高等应用数学问题的MATLAB求解_习题参考解答_薛定宇000.pdf

高等应用数学问题 MATLAB 求解 习 题 参 考 解 答 薛 定 宇 目录 第1章 计算机数学语言概述2 第2章 MATLAB 语言程序设计基础5 第3章 微积分问题的计算机求解17 第4章 线性代数问题的计算机求解29 第5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解43 第6章 代数方程与最优化问题的计算机求解53 第7章 微分方程问题的计算机求解71 第8章 数据插值 函数逼近问题的计算机求解93 第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解114 第10章 数学问题的非传统解法127 第A章 自由数学语言 Scilab 简介136 参考文献142 第 1 章计算机数学语言概述 1 在你的机器上安装 MATLAB 语言环境 并键入 demo 命令 由给出的菜单系统和对话框原型 演示程序 领略 MATLAB 语言在求解数学问题方面的能力与方法 求解 在 MATLAB 提示符 下键入 demo 命令 则将打开如图 1 1 所示的窗口 窗口左侧 的列表框可以选择各种不同组合的演示内容 图 1 1MATLAB 演示程序界面 例如 用户选择 MATLAB Graphics Volume Vlsulization 演示 则将得出如图 1 2 所示的 演示说明 单击其中的 Run this demo 栏目 则将得出如图 1 3 所示的演示界面 用户可以在 该界面下按按钮 逐步演示相关内容 而实现这样演示的语句将在该程序界面的下部窗口中 给出 2 作者用 MATLAB 语言编写了给出例子的源程序 读者可以自己用 type 语句阅读一下源程 序 对照数学问题初步理解语句的含义 编写的源程序说明由下表列出 第 1 章 计算机数学语言概述3 图 1 2MATLAB 演示程序界面举例 序号文件名程 序 说 明 例 1 1c1ex1 m利用 MATLAB 的符号运算工具箱求解微分问题 例 1 2c1ex2 m分别利用 MATLAB 的符号运算工具箱和数值运算功能求解多项式方程 其中用数值方法得出 的结果有误差 例 1 3c1ex3 m分别利用 MATLAB 的符号运算工具箱和数值运算功能计算 Hilbert 矩阵的行列式 其中用数值 方法得出的结果有很大误差 例 1 4c1ex4 m令 x1 y x2 y 则可以将原来的二阶微分方程转换成一阶微分方程组 然后就可以求解微分 方程的数值解了 原方程是非线性微分方程 故不存在解析解 ode45 函数可以求解常微分方 程组 而 dde23 可以求解延迟微分方程 或更直观地采用 Simulink 绘制求解框图 例 1 5c1ex5 m线性规划问题调用最优化工具箱中的 linprog 函数可以立即得出结果 若想求解整数规划问 题 则需要首先安装整数规划程序 ipslv mex 4第 1 章 计算机数学语言概述 图 1 3MATLAB 体视化演示程序界面 第 2 章MATLAB 语言程序设计基础 1 启动 MATLAB 环境 并给出语句 tic A rand 500 B inv A norm A B eye 500 toc 试运行该语句 观察得出的结果 并利用 help 命令对你不熟悉的语句进行帮助信息查 询 逐条给出上述程序段与结果的解释 求解 在 MATLAB 环境中感触如下语句 则可以看出 求解 500 500 随机矩阵的逆 并 求出得出的逆矩阵与原矩阵的乘积 得出和单位矩阵的差 得出范数 一般来说 这样得出 的逆矩阵精度可以达到 10 12 tic A rand 500 B inv A norm A B eye 500 toc ans 1 2333e 012 Elapsed time is 1 301000 seconds 2 试用符号元素工具箱支持的方式表达多项式 f x x5 3x4 4x3 2x2 3x 6 并令 x s 1 s 1 将 f x 替换成 s 的函数 求解 可以先定义出 f 函数 则由 subs 函数将 x 替换成 s 的函数 syms s x f x 5 3 x 4 4 x 3 2 x 2 3 x 6 F subs f x s 1 s 1 F s 1 5 s 1 5 3 s 1 4 s 1 4 4 s 1 3 s 1 3 2 s 1 2 s 1 2 3 s 1 s 1 6 3 用 MATLAB 语句输入矩阵 A 和 B 矩阵 A 1234 4321 2341 3241 B 1 4j2 3j3 2j4 1j 4 1j3 2j2 3j1 4j 2 3j3 2j4 1j1 4j 3 2j2 3j4 1j1 4j 前面给出的是 4 4 矩阵 如果给出 A 5 6 5 命令将得出什么结果 求解 用课程介绍的方法可以直接输入这两个矩阵 A 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 1 3 2 4 1 A 1234 6第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 4321 2341 3241 若给出 A 5 6 5 命令 虽然这时的行和列数均大于 B 矩阵当前的维数 但仍然可以执行该 语句 得出 A 5 6 5 A 123400 432100 234100 324100 000005 复数矩阵也可以用直观的语句输入 B 1 4i 2 3i 3 2i 4 1i 4 1i 3 2i 2 3i 1 4i 2 