Matlab在大学物理课程教学中的应用【免费】.pdf

第2期 文章编号 1 0 0 8 8 3 0 X 2 0 0 8 0 2 0 2 4 1 0 5 M a t l a b 在大学物理课程教学中的应用 宿刚 郑敏章 丛令梅 浙江海洋学院数理与信息学院 浙江舟山3 1 6 0 0 4 摘要 介绍了高性能语言M a t l a b在大学物理课程教学中 麦克斯韦速率分布律 磁聚焦 电偶极子 李萨如图 的一些 应用 应用表明 M a t l a b能提高大学物理的教学效果 是大学物理教学的一个有效的辅助工具 关键词 大学物理 可视化 M a t l a b 中图分类号 G 6 4 2 0 文献标识码 A T h e A p p l i c a t i o no f Ma t l a bi nT e a c h i n gC o l l e g e P h y s i c s S UG a n g Z H E N GM i n z h a n g C O N GL i n g m e i M a t h e m a t i c s P h y s i c s m a g n e t i cf o c u s i n g e l e c t r i cd i p o l e L i s s a j o uf i g u r e w e r ei n t r o d u c e d I t s h o w e dt h a t t h eM a t l a bc o u l de n h a n c e t h e e f f e c t o f t e a c h i n g I t s a ne f f e c t i v e t o o l i nt e a c h i n g c o l l e g e p h y s i c s K e yw o r d s c o l l e g e p h y s i c s v i s u a l i z a t i o n M a t l a b 大学物理学是工科学生的一门必修课 由于大学物理数学处理比较复杂 学生学习起来普遍感到困 难 如果恰当地使用可视化以展现数学公式的物理图像 使其变得直观 形象 使学生获得感性认识 缩小 理论与实际的差距 缩短学生的认识过程 则提高课堂教学质量 1 M a t l a b是一套高性能的数值计算和可视 化软件 下面我们从一些典型的实例出发 介绍M a t l a b在大学物理几个方面的具体应用 1在热学中的应用 麦克斯韦速率分布率 气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中一个的难点和重点 这是因为公式 比较复杂抽象 数学推导证明比较繁琐 如果借助M a t l a b就可以比较方便地解决这些问题 首先 推导三种速率和归一化条件 已知分布函数表达式为 f v 4 m 2 k T 3 2 v 2e m v 2 2 k T 最概然速率可 以由下式求出 d f v d v 0 平均速率的定义是 v 0 v f v d v 方均根速率为 v r m s v 2 0 v 2 f v d v 1 2 归 一化条件是 0 v f v d v 后三项求解比较复杂 其中用到G a m m a函数 传统方法是查数学用表得到结果 浙江海洋学院学报 自然科学版 J o u r n a l o f Z h e j i a n g O c e a nU n i v e r s i t y N a t u r a l S c i e n c e 第2 7卷 第2期 2 0 0 8年6月 V o l 2 7 N o 2 J u n e 2 0 0 8 收稿日期 2 0 0 8 0 2 2 5 基金项目 浙江海洋学院教学改革项目 1 1 0 6 2 0 9 2 2 作者简介 宿刚 1 9 8 0 男 吉林辽源人 讲师 研究方向 凝聚态物理 浙江海洋学院学报 自然科学版 第2 7卷 f v s m 1 如果应用M a t l a b的符号计算功能 只需要简单几行语句就可以解决这些问题 用到相关函数有 符号变量 创建函数s y m s 求微分函数d i f f 求积分函数i n t 符号化简函数s i m p l e 字符串转化函数e v a l 具体M a t l a b语句如下 s y m s mkt v a np g e x p m v 2 2 k t v 2 a m 2 k t f i n t e x p a v 2 v n v 0 i n f b f 4 p i a p i 3 2 p r e t t y s o l v e d i f f g v 求解最概然速率 n 2 e v a l s i m p l e e v a l b 证明归一化条件 n 3 p r e t t y s i m p l e e v a l b 求解平均速率 n 4 p r e t t y e v a l s i m p l e e v a l b 0 5 求解方均根速率 程序中第五行语句给出最概然速率v p 2 k T m 其物理意义是 若把整个速率范围分成许多相等的 小区间 则v p所在的区间的分子数占分子总数的百分比最大 2 所以可知在 0 速率区间的分子数占 分子总数的百分比 对应着曲线与X轴所围的面积 恒等于1 即满足归一化条件 第六行语句证明了这个 结论 第七行语句给出平均速率v 8 k T m 第八行语句给出方均根速率v r m s 3 k T m 其次 运用M a t l a b强大的画图功能 可以画出同一种气体分子 氮气 在不同温度下的分布曲线 图1 和不同气体分子 二氧化碳 氧气 甲烷 在同一温度下的曲线 图2 程序中用到画图函数e z p l o t 图1不同温度的麦克斯韦速率分布曲线 F i g 1 M a x w e l l s p e e dd i s t r i b u t i o nc u r v e a t d i f f e r e n t t e m p e r a t u r e s 图2不同气体的麦克斯韦速率分布曲线 F i g 2 M a x w e l l s p e e dd i s t r i b u t i o nc u r v e o f d i f f e r e n t g a s 氮气 T 4 0 0K 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 f v s m 1 氮气 T 1 5 0 0K 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 f v s m 1 T 5 0 0K m 4 4g 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 