考研试题分析三(中值定理及导数应用).pdf

考研试题分析三 中值定理及导数应用 考研试题分析三 中值定理及导数应用 例 1 2004 数学一 数学一 设函数 f x 连续 且 0 0 f 则存在0 使得 A f x 在 0 内单调增加 B f x 在 0 内单调减少 C 对任意的 0 x有 f x f 0 D 对任意的 0 x有 f x f 0 错解 D 分析 函数 f x 只在一点的导数大于零 一般不能推导出单调性 因此可排除 A B 选项 再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可 正确解 由导数的定义 知 0 0 lim 0 0 x fxf f x 根据保号性 知存在0 当 0 0 x时 有 0 0 x fxf 即当 0 x时 f x f 0 故应选 C 例 2 2004 数学一数学一 设 证明 2 ebae 错解 设x e xx 2 2 4 ln 则 2 4ln 2 ex x x 2 ln1 2 x x x 所以当 x e 时 0 即 a e ab e b 2 2 2 2 4 ln 4 ln 故 4 lnln 2 22 ab e ab 分析 根据要证不等式的形式 可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单 调性证明 正确解 对函数在 a b 上应用拉格朗日中值定理 得 x 2 ln ln2 lnln 22 baabab e 时 0 22 2 2lnln ee e 1 故 4 lnln 2 22 ab e ab 本题也可设辅助函数为 2 2 22 4 lnln exaeax e axx 或 2 2 22 4 lnln ebxexb e xbx 再用单调性进行证明即可 例 3 2004 数学二数学二 设 1 f xxx 则 A 是0 x f x的极值点 但 0不是曲线 0 yf x 的拐点 B 不是0 x f x的极值点 但是曲线 0 0 yf x 的拐点 C 是0 x f x的极值点 且是曲线 0 0 yf x 的拐点 D 不是0 x f x的极值点 也不是曲线 0 0 yf x 的拐点 错解 A 分析 求分段函数的极值点与拐点 按要求只需讨论0 x 两方 fx fx 的符号 正确解 f x 1 10 1 01 xxx xxx fx 12 10 12 01 xx xx fx 2 10 2 01 x x 从而时 10 x f x凸 于是 0为拐点 0 又 时 从而 0 0f 0 1x 0f x 0 x 为极小值点 所以 是极值点 是曲线0 x 0 0 yf x 的拐点 故选 C 例 4 2004 数学二数学二 求 cos sin 1 lim 2 2 2 0 x x x x 错解 xx xxx x x x xx 22 222 0 2 2 2 0 sin cossin lim cos sin 1 lim 0 分析 先通分化为 0 0 型极限 再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 而不是想当然的 2 猜一个结果 本题属于求未定式极限的基本题型 对于 0 0 型极限 应充分利用等价无穷小 替换来简化计算 正确解 xx xxx x x x xx 22 222 0 2 2 2 0 sin cossin lim cos sin 1 lim 3 0 4 22 0 4 4sin 2 1 2 lim 2sin 4 1 lim x xx x xx xx 3 4 6 4 2 1 lim 6 4cos1 lim 2 2 0 2 0 x x x x xx 例 5 2005 数学一 数学一 已知在内连续 在内可导 xf 1 0 1 0 0 0 f 1 1 f 证明 存在 1 0 使得 1 f 存在不同的两点 1 0 1 ff 错解 令1 xxfxg 显见其在闭区间 0 1 上连续 并且 1 0 g1 1 g 由罗尔中值定理就知道 1 0 01 fg 即 1 f 根据拉格朗日中值定理 存在一点 1 0 使得在 0 1 上分别应用有 1 0 0 0 fff 1 1 fff 从而 f f 同理 1 1 ff f 结论成立 分析 这是典型的对而不全 应当注意界值定理和罗尔中值定理是不同的 并且 一旦给定就是固定的 正确解 令1 xxfxg 显见其在闭区间 0 1 上连续 并且1 0 g 由根的存在性定理就知道1 1 g 1 0 01