3i 3 2i 4 1i 1 4i 3 2i 2 3i 4 1i1 4i B 1 0000 4 0000i2 0000 3 0000i3 0000 2 0000i4 0000 1 0000i 4 0000 1 0000i3 0000 2 0000i2 0000 3 0000i1 0000 4 0000i 2 0000 3 0000i3 0000 2 0000i4 0000 1 0000i1 0000 4 0000i 3 0000 2 0000i2 0000 3 0000i4 0000 1 0000i1 0000 4 0000i 4 假设已知矩阵 A 试给出相应的 MATLAB 命令 将其全部偶数行提取出来 赋给 B 矩阵 用 A magic 8 命令生成 A 矩阵 用上述的命令检验一下结果是不是正确 求解 魔方矩阵可以采用 magic 生成 子矩阵也可以提取出来 A magic 8 B A 2 2 end A 642361606757 955541213515016 1747462021434224 4026273736303133 3234352928383925 4123224445191848 4915145253111056 858595462631 B 955541213515016 第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础7 4026273736303133 4123224445191848 858595462631 5 用 MATLAB 语言实现下面的分段函数 y f x h x D h Dx x 6 D h x y h x D h D x abs x D h x for i 1 length x if x i D y i h elseif abs x i sum sym 2 1 63 ans 18446744073709551614 由于结果有 19 位数值 所以用 double 型不能精确表示结果 该数据类型最多表示 16 位有效 数字 其实用符号运算方式可以任意保留有效数字 例如可以求 200 项的和或 1000 项的和可 以由下面语句立即得出 sum sym 2 1 200 ans 3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602750 sum sym 2 1 1000 ans 214301721437253464189685009812000362112280962341106721488750077674070 210224987224498639675763139171625518934583510629365037429057138462808 8第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 719691551493971496078691355496484619708421492101247422837559083643060 929499671638825347975351183310878921541258291423929553730843353208596 63305248773674411336138750 7 编写一个矩阵相加函数 mat add 使其具体的调用格式为 A mat add A1 A2 A3 要求该函数能接受任意多个矩阵进行解法运算 求解 可以编写下面的函数 用 varargin 变量来表示可变输入变量 function A mat add varargin A 0 for i 1 length varargin A A varargin i end 如果想得到合适的错误显示 则可以试用 try catch 结构 function A mat add varargin try A 0 for i 1 length varargin A A varargin i end catch error lasterr end 8 自己编写一个 MATLAB 函数 使它能自动生成一个 m m 的 Hankel 矩阵 并使其调用格 式为 v h1 h2 hm hm 1 h2m 1 H myhankel v 求解 解决这样的问题可以有多种方法 最直接的方法 Hi j hi j 1 利用双重循环 function H myhankel v m length v 1 2 严格说来还应该判定给定输入向量长度奇偶性 for i 1 m for j 1 m H i j v i j 1 end end 考虑某一行 或列 ai hi hi 1 hi m 1 就可以用单重循环生成 Hankel 矩阵了 function H myhankel v m length v 1 2 严格说来还应该判定给定输入向量长度奇偶性 for i 1 m H i v i i m 1 end 利用现有的 hankel 函数 则 function H myhankel v m length v 1 2 严格说来还应该判定给定输入向量长度奇偶性 H hankel v 1 m v m end 第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础9 9 已知 Fibonacci 数列由式 ak ak 1 ak 2 k 3 4 可以生成 其中初值为 a1 a2 1 试编写出生成某项 Fibonacci 数值的 MATLAB 函数 要求 函数格式为 y fib k 给出 k 即能求出第 k 项 ak并赋给 y 向量 编写适当语句 