七年级数学下册 第7章 平面图形的认识（二）7.4 认识三角形作业设计 （新版）苏科版.doc

7.4 认识三角形一选择题（共5小题）1如图，有一abc，今以b为圆心，ab长为半径画弧，交bc于d点，以c为圆心，ac长为半径画弧，交bc于e点若b40，c36，则关于ad、ae、be、cd的大小关系，下列何者正确？（）aadaebadaecbecddbecd2如图，eof内有一定点p，过点p的一条直线分别交射线oe于a，射线of于b当满足下列哪个条件时，aob的面积一定最小（）aoaobbop为aob的角平分线cop为aob的高dop为aob的中线3在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点a、b是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个55的方格纸中，找出格点c使abc的面积为2个平方单位，则满足条件的格点c的个数是（）a5b4c3d24下列说法中，正确的个数是（）三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；直角三角形只有一条高；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点a1b2c3d45如图，g是abc的重心，直线l过a点与bc平行若直线cg分别与ab，l交于d，e两点，直线bg与ac交于f点，则aed的面积：四边形adgf的面积（）a1：2b2：1c2：3d3：2二填空题（共7小题）6如图，对面积为s的abc逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长ab、bc、ca至点a1、b1、c1，使得a1b2ab，b1c2bc，c1a2ca，顺次连接a1、b1、c1，得到a1b1c1，记其面积为s1；第二次操作，分别延长a1b1、b1c1、c1a1至点a2、b2、c2，使得a2b12a1b1，b2c12b1c1，c2a12c1a1顺次连接a2、b2、c2，得到a2b2c2，记其面积为s2；按此规律继续下去，可得到anbnn，则其面积sn 7从1，2，32004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是 8三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有 个9如图，在abc中，点d，e，f分别在三边上，e是ac的中点，ad，be，cf交于一点g，bc3dc，sgec3，sgbd8，则abc的面积是 10如图，abc中，adbc，垂足为d，adbd5，cd3，点p从点b出发沿线段bc的方向移动到点c停止，过点p作pqbc，交折线baac于点q，连接dq、cq，若adq与cdq的面积相等，则线段bp的长度是 11周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个12如图，在abc中，e是bc的中点，f在ae上，ae3af，bf延长线交ac于d点若abc的面积是48，则afd的面积等于 三解答题（共38小题）13两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；符合要求的线段必须全部画出；图1展示了当n1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？14四边形abcd是任意四边形，ac与bd交点o求证：ac+bd（ab+bc+cd+da）证明：在oab中有oa+obab在oad中有 ，在odc中有 ，在 中有 ，oa+ob+oa+od+od+oc+oc+obab+bc+cd+da即： ，即：ac+bd（ab+bc+cd+da）15如图，ad是abc的bc边上的高，ae平分bac，若b42，c70，求aec和dae的度数16我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形如图1，ad是abc边bc上的中线，则sabdsacd（1）如图2，abc的中线ad、be相交于点f，abf与四边形cefd的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图3，在abc中，已知点d、e、f分别是线段bc、ad、ce的中点，且sabc8，求bef的面积sbef（3）如图4，abc的面积为1分别倍长（延长一倍）ab，bc，ca得到a1b1c1再分别倍长a1b1，b1c1，c1a1得到a2b2c2按此规律，倍长n次后得到的anbnn的面积为 17如图，在abc中（acab），ac2bc，bc边上的中线ad把abc的周长分成60cm和40cm两部分，求边ac和ab的长（提示：设cdx cm）18已知a，b，c是abc的三边长，a4，b6，设三角形的周长是x（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数求c的长；判断abc的形状19三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长20已知a、b、c为abc的三边，有k，且满足4b2c22bc+c2（1）求k的值；（2）试判断abc的形状21在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图22如图，abc的周长是21cm，abac，中线bd分abc为两个三角形，且abd的周长比bcd的周长大6cm，求ab，bc23探索：在如图1至图3中，abc的面积为a（1）如图1，延长abc的边bc到点d，使cdbc，连接da若acd的面积为s1，则s1 （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长abc的边bc到点d，延长边ca到点e，使cdbc，aeca，连接de若dec的面积为s2，则s2 （用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长ab到点f，使bfab，连接fd、fe，得到def（如图3）若阴影部分的面积为s3，则s3 （用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将abc各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到def（如图3），此时，我们称abc向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的def的面积是原来abc面积的 倍应用：去年在面积为10m2的abc空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把abc向外进行两次扩展，第一次由abc扩展成def，第二次由def扩展成mgh（如图4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？