高职高等数学 第三章 导数与微分的应用第二节 函数的单 (2).pdf

沈阳工程学院 第二节 函数的单调性和极值 一 Monotonicity and Extremum of Function 教学目的 理解中值定理 掌握函数单调性的判别方法及应用 内容 1 微分中值定理 2 函数单调性的判别方法 教学重点 两个中值定理之间的关系 及其几何解释 函数单调性的判别法 利用函数单调性证明不等式 教学难点 利用函数单调性证明不等式 教具 多媒体课件 教学方法 启发式教学 教学过程 1 引入新课 导数理论为我们广泛地研究函数的性态提供了有力的工具 本节我们利用导数来 研究函数的单调性和极值 2 教学内容 一 微分中值定理 1 罗尔 Rolle 定理 定理 1 罗尔 Rolle 定理 定理 1如果函数 xf在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内可导 且在区间 端点的函数值相等 即 bfaf 那末在 ba内至少有一点 ba 使得 函数 xf在该点的导数等于零 即0 f 证明略 例如 例如 32 2 xxxf 1 3 xx 3 1 上连续在 3 1 上可导在 0 3 1 ff且 1 2 xxf 3 1 1 1 取 0 f 几何解释 几何解释 沈阳工程学院 a b 1 2 x y o xfy C 的在该点处的切线是水平上至少有一点在曲线弧CAB 2 拉 格朗日 Lagrange 中值 定理 定理 2定理 2如果函数f x 在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内可导 那末在 ba内至少有一点 ba 使等式 abfafbf 成立 bfaf 去掉了与罗尔定理相比条件中注意 f ab afbf 结论亦可写成 几何解释 几何解释 ABCAB弦在该点处的切线平行于上至少有一点在曲线弧 推论 1 推论 1 f xIf xI如果函数在区间上的导数恒为零 那末在区间上是一个常数 2 如果函数 f x和 g x在区间 a b内可导 且对于任意 xa b 有 fxgx 则在 a b内 f x与 g x仅相差一个常数 即 f xg xC 其中C为常数 a b 1 2 x xo y xfy A B C DN M 沈阳工程学院 二 函数单调性的判别方法 定理 3定理 3 1 0 2 0 yf xa ba b a bfxyf xa b a bfx yf xa b 设函数在上连续 在内可导 如果在内 那末函数在上 单调增加 如果在内 那末函数 在上单调减少 证证 21 baxx 21 xx 且应用拉氏定理 得 211212 xxxxfxfxf 0 12 xx 0 x fba内 若在 0 f则 12 xfxf 上单调增加在baxfy 0 x fba内 若在 0 f则 12 xfxf 上单调减少在baxfy 例如 2 yx 显然 2 yx 在 0 上单调增加 在 0 上单调减少 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判 定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判 定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 问题 如 2 yx 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 x y o xfy x y o xfy ab A B 0 x f0 x f ab B A 沈阳工程学院 0 符号然后判断区间内导数的的定义区间 不存在的点来划分函数的根及方法 用方程 xf xfxf 例 1例 1 求函数 3 3f xxx 的单调的区间 解解 1 该函数的定义区间为 2 2 33311fxxxx 令 0fx 得1 1xx 将定义区间分为三个子区间 1 1 1 1 3 列表确定 f x的单调区间 x 1 1 1 1 fx f x 所以函数 f x的单调递增区间为 1 和 1 单调递减区间为 1 1 例 2例 2 讨论函数 2 3 1f xxx 的单调性 解解 1 该函数的定义区间为 2 21 33 1 3 252 1 3 3 x fxxxx x 令 0fx 得 2 5 x 0 x 为不可导点 将定义区间分为三个子区间 22 0 0 55 3 列表确定 f x的单调区间 x 0 2 0 5 2 5 fx f x 沈阳工程学院 即 f x在 0 和 2 5 上单调递增 在 2 0 5 上单调递减 例 3例 3 证明不等式 ln 10 1 x xx x 证明证明 设函数 ln 1 1 x f xx x 因 f x在 0 上连续 当0 x 时 22 11 0 1 11 xxx fx x xx 所以 f x在区间 0 内单调递增 又 00f 因此 当0 x 时 有 0f xf 即 ln 1 1 x x x 课堂练习 求下列函数的单调区间