对输入输出变量进行检验 确保函数能正确调用 利用递归调用的方式编写此函数 求解 假设 fib n 可以求出 Fibonacci 数列的第 n 项 所以对 n 3 则可以用 k fib n 1 fib n 2 可以求出数列的 n 1 项 这可以使用递归调用的功能 而递归调用的出口为 1 综上 可以编写出 M 函数 function y fib n if round n n else y 1 end else error n must be positive integer end 例如 n 10 可以求出相应的项为 fib 10 ans 55 现在需要比较一下递归实现的速度和循环实现的速度 tic fib 20 toc ans 832040 elapsed time 62 0490 tic a 1 1 for i 3 30 a i a i 1 a i 2 end a 30 toc ans 832040 elapsed time 0 0100 应该指出 递归的调用方式速度较慢 比循环语句慢很多 所以不是特别需要 解这样问题 没有必要用递归调用的方式 10第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 10 由矩阵理论可知 如果一个矩阵 M 可以写成 M A BCBT 并且其中 A B C 为相应 阶数的矩阵 则 M 矩阵的逆矩阵可以由下面的算法求出 M 1 A BCBT 1 A 1 A 1B C 1 BTA 1B 1 BTA 1 试根据上面的算法用 MATLAB 语句编写一个函数对矩阵 M 进行求逆 并通过一个小例子来 检验该程序 并和直接求逆方法进行精度上的比较 求解 编写这个函数 function Minv part inv A B C Minv inv A inv A B inv inv C B inv A B B inv A 假设矩阵为 M 51503616 50776032 36608748 16324868 且已知该矩阵可以分解成 A 1000 0200 0030 0004 B 1234 2340 3400 4000 C 4000 0300 0020 0001 对这个例子 可以 M 51 50 36 16 50 77 60 32 36 60 87 48 16 32 48 68 iM inv M 数值逆 直接解法 iM 0 0553 0 03890 00170 0041 0 03890 0555 0 0210 0 0021 0 0017 0 02100 0328 0 0137 0 0041 0 0021 0 01370 0244 A diag 1 2 3 4 B hankel 1 2 3 4 C diag 4 3 2 1 iM1 part inv A B C 分块矩阵的求解方法 iM1 0 0553 0 03890 00170 0041 0 03890 0555 0 0210 0 0021 0 0017 0 02100 0328 0 0137 0 0041 0 0021 0 01370 0244 乍看结果 似乎二者完全一致 实际上数值算法是有区别的 我们这里用解析方法得出矩阵 的逆 然后用下面的语句比较两个结果的精度 第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础11 M1 sym M iM0 inv M1 iM0 10713 193751 7546 193751 332 193751 796 193751 7546 193751 10759 193751 4068 193751 416 193751 332 193751 4068 193751 19075 581253 2652 193751 796 193751 416 193751 2652 193751 18919 775004 norm double iM0 iM 直接求解的误差范数 ans 2 7990e 017 norm double iM0 iM1 间接求解的误差范数 ans 3 6583e 016 可见 用间接方法得出的逆矩阵误差更大 因为在这里新编写的函数中 inv 函数使用 了多次 由此产生很大的传递误差 由此可以得出结论 如果某问题存在直接解 则尽量别 使用间接方法 以加大传递误差 11 下面给出了一个迭代模型 xk 1 1 yk 1 4x2 k yk 1 0 3xk 写出求解该模型的 M 函数 如果取迭代初值为 x0 0 y0 0 那么请进行 30000 次迭代求出 一组 x 和 y 向量 然后在所有的 xk和 yk坐标处点亮一个点 注意不要连线 最后绘制出所 需的图形 提示 这样绘制出的图形又称为 Henon 引力线图 它将迭代出来的随机点吸引到一 起 最后得出貌似连贯的引力线图 求解 用循环形式解决此问题 可以得出如图 2 1 所示的 Henon 引力线图 x 0 y 0 for i 1 29999 x i 1 1 y i 1 4 x i 2 y i 1 0 3 x i end plot x y 上述的算法由于动态定义 x 和 y 所以每循环一步需要重新定维 这样做是很消耗时间 的 所以为加快速度 可以考虑预先定义这两个变量 如给出 x zeros 1 30000 12 用 MATLAB 语言的基本语句显然可以立即绘制一个正三角形 试结合循环结构 编写一个 小程序 在同一个坐标系下绘制出该正三角形绕其中心旋转后得出的一系列三角形 还可以 调整旋转步距观察效果 12第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 