2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用.教学案 理 北师大版.docVIP

第四节函数yasin(x)的图像及三角函数模型的简单应用 最新考纲1.了解函数yasin(x)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数a，对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yasin(x)的有关概念yasin(x)(a0，0，x0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相atfx2.用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yasin(x)0a0a03.由ysin x的图像变换得到yasin(x)(其中a0，0)的图像1函数yasin(x)k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”2由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()(2)将y3sin 2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y3sin.()(3)ysin的图像是由ysin的图像向右平移个单位得到的()(4)函数yacos(x)的最小正周期为t，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1y2sin的振幅、频率和初相分别为()a2,4，b2，c2， d2,4，c由题意知a2，f，初相为.2为了得到函数y2sin的图像，可以将函数y2sin 2x的图像()a向右平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向左平移个单位长度ay2sin2sin 2.3.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yasin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_y10sin20，x6,14从题图中可以看出，从614时的是函数yasin(x)b的半个周期所以a(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kz，取，所以y10sin20，x6,144某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_y6cosx设yasin(x)b(a0，0)，由题意得a1，b6，t4，因为t，所以，所以ysin6.因为当x1时，y6，所以6sin6，结合表中数据得2k，kz，可取，所以ysin66cos x.考点1函数yasin(x)的图像及变换(1)yasin(x)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysin x的图像通过变换得到yasin(x)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”已知函数y2sin.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；(2)一题多解说明y2sin的图像可由ysin x的图像经过怎样的变换而得到解(1)描点画出图像，如图所示：(2)法一：把ysin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图像；再把ysin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图像；最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图像法二：将ysin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图像；再将ysin 2x的图像向左平移个单位长度，得到ysinsin的图像；再将ysin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y2sin的图像三角函数图像变换中的3个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yasin x到yasin(x)的变换量是|个单位，而函数yasin x到yasin(x)时，变换量是个单位1.要得到函数ysin的图像，只需将函数ycos 5x的图像()a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位 d向右平移个单位b函数ycos 5xsinsin 5，ysinsin 5，设平移个单位，则，解得，故把函数ycos 5x的图像向右平移个单位，可得函数ysin的图像2若把函数ysin的图像向左平移个单位长度，所得到的图像与函数ycos x的图像重合，则的一个可能取值是()a.2b. c.d.aysin和函数ycos x的图像重合，可得2k，kz，则6k2，kz.2是的一个可能值3将函数f(x)sin的图像向左平移(0)个单位后，得到的图像关于直线x对称，则的最小值为_把函数f(x)sin的图像向左平移(0)个单位后，可得ysinsin的图像，所得图像关于直线x对称，44k(kz)，(kz)，0，min.考点2由图像确定yasin(x)的解析式确定yasin(x)b(a0，0)的解析式的步骤(1)求a，b，确定函数的最大值m和最小值m，则a，b.(2)求，确定函数的周期t，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图像的“谷点”)为x；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为x2.(1)函数f(x)asin(x)的部分图像如图所示，则f(x)_.图图(2)(2019重庆六校联考)函数f(x)asin(x) 的部分图像如图所示，则f_.(1)2sin(2)(1)由题图可知，a2，t2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.(2)由函数的图像可得a，可得2，则22k(kz)，又0，所以，故f(x)sin，所以f.(1)一般情况下，的值是唯一确定的，但的值是不确定的，如果求出的的值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的(2)在用“零点”求时，务必关注三角函数在该点附近的图像变化趋势1.(2019开封模拟)如果存在正整数和实数使得函数f(x)sin2(x)的图像如图所示(图像经过点(1,0)，那么的值为()a1 b2c3 d4b因为f(x)sin2(x)cos 2(x)，所以函数f(x)的最小正周期t，由题图知1，且1，即t2，又为正整数，所以的值为2，故选b.2.(2019合肥模拟)函数f(x)asin(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是()a在区间上单调递减b在区间上单调递增c在区间上单调递减d在区间上单调递增b由题意得，a2，t4，故2.当x时取得最大值2，所以22sin，且|，所以，所以函数的解析式为f(x)2sin.当x时，2x，又由正弦函数ysin x的图像与性质可知，函数ysin x在上单调递增，故函数f(x)在上单调递增当x时，2x，由函数ysin x的图像与性质知此区间上不单调，故选b.3.已知函数f(x)sin(x)的部分图像如图所示，且f(0)，则图中m的值为_因为f(0)sin ，且|，所以，所以f(x)sin，所以f(m)sin，所以m2k，kz，所以m2k，kz.又周期t2，所以0m2，所以m.考点3三角函数图像与性质的综合应用函数零点(方程根)问题已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_(2，1)方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，所以题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根所以y1和y2sin t，t的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)母题探究(变条件)将本例中“有两个不同的实数根”改为“有实根”，则m的取值范围为_2,1)由例题可知，2m1，即m的取值范围为.本例在求解中，通过换元，令t2x，把原问题等价转化为函数y与ysin t，t图像交点个数问题，从而化繁为简，提高了解题效率三角函数图像与性质的综合问题已知函数f(x)sin(0)的图像与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图像向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)的图像恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间解(1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期为t2，得1，故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)将f(x)的图像向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)sinsin的图像，根据g(x)的图像恰好经过点，可得sin0，即sin0，所以2mk(kz)，m(kz)，因为m0，所以当k0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)sin.因为x，所以2x.当2x，即x时，g(x)单调递增，当2x，即x时，g(x)单调递增综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.研究yasin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题1.(2019天津高考)已知函数f(x)asin(x)(a0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()a2 bc d2cf(x)asin(x)为奇函数， k，kz，又|，0，f(x)asin x，则g(x)asin.由g(x)的最小正周期t2，得1，2.又gasin a，a2，f(x)2sin 2x，f2sin ，故选c.2(2019全国卷)设函数f(x)sin(0)，已知f(x)在0,2有且仅有5个零点下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点；f(x)在单调递增；的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()a bc dd如图，根据题意知，xa2xb，根据图像可知函数f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点，所以正确；但可能会有3个极小值点，所以错误；根据xa2xb，有2，得，所以正确；当x时，x，因为，所以，所以函数f(x)在单调递增，所以正确课外素养提升逻辑推理与数学运算三角函数中的确定方法数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成三角函数的周期t与的关系【例1】为了使函数ysin x(0)在区间0,1上至少出现50次最大值，则的最小值为()a98 b c d100b由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以t1，所以.评析解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期t与所给区间的关系，从而建立不等关系三角函数的单调性与的关系【例2】若f(x)2sin x(0)在区间上是增函数，则的取值范围是_法一：因为x(0)，所以x，因为f(x)2sin x在上是增函数，所以故0.法二：画出函数f(x)2sin x(0)的图像如图所示要使f(x)在上是增函数，需(0)，即0.法三：由2kx2k(kz)得x(kz)，故f(x)的单调递增区间是(kz)，由题意(kz，0)，从而有即0.评析根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函数f(x)2sin x(0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求的取值范围【例3】(1)已知f(x)sin xcos x，若函数f(x)图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则的取值范围是_(结果用区间表示)(2)已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是_(1