38 例38 解 解 x设一正数为设一正数为 xa 则另一正数为则另一正数为 的最大值现求 的最大值现求 nm xaxxf 11 xnmmaxaxxf nm 0 00 xf nm ma xxnmma 时即 当 时即 当 0 0 xfax nm ma xnmma 时即 当 时即 当 nmnm nm a nmxf nm ma x 取得最大值 时当取得最大值 时当 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例39 例39 求数列求数列 n n的最大项 的最大项 解 解 设设 1 1 xxxf x 用对数求导法得用对数求导法得 ln1 2 1 xxxf x 令令 0 x f得得 ex x x f xf e 1 e e 0 e e 1 因为因为 xf在在 1 只有唯一的极大点只有唯一的极大点 ex 因此在因此在 ex 处处 xf也取最大值 又因 也取