1 5 1 0 500 511 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 图 2 1Henon 引力线图 求解 假设正三角形逆时针旋转 度 则可以得出如图 2 2a 所示的示意图 三角形的三个 顶点为 cos sin cos 120 sin 120 cos 240 sin 240 可以绘制出 其曲线 如图 2 2b 所示 试减小步距 如选择 2 1 0 1 观察效果 x y 6 a 示意图 1 0 500 51 1 0 5 0 0 5 1 b 曲线绘制效果 图 2 2曲线绘制 t 0 120 240 0 pi 180 变换成弧度 xxx yyy for i 0 5 360 tt i pi 180 xxx xxx cos tt t yyy yyy sin tt t end 第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础13 plot xxx yyy r axis square 13 选择合适的步距绘制出下面的图形 sin 1 t 其中 t 1 1 求解 用普通的绘图形式 选择等间距 得出如图 2 3a 所示的曲线 其中 x 0 左右显得 粗糙 t 1 0 03 1 y sin 1 t plot t y 选择不等间距方法 可以得出如图 2 3b 所示的曲线 t 1 0 03 0 25 0 248 0 001 0 248 0 25 03 1 y sin 1 t plot t y 1 0 500 51 1 0 5 0 0 5 1 a 等间距曲线绘制 1 0 500 51 1 0 5 0 0 5 1 b 不等间距曲线绘制 图 2 3不同自变量选取下的 sin 1 t 曲线 14 对合适的 范围选取分别绘制出下列极坐标图形 1 0013 2 cos 7 2 sin 1 cos3 7 求解 绘制极坐标曲线的方法很简单 用 polar 即可以绘制出极坐标图 如图 2 4 所 示 注意绘制图形时的点运算 t 0 0 01 2 pi subplot 221 polar t 1 0013 t 2 a subplot 222 t1 0 0 01 4 pi polar t1 cos 7 t1 2 b subplot 223 polar t sin t t c subplot 224 polar t 1 cos 7 t 3 15 用图解的方式找到下面两个方程构成的联立方程的近似解 x2 y2 3xy2 x3 x2 y2 y 求解 这两个方程应该用隐式方程绘制函数 ezplot 来绘制 交点即方程的解 如图 2 5a 所示 14第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 20 40 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 0 5 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 0 5 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 1 2 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 图 2 4极坐标图 ezplot x 2 y 2 3 x y 2 hold on ezplot x 3 x 2 y 2 y 可用局部放大的方法求出更精确的值 如图 2 5b 所示 从图上可以精确读出两个交 点 0 4012 0 8916 1 5894 0 8185 试将这两个点分别代入原始方程进行验证 6 4 20246 6 4 2 0 2 4 6 x y x3 x2 y2 y 0 a 两个方程的曲线 交点为解 1 58941 58941 58941 58941 58941 58941 5894 0 8185 0 8185 0 8185 0 8185 0 8185 x y x3 x2 y2 y 0 b 局部放大区域 图 2 5二元联立方程的图解法 第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础15 16 请分别绘制出 xy 和 sin xy 的三维图和等高线 求解 a 给出下面命令即可 得出的图形如图 2 6a b 所示 x y meshgrid 1 1 1 surf x y x y figure contour x y x y 30 b 给出下面命令即可 得出的图形如图 2 6c d 所示 x y meshgrid pi 1 pi surf x y sin x y figure contour x y sin x y 30 1 0 1 1 0 1 1 0 5 0 0 5 1 a xy 三维图 1 0 500 51 1 0 5 0 0 5 1 b xy 等高线 5 0 5 5 0 5 1 0 5 0 0 5 1 c sin xy 三维图 3 2 10123 3 2 1 0 1 2 3 d sin xy 等高线 图 2 6三维图与等高线 17 在图形绘制语句中 若函数值为不定式 NaN 则相应的部分不绘制出来 试利用该规律绘制 z sinxy 的表面图 并剪切下 x2 y26 0 52的部分 求解 给出下面命令可以得出矩形区域的函数值 再找出 x2 y26 0 52区域的坐标 将其 函数值设置成 NaN 最终得出如图 2 7 所示的曲面 16第 2 章 MATLAB 语言程序设计基础 x y