24如图，在abc中，bc边上依次有b、d、e、c，ac边上依次有a、g、f，满足bdcebc，cfagac，bf交ae于点j，交ad于i，bg交ae于点k，交ad于点h，且sabc1，求s四边形khij25如图，在bcd中，bc4，bd5，（1）求cd的取值范围；（2）若aebd，a55，bde125，求c的度数26小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理27已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+ca|+|bca|+|cab|ab+c|28操作与探究探索：在如图1至图3中，abc的面积为a（1）如图1，延长abc的边bc到点d，使cdbc，连接da、若acd的面积为s1，则s1 （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长abc的边bc到点d，延长边ca到点e，使cdbc，aeca，连接de、若dec的面积为s2，则s2 （用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长ab到点f，使bfab，连接fd，fe，得到def（如图3）、若阴影部分的面积为s3，则s3 （用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将abc各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到def（如图3），此时，我们称abc向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的def的面积是原来abc面积的 倍29abc的面积是1平方厘米，如图所示，addeec，bggffc，求阴影四边形的面积30已知，a、b、c为abc的三边长，b、c满足（b2）2+|c3|0，且a为方程|a4|2的解，求abc的周长，并判断abc的形状31（1）如图1，已知abc，点d，e，f分别是bc，ab，ac的中点，若abc的面积为16，则abd的面积是 ，ebd的面积是 （2）如图2，点d，e，f分别是bc，ad，ec的中点，若abc的面积为16，求bef的面积是多少？32已知abc的三边长分别为a，b，c，且|b+c2a|+（b+c5）20，求b的取值范围33已知，a、b、c为abc的边长，b、c满足（b2）2+0，且a为方程|a4|2的解，求abc的周长，并判断abc的形状34如图，已知d、e、f分别是锐角abc的三边bc、ca、ab上的点，且ad、be、cf相交于点p，apbpcp6，设pdx，pey，pfz，若xy+yz+zx28，求xyz的大小35已知a，b，c为abc的三边长，化简36已知abc中，三边长a，b，c都是整数，且满足abc，a8，那么满足条件的三角形共多少个？37一条直线截abc的边bc、ca、ab（或它们的延长线）于点d、e、f求证：38附加题：如图，已知abc的面积为1cm2，如果ad2ac，bf3ba，ce4cb，求def的面积39在abc中，be和cf是高，abac，求证：ab+cfac+be40已知abc的三边长为5，12，3x4，周长为偶数，求整数x及周长先求x的取值范围41从1、2、3、4、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？42已知：如图，abc中，中线bd和中线ce相交于点o，求证：bo2do43已知：a，b，c分别为abc的三条边的长度，请用所学知识说明：b2+c2a22bc是正数、负数或零44阅读：如图1，在abc和def中，abcdef90，abdea，bcefb（ab），b、c、d、e四点都在直线m上，点b与点d重合连接ae、fc，我们可以借助于sace和sfce的大小关系证明不等式：a2+b22ab（ba0）证明过程如下：bcb，bea，ecba，ba0sfcesace即b2ababa2a2+b22ab解决下列问题：（1）现将def沿直线m向右平移，设bdk（ba），且0k1如图2，当bdec时，k 利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b22ab（ba0）（2）用四个与abc全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式请你画出一个示意图，并简要说明理由45已知abc的三边长为，a，b，c，a和b满足+（b2）20求c的取值范围46如图，在abc的边上取两点d、e，且bdce，求证：ab+acad+ae47如图所示，四边形abcd中，e、f、g、h依次是各边中点，o是四边形形内一点，若s四边形aeoh3，s四边形bfoe4，s四边形cgof5，求s四边形dhog48探究规律：如图，已知直线mn，a，b为直线m上的两点，c，p为直线n上两点（1）请写出图中面积相等的各对三角形： （2）如果a，b，c为三个定点，点p在n上移动，那么，无论p点移动到任何位置，总有 与abc的面积相等理由是： 49已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？