f v s m 1 T 5 0 0K m 3 2g 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 f v s m 1 T 5 0 0K m 1 6g 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 f v s m 1 氮气 T 7 0 0K 1 0 4 8 6 4 2 0 02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0 v m s 1 2 4 2 第2期 图1 图 2中实线为麦克斯韦速率分布曲线 虚线的X轴坐标为最概然速率v p的值 从图中曲线变化 情况可以验证v p是气体分子质量m的减函数 是温度T的增函数 由此可以说明在满足归一化条件下 温 度升高时曲线变得平坦些 并向高速区域扩展 即温度越高 速率大的分子越多 这就是通常所说的温度越 高 分子运动越剧烈的真正含义 2 2在静磁场中的应用 磁聚焦 一个带电粒子进入磁场时速度的方向不与磁场垂直 则可将入射速度分解为沿着磁场方向的速度v 和垂直磁场的速度v 在垂直磁场方向 由于粒子受到洛伦兹力的作用 做圆周运动 运动周期为T 2 m q B 粒子平行于磁场方向的分速度不受磁场的影响 因而将具有沿磁场方向的匀速运动 上述两种运动的 合成是一个沿磁场方向的螺旋运动 这一螺旋轨迹的螺距为h v T 如果在均匀磁场中某点引入一发散角不太大的带电粒子束 其中粒子的速度又大致相同 则这些粒子 沿磁场方向的分速度大小就几乎一样 因而其轨迹有相同的螺距 这样 经过一个周期后 这些粒子将重新 会聚到另一点 这种现象叫做磁聚焦 3 我们编写如下M a t l a b程序来验证这个现象 t 0 0 0 1 2 p i a l 0 5 t p i f o r t h e 1 6 2 1 0 p i 1 8 0 a x i s 07 11 0 40 4 g r i do n v i e w 1 2 1 8 h o l do n c o m e t 3 c o s t h e t 2 s i n t h e c o s a l 2 2 s i n t h e c o s a l s i n a l e n d 程序中默认粒子入射速度相同 运行结果是一束带电粒子做螺旋运动的三维动画 我们可以从不同的 视角进行观察 并可发现当发散角不大时粒子确实会聚到同一点 如图3 在平行磁场方向可以看到粒子 做圆周运动 如图4 通过上面简单的几行M a t l a b语句得到三维动画 验证了磁聚焦的现象 不仅生动形 象 而且结果是建立在定量计算的基础上的 不是简单的定性的模拟 所以更具有科学性与说服力 3在简谐振动合成中的应用 李萨如图 一个质点沿X轴和Y轴的分运动都是简谐运动 分运动的表达式分别为 x A c o s 1t y A c o s 2t 如果二者的频率有简单的整数比 则相互垂直的简谐运动合成的运动将具有封闭的稳定的运动轨迹 这种 图称为李萨如图 李萨如图可用示波器进行演示 也通过M a t l a b编程来实现 具体语句如下 b e t a p i 5 w 1 1 A 1 1 t 1 0 1 5 0 x A 1 c o s w 1 t b e t a w 2 234 51 21 35 4 f o r j 0 0 5 7 f o r i 1 6 图4磁聚焦 Y Z面 F i g 4 M a g n e t i c f o c u s i n g Y Zp l a n e 图3磁聚焦 F i g 3 M a g n e t i c f o c u s i n g 宿刚等 M a t l a b在大学物理课程教学中的应用 2 4 3 浙江海洋学院学报 自然科学版 第2 7卷 y A 1 c o s w 2 i t b e t a j p i 4 s u b p l o t 2 3 i p l o t x y p a u s e 0 0 5 t i t l e w y w x n u m 2 s t r w 2 i e n d e n d 如图5所示 Y轴方向简谐振动频率与X轴方向简谐振动频率的比值 y x恒等于曲线在X轴和Y 轴的切点个数的比 由于两个简谐振动不同的初相位对应着不同李萨如图 所以示波器演示时通常得到的 转动的李萨如图 通过上面的M a t l a b语句亦可实现同样的动画效果 方便随堂演示而不受仪器限制 如果把程序中的画图语句 p l o t x y 改为 p l o t x y 则得到两个频率不同的简谐振动在同一方向的合 成 当频率都较大但相差很小 时会出现 拍 的现象 如图6 如果改为 p l o t t x t y 则得到 未合成的两个简谐振动图形 如图7 如果讲解时对比这三 种情况 并应用上面图形配合 演示 可使学生更加深刻地理 解和掌握李萨如图 提高教学 效果 4在静电场中的应用 电偶极子 静电学中为了形象化地 把客观存在的电场表示出来 常引入电场线这一辅助工具 电场线密集的地方 场强就 图5李萨如图 F i g 5 L i s s a j o uf i g u r e 图6拍 F i g 6 B e a t 图7简谐振动 F i g 7 S i m p l e h a r m o n i c v i b r a t i o n 2 4 4 第2期 大 电场线稀疏的地方 场强就小 由于静电场的保守性 可以引入 一个标量即电势来描写电场 电场线和等势线是体现静电场性质的 重要工具 以电偶极子为例 建立坐标系 图8 据场强叠加原理 电偶极子 可以认为是带电圆环上正对着的2点 同理电四极子可以认为是圆 环上的4点 据此可求电偶极子电势 再由电势梯度求出电场强 度 求得带电圆环的电势表达式 4 U x y z 1 4 0 2 0 d x c o s 2 y s i n 2 z 2 下面将给出电偶极子的等势线和电场线图形 图8 程序中用 函 数c o n t o u r画 等 势 线 用 函 数s t r e a m s l i c e画 电 场 线 函 数 s t r e a m s l i c e与多数文献中介绍的函数s t r e a m l i n e和q u i v e r比较 其优 点是画出的电场线是有方向且连续 按照同样的思路 对程序稍加修改可得到电四极子的等势线和电场线 图9 如果把程序中的画等势线函数c o n t o u r用三维等势线画图函数c o n t o u r 3替换 得到电偶极子等势线的 三维图形 图1 0 可使电势分布展现的更加清晰 5结论 通过上面的一些应用可知 通过M a t l a b数值求解方 程 再将数值计算结果作图 可以展现数学公式的