meshgrid 1 1 1 z sin x y ii find x 2 y 2 syms x f 3 x 9 x 1 x limit f x inf ans 9 syms x f x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 2 x 5 limit f x inf ans exp 5 2 试求下面的双重极限 lim x 1 y 2 x2y xy3 x y 3 lim x 0 y 0 xy xy 1 1 lim x 0 y 0 1 cos x2 y2 x2 y2 ex 2 y2 求解 双重极限问题可以由下面语句直接求解 syms x y fa x 2 y x y 3 x y 3 limit limit fa x 1 y 2 ans 6 fb x y sqrt x y 1 1 limit limit fb x 0 y 0 ans 2 fc 1 cos x 2 y 2 exp x 2 y 2 x 2 y 2 limit limit fc x 0 y 0 ans 0 3 求出下面函数的导数 y x q xsinx 1 ex y 1 cosax x 1 cos ax atan y x ln x2 y2 y x 1 na ln xn a xn n 0 18第 3 章 微积分问题的计算机求解 求解 由求导函数 diff 可以直接得出如下结果 其中 为隐函数 故需要用隐函数求 导公式得出导数 syms x f sqrt x sin x sqrt 1 exp x simple diff f ans 1 2 x sin x 1 exp x 1 2 1 2 sin x 1 exp x 1 2 x cos x 1 exp x 1 2 1 2 x sin x 1 exp x 1 2 exp x syms a x y 1 sqrt cos a x x 1 cos sqrt a x simple diff y ans 1 2 cos a x 1 2 sin a x a x 1 cos a x 1 2 1 cos a x 1 2 x 2 1 cos a x 1 2 1 2 1 cos a x 1 2 x 1 cos a x 1 2 2 sin a x 1 2 a x 1 2 a f atan y x log x 2 y 2 f1 simple diff f x diff f y f1 y 2 x x 2 y syms n positive syms a f log x n a x n n a diff f x ans n x x n a x n n x x n a x n n a 用 L ATEX 表示上面的结果 则 1 2 sin x 1 ex xcos x 1 ex 1 2 xsin x ex 1 ex 1 q xsin x 1 ex 1 2 sin ax a pcos ax x 1 cos ax 1 pcos ax x2 1 cos ax 1 2 1 pcos ax sin ax a x 1 cos ax 2 ax y 2x x 2y n x xn a n xnx xn xn a 1n 1a 1 4 试求出 y t s x 1 x 2 x 3 x 4 函数的 4 阶导数 求解 高阶导数可以由下面语句直接得出 syms a x f sqrt x 1 x 2 x 3 x 4 simple diff f x 4 ans 第 3 章 微积分问题的计算机求解19 3 16 x 11 392 x 10 4312 x 9 28140 x 8 121344 x 7 364560 x 6 783552 x 5 1214604 x 4 1342560 x 3 1015348 x 2 474596 x 103741 x 1 x 2 x 3 x 4 7 2 x 3 8 x 4 8 3 16x11 392x10 4312x9 28140 x8 121344x7 364560 x6 783552x5 1214604x4 1342560 x3 1015348x2 474596x 103741 x 1 x 2 x 3 x 4 7 2 x 3 8 x 4 8 5 在高等数学中 求解分子和分母均同时为 0 或 时 分式极限时可使用 L H opital 法则 即 对分子分母分别求导数 再由比值得出 试用该法则 lim x 0 ln 1 x ln 1 x ln 1 x2 x4 并和直接求出的极限结果相比较 求解 从给出的分母看 若想使之在 x 0 处的值不为 0 则应该对其求 4 阶导数 同样 还应该对分子求 4 阶导数 将 x 0 代入结果 这样就可以使用 L H opital 法则求出极限了 syms x n log 1 x log 1 x log 1 x 2 d x 4 n4 diff n x 4 d4 diff d x 4 n4 subs n4 x 0 L n4 d4 L 1 12 现在直接求极限可以验证上述结果是正确的 limit n d x 0 ans 1 12 6 已知参数方程 x lncost y cost tsint 试求出 dy dx 和 d2y dx2 fl fl fl fl t 3 求解 参数方程的导数可以由下面语句直接求出 syms t x log cos t y cos t t sin t diff y t diff x t ans 2 sin t t cos t sin t cos t f diff y t 2 diff x t 2 subs f t sym pi 3 ans 3 8 1 24 pi 3 1 2 7 假设 u cos 1 rx