50如图，它是由6个面积为1的小正方形组成的矩形，点a，b，c，d，e，f，g是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为1的三角形？请你写出所有这样的三角形参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1如图，有一abc，今以b为圆心，ab长为半径画弧，交bc于d点，以c为圆心，ac长为半径画弧，交bc于e点若b40，c36，则关于ad、ae、be、cd的大小关系，下列何者正确？（）aadaebadaecbecddbecd【分析】由cb利用大角对大边得到abac，进一步得到be+eded+cd，从而得到becd【解答】解：cb，abac，abbdacecbe+eded+cd，becd故选：d【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角2如图，eof内有一定点p，过点p的一条直线分别交射线oe于a，射线of于b当满足下列哪个条件时，aob的面积一定最小（）aoaobbop为aob的角平分线cop为aob的高dop为aob的中线【分析】当点p是ab的中点时saob最小；过点p的另一条直线cd交oe、of于点c、d，设pdpc，过点a作agof交cd于g，由全等三角形的性质可以得出s四边形aodgsaob，s四边形aodgscod，从而求得saobscod，即可得出结论；【解答】解：当点p是ab的中点时saob最小；如图，过点p的另一条直线cd交oe、of于点c、d，设pdpc，过点a作agof交cd于g，在apg和bpd中，apgbpd（asa），s四边形aodgsaobs四边形aodgscod，saobscod，当点p是ab的中点时saob最小；故选：d【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键3在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点a、b是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个55的方格纸中，找出格点c使abc的面积为2个平方单位，则满足条件的格点c的个数是（）a5b4c3d2【分析】首先分别在ab的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作ab的平行线找到所有的格点即可即有5个【解答】解：满足条件的c点有5个，如图平行于ab的直线上，与网格的所有交点就是故选：a【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点4下列说法中，正确的个数是（）三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；直角三角形只有一条高；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点a1b2c3d4【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上【解答】解：三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误所以正确的有1个故选：a【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解5如图，g是abc的重心，直线l过a点与bc平行若直线cg分别与ab，l交于d，e两点，直线bg与ac交于f点，则aed的面积：四边形adgf的面积（）a1：2b2：1c2：3d3：2【分析】根据重心的概念得出d，f分别是三角形的中点若设abc的面积是2，则bcd的面积和bcf的面积都是1又因为bg：gfcg：gd，可求得cgf的面积则四边形adgf的面积也可求出根据asa可以证明adebdc，则ade的面积是1则aed的面积：四边形adgf的面积可求【解答】解：设三角形abc的面积是2三角形bcd的面积和三角形bcf的面积都是1bg：gfcg：gd2三角形cgf的面积是四边形adgf的面积是21adebdc（asa）ade的面积是1aed的面积：四边形adgf的面积1：3：2故选：d【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍二填空题（共7小题）6如图，对面积为s的abc逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长ab、bc、ca至点a1、b1、c1，使得a1b2ab，b1c2bc，c1a2ca，顺次连接a1、b1、c1，得到a1b1c1，记其面积为s1；第二次操作，分别延长a1b1、b1c1、c1a1至点a2、b2、c2，使得a2b12a1b1，b2c12b1c1，c2a12c1a1顺次连接a2、b2、c2，得到a2b2c2，记其面积为s2；按此规律继续下去，可得到anbnn，则其面积sn19ns【分析】连接a1c，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积【解答】解：连接a1c；saa1c3sabc3s，saa1c12saa1c6s，所以sa1b1c16s3+1s19s；同理得sa2b2c219s19361s；sa3b3c3361s196859s，sa4b4c46859s19130321s，sa5b5c5130321s192476099s，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到anbnn，则其面积sn19ns【点评】本题的关键是作辅助线，连接a1c，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积7从1，2，32004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是17【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004中选k个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