y 试验证 2u x y 2u y x 求解 证明二者相等亦可以由二者之差为零来证明 故由下面的语句直接证明 20第 3 章 微积分问题的计算机求解 syms x y u acos x y diff diff u x y diff diff u y x ans 0 8 设 xu yv 0 yu xv 1 试求解 2u x y 求解 用下面的语句可以直接得出如下结果 syms x y u v u v solve x u y v 0 y u x v 1 u v diff diff u x y ans 2 x 2 y 2 2 x 8 y 2 x 2 y 2 3 x 9 假设 f x y Z xy 0 e t 2dt 试求x y 2f x2 2 2f x y 2f y2 求解 由下面的命令可以得出所需结果 syms x y t f int exp t 2 t 0 x y x y diff f x 2 2 diff diff f x y diff f y 2 simple ans ans 2 exp x 2 y 2 x 2 y 2 1 x 3 y 10 假设已知函数矩阵 f x y z 3x eyz x3 y2sinz 试求出其 Jacobi 矩阵 求解 Jacobi 矩阵可以由下面的语句直接得出 syms x y z F 3 x exp y z x 3 y 2 sin z jacobian F x y z ans 3 exp y z exp y 3 x 2 2 y sin z y 2 cos z 11 试求解下面的不定积分问题 I x Z 3x2 a x2 x2 a 2 dx I x Z px x 1 x 1 xdx I x Z xeaxcosbxdx I t Z eaxsinbxsincxdx 求解 该不定积分可以由下面的命令直接求出 第 3 章 微积分问题的计算机求解21 syms x a f 3 x 2 a x 2 x 2 a 2 int f x ans 12 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 48 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 a 12 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 1 4 a 1 2 16 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 1 4 a 1 2 a 12 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 48 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 a 12 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 1 4 a 1 2 16 4 16 a 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 atan 2 x 2 4 a 2 1 4 a 1 2 1 2 1 4 a 1 2 a 可以用下面的语句求出问题的解 syms x f sqrt x x 1 sqrt x sqrt x 1 int f x latex ans 并将其显示如下 2 15 px x 1 x 3x 5 x 1 2 15 px x 1 x 1 2 3x x 可以求出下面的结果 syms a b x f x exp a x cos b x int f x latex ans 其数学显示为 ax a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 eaxcos bx bx a2 b2 2 ab a2 b2 2 eaxsin bx 用下面的语句求解 得 syms x a b c f exp a x sin b x sin c x latex int f x 22第 3 章 微积分问题的计算机求解 亦即 1 2 aeaxcos b c x a2 b c 2 1 2 b c eaxsin b c x a2 b c 2 1 2 aeaxcos b c x a2 b c 2 1 2 b c eaxsin b c x a2 b c 2 12 试求出下面的定积分或无穷积分 I Z 0 cosx xdx I Z 1 0 1 x2 1 x4 dx 求解 可以直接求解 syms x int cos x sqrt x x 0 inf ans 1 2 2 1 2 pi 1 2 可以得出 syms x int 1 x 2 1 x 4 x 0 1 ans 1 4 2 1 2 pi 13 假设 f x e 5xsin 3x 3 试求出积分函数 R t Z t 0 f x f t x dx 求解 定义了 x 的函数 则可以由 subs 函数定义出 t x 的函数 这样由下面的语句可 以直接得出 R 函数 syms x t f exp 5 x sin 3 x sym pi 3 R int f subs f x t x x 0 t simple R ans 1 1360 15 exp t 10 3 1 2 cos 3 t 25 cos 9 t 25 exp t 10 3 1 2 sin 3 t 68 cos 3 t 15 3 1 2 cos 9 t 25 3 1 2 sin 9 t 15 exp t 10 sin 3 t 15 sin 9 t 93 