和【解答】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有ai大于等于中的第i个数，所以n17k，从而知k的最小值为17故答案为：17【点评】本题考查了三角形三边关系解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16个数，从而列不等式求出k的最小值8三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有7个【分析】三角形的边长均为正整数，且周长等于15，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解【解答】解：这样的三角形的三边长分别为：5，5，5或4，5，6或3，5，7或4，4，7，或1，7，7或2，6，7或3，6，6，共有7个【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解注意不要漏掉哪一种情况9如图，在abc中，点d，e，f分别在三边上，e是ac的中点，ad，be，cf交于一点g，bc3dc，sgec3，sgbd8，则abc的面积是30【分析】根据题意得到sgdcsgbd4，求出sebc，根据e是ac的中点解答【解答】解：bc3dc，bd2cd，sgdcsgbd4，sebcsgbd+sgbd+sgec15，e是ac的中点，sebasebc15，abc的面积是30，故答案为：30【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、两个高相等是三角形的面积比等于两底之比是解题的关键10如图，abc中，adbc，垂足为d，adbd5，cd3，点p从点b出发沿线段bc的方向移动到点c停止，过点p作pqbc，交折线baac于点q，连接dq、cq，若adq与cdq的面积相等，则线段bp的长度是或6.5【分析】分两种情况计算：点q在ab边上时，先求出三角形abd的面积，设出bpx，再将三角形dcq和aqd的面积用x表示出来，用面积相等建立方程即可；当点q在ac边时，由面积相等即可得出点q是ac中点，进而得出点p是cd的中点，即可求出dp，即可得出结论【解答】解：点q在ab边上时，adbc，垂足为d，adbd5，cd3，sabdbdad55，b45pqbc，bppq，设bpx，则pqx，cd3，sdcq3xx，saqdsabdsbqd5xx，adq与cdq的面积相等，xx，解得：x，如图，当q在ac上时，记为q，过点q作qpbc，adbc，垂足为d，qpadadq与cdq的面积相等，aqcqdpcpcd1.5adbd5，bpbd+dp6.5，综上所述，线段bp的长度是或6.5故答案为或6.5【点评】此题是三角形的面积，主要考查了三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点q是ac的中点11周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有12个【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且abc，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且abca+b+c30，a+bc10c15c为整数c为11，12，13，14当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力12如图，在abc中，e是bc的中点，f在ae上，ae3af，bf延长线交ac于d点若abc的面积是48，则afd的面积等于1.6【分析】先过e作egbd，交ac于g，设sadfx，scegy，由于abc的面积为48，e是bc中点，可求sabe，sace，又f是ae的三等分点，可求sabe在cbd中，egbd，e是bc中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知cgdg，从而可知cegcbd，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得scbd4y，同理可求saeg9x，再利用三角形面积之间的加减关系可得关于x、y的二元一次方程，解即可【解答】解：过点e作egbd，交ac于g，如右图，设sadfx，scegy，在cbd中，e是bc中点，egbdcegcbd，sabesace24，scbd：sceg4：1，scbd4y，在aeg中，ae3af，egbd，adfage，sabf8，sbef16，saeg：safd9：1，saeg9x，那么有，解得故答案为：1.6【点评】本题考查了三角形的面积计算、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方关键是作辅助线，所作的平行线能用到两个三角形中三解答题（共38小题）13两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；符合要求的线段必须全部画出；图1展示了当n1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为4个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有02（11）；当n2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有22（21）；故当有n对点时，最少可以画2（n1）个三角形；（3）当n2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2（20061）4010个三角形【解答】解：（1）4个；（2）当有n对点时，最少可以画2（n1）个三角形；（3）2（20061）4010个答：当n2006时，最少可以画4010个三角形【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题14四边形abcd是任意四边形，ac与bd交点o求证：ac+bd（ab+bc+cd+da）证明：在oab中有oa+obab在oad中有oa+odad，在odc中有od+occd，在obc中有ob+ocbc，oa+ob+oa+od+od+oc+oc+obab+bc+cd+da即：2（ac+bd）ab+bc+cd+da，即：ac+bd（ab+bc+cd+da）【分析】直接根据三角形的三边关系进行解答即可【解答】证明：在oab中oa+obab在oad中有oa+odad，在odc中有od+occd，在obc中有ob+ocbc，oa+ob+oa+od+od+oc+oc+obab+bc+cd+da即2（ac+bd）ab+bc+cd+da，即ac+bd（ab+bc+cd+da）故答案为：oa+odad；odoccd；obc；ob+ocbc；2（ac+bd）ab+bc+cd+da【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边15如图，ad是abc的bc边上的高，ae平分bac，若b42，c70，求aec和dae的度数【分析】由三角形内角和定理可求得bac的度数，在rtadc中，可求得dac的度数，ae是角平分线，有eacbac，故eadeacdac【解答】解：b42，c70，bac180bc68，ae是角平分线，eacbac34ad是高，c70，dac90c20，eadeacdac342014，aec901476【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理16我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形如图1，ad是abc边bc上的中线，则sabdsacd（1）如图2，abc的中线ad、be相交于点f，abf与四边形cefd的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图3，在abc中，已知点d、e、f分别是线段bc、ad、ce的中点，且sabc8，求bef的面积sbef（3）如图4，abc的面积为1分别倍长（延长一倍）ab，bc，ca得到a1b1c1再分别倍长a1b1，b1c1，c1a1得到a2b2c2按此规律，倍长n次后得到的anbnn的面积为7n【分析】（1）根据三角形中线的性质列出等式，得出答案（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用sabc表示出abd、acd、bde，cde的面积，然后表示出bce的面积，再表示出bef的面积，即可得解（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后a1b1c1的面积是abc的面积的7倍，依此类推写出即可【解答】（1）答：sabfs四边形cefd理由：解：如图，ad和be是abc的两条中线，abd面积acd面积，bce面积abe面积，即s1+s4s2+s3，s2+s4s1+s3，得：s1s2s2s1，s1s2sabfs四边形cefd（2）解：点d、e分别为bc、ad的中点，sabdsacdsabc，sbdesabdsabc，scdesacdsabc，sbcesbde+scdesabc+sabcsabc，f是ce的中点，sbefsbcesabcsabc，sbef：sabc1：4又sabc8sbef2（3）解：连接ab1、bc1、ca1，根据等底等高的三角形面积相等，a1bc、a1b1c、ab1c、ab1c1、abc1、a1bc1、abc的面积都相等，所以，sa1b1c17sabc，同理sa2b2c27sa1b1c1，72sabc，依此类推，sanbncn7nsabc，abc的面积为1，sanbncn7n故答案为：7n【点评】主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键17如图，在abc中（acab），ac2bc，bc边上的中线ad把abc的周长分成60cm和40cm两部分，求边ac和ab的长（提示：设cdx cm）【分析】先根据ad是bc边上的中线得出bdcd，设bdcdx，aby，则ac4x，再分acd的周长是60与abd的周长是60两种情况进行讨论即可【解答】解：ad是bc边上的中线，ac2bc，bdcd，设bdcdx，aby，则ac4x，分为两种情况：ac+cd60，ab+bd40，则4x+x60，x+y40，解得：x12，y28，即ac4x48，ab28；ac+cd40，ab+bd60，则4x+x40，x+y60，解得：x8，y52，即ac4x32，ab52，bc2x16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：ac48cm，ab28cm【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论18已知a，b，c是abc的三边长，a4，b6，设三角形的周长是x（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数求c的长；判断abc的形状【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；（2）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；利用等腰三角形的判定方法得出即可【解答】解：（1）因为a4，b6，所以2c10故周长x的范围为12x20（2）因为周长为小于18的偶数，所以x16或x14当x为16时，c6；当x为14时，c4当c6时，bc，abc为等腰三角形；当c4时，ac，abc为等腰三角形综上，abc是等腰三角形【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键19三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长【分析】利用三角形的三边长是三个连续的自然数，可设三角形三边的长分别为x1，x，x+1，根据三角形三边的关系得到x1+xx+1，解得x2，根据三角形的周长小于20得到x1+x+x+120，解得x，从而得到x为3，4，5，6，然后分别计算出三角形三边的长【解答】解：设三角形三边的长分别为x1，x，x+1，则x1+xx+1，解得x2，x1+x+x+120，解得x，2x且x为整数，x为3，4，5，6，当x3时，三角形三边为2，3，4；当x4时，三角形三边为3，4，5；当x5时，三角形三边为4，5，6；当x6时，三角形三边为5，6，7【点评】本题考查了三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边20已知a、b、c为abc的三边，有k，且满足4b2c22bc+c2（1）求k的值；（2）试判断abc的形状【分析】（1）对原等式进行整理，再根据三角形三边关系不难求得k的值；（2）对4b2c22bc+c2整理可得bc，再代入k即可得到ac，从而得到该三角形是个等边三角形【解答】解：（1）根据题意有：2bcka，2cakb，2abkca+b+ck（a+b+c），a、b、c为abc的三边，a+b+c0，k1（2）4b2c22bc+c2，（4b2c2）（2bc+c2）0，（2b+c）（2bc）c（2b+c）0，2（2b+c）（bc）0，2b+c0，bc0即bc，k1，ac，即abc，abc为等边三角形【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系及等边三角形的判定的综合运用21在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形【解答】解：（1）4根火柴不能搭成三角形；（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；示意图：（等腰三角形）12根火柴能搭成3种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）示意图：【点评】本题用到的知识点为：三角形任意两边之和大于第三边22如图，abc的周长是21cm，abac，中线bd分abc为两个三角形，且abd的周长比bcd的周长大6cm，求ab，bc【分析】由bd是中线，可得，abd的面积与cbd的面积的比为1：1，adcd，又由abd的周长比bcd的周长大6cm，abc的周长是21cm，abac，可得abbc6cm，2ab+bc21cm，继而求得答案【解答】解：bd是中线，adcdac，abd的周长比bcd的周长大6cm，（ab+ad+bd）（bd+cd+bc）abbc6cm，abc的周长是21cm，abac，2ab+bc21cm，联立得：ab9cm，bc3cm【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线注意掌握数形结合思想与方程思想的应用23探索：在如图1至图3中，abc的面积为a（1）如图1，延长abc的边bc到点d，使cdbc，连接da若acd的面积为s1，则s1a（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长abc的边bc到点d，延长边ca到点e，使cdbc，aeca，连接de若dec的面积为s2，则s22a（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长ab到点f，使bfab，连接fd、fe，得到def（如图3）若阴影部分的面积为s3，则s36a（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将abc各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到def（如图3），此时，我们称abc向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的def的面积是原来abc面积的7倍应用：去年在面积为10m2的abc空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把abc向外进行两次扩展，第一次由abc扩展成def，第二次由def扩展成mgh（如图4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接ad根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的7249倍从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍【解答】解：（1）bccd，acd和abc是等底同高的，即s1a；（2）2a；理由：连接ad，cdbc，aeca，sdacsdaesabca，s22a；（3）结合（2）得：2a36a；发现：扩展一次后得到的def的面积是6a+a7a，即是原来三角形的面积的7倍应用：拓展区域的面积：（721）10480（m2）【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题24如图，在abc中，bc边上依次有b、d、e、c，ac边上依次有a、g、f，满足bdcebc，cfagac，bf交ae于点j，交ad于i，bg交ae于点k，交ad于点h，且sabc1，求s四边形khij【分析】作平行线gp和fm，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，从而得：bh：hk：kg52：32：7，bi：ij：jf20：32：13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出sabf，sabg，saijsabf，sahksabg，作差可得s四边形khij【解答】解：过g作gpbc，交ad于p，ae于q，则，bdbc，同理可得：，即，bh：hk：kg52：32：7，过f作fmbc，交ad于m，ae于n，同理得：bi：ij：jf20：32：13，sabc1，sabf，sabg，saijsabf，sahksabg，s四边形khijsaijsahk，【点评】本题计算三角形和多边形面积，考查了平行线分线段成比例定理、同高三角形面积的关系，作好本题要从以下几点入手：作平行线，根据平行线分线段成比例定理得线段的比，根据边的比得出面积的比25如图，在bcd中，bc4，bd5，（1）求cd的取