exp t 10 cos 3 t exp t 15 该结果可以写成 1 1360 15 et 10 3cos 3t 68cos 3t 15 et 10 sin 3t 25 3sin 9t 25 et 10 3sin 3t 15sin 9t 25cos 9t 15 3cos 9t 93 et 10cos 3t et 15 14 对 a 的不同取值试求出 I Z 0 cosax 1 x2 dx 求解 由下面的循环结构可以得出不同 a 值下的无穷积分值 并可以绘制出它们之间关系 的曲线 如图 3 1 所示 第 3 章 微积分问题的计算机求解23 syms x a f cos a x 1 x 2 aa 0 0 1 pi y for n aa b int subs f a n x 0 inf y y double b end plot aa y 00 511 522 533 5 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 图 3 1不同 a 值下的积分值曲线 15 试对下面函数进行 Fourier 幂级数展开 f x x sinx 6 x f x e x 6 x f x 2x l 0 x l 2 2 l x l l 2 x syms x f sym pi abs x sin x A B F fseries f x 10 pi pi F F 1 2 pi sin x 16 9 pi sin 2 x 32 225 pi sin 4 x 48 1225 pi sin 6 x 64 3969 pi sin 8 x 80 9801 pi sin 10 x 该结果在 L ATEX 下可以显示为 1 2 sinx 16 9 sin2x 32 225 sin4x 48 1225 sin6x 64 3969 sin8x 80 9801 sin10 x 可以由下面语句求解 并得出数学公式为 syms x f exp abs x A B F fseries f x 10 pi pi F 得出的解析解为 1 2 2e 2 e 1 cos x 2 5e 2 5 cos 2x 1 5e 1 5 cos 3x 24第 3 章 微积分问题的计算机求解 2 17e 2 17 cos 4x 1 13e 1 13 cos 5x 2 37 e 2 37 cos 6x 1 25e 1 25 cos 7x 2 65 e 2 65 cos 8x 1 41e 1 41 cos 9x 2 101 e 2 101 cos 10 x 进一步观察结果可见 该式子可以手工化简 例如提取系数 e 1 n 或对各项系数 逐项求值 保留 10 位有效数字 vpa F 10 ans 7 047601355 7 684221126 cos x 2 819040541 cos 2 x 1 536844225 cos 3 x 8291295709 cos 4 x 5910939328 cos 5 x 3809514246 cos 6 x 3073688450 cos 7 x 2168492724 cos 8 x 1874200274 cos 9 x 1395564625 cos 10 x 似乎求解起来更困难 巧妙利用符号运算工具箱中的 heaviside 函数 则可以将原函数 表示成 f x 2 heaviside x 2 2 x x 2 x 2 这样就可以用下面的语句求出函数的 Fourier 级数 syms x pi1 sym pi f 2 heaviside x pi1 2 2 pi1 x abs x pi1 2 x pi1 2 a b F fseries f x 10 pi pi F F 1 4 4 pi 2 cos x 4 pi 2 pi sin x 2 pi 2 cos 2 x 1 pi sin 2 x 4 9 pi 2 cos 3 x 4 9 pi 2 3 pi sin 3 x 1 2 pi sin 4 x 4 25 pi 2 cos 5 x 4 25 pi 2 5 pi sin 5 x 2 9 pi 2 cos 6 x 1 3 pi sin 6 x 4 49 pi 2 cos 7 x 4 49 pi 2 7 pi sin 7 x 1 4 pi sin 8 x 4 81 pi 2 cos 9 x 4 81 pi 2 9 pi sin 9 x 2 25 pi 2 cos 10 x 1 5 pi sin 10 x 1 4 4cos x 2 4 1 2 sin x 2cos 2x 2 sin 2x 4 9cos 3x 2 4 9 1 2 3 sin 3x 1 2sin 4x 4 25 cos 5x 2 4 25 1 2 5 sin 5x 2 9cos 6x 2 1 3sin 6x 4 49 cos 7x 2 4 49 1 2 7 sin 7x 1 4sin 8x 4 81 cos 9x 2 4 81 1 2 9 sin 9x 2 25 cos 10 x 2 1 5sin 10 x 16 试求出下面函数的 Taylor 幂级数展开 第 3 章 微积分问题的计算机求解25 Z x 0 sint t dt ln 1 x 1 x ln x p 1 x2 1 4 2x2 0 2 e 5xsin 3x 3 分别关于 x 0 x a 的幂级数展开 对 f x y 1 cos x2 y2 x2 y2 ex 2 y2 关于 x 1 y 0 进行二维 Taylor 幂级数展开 求解 由下面的语句可以分别求出各个函数的幂级数展开 由 latex ans 函数可以得出下 面的数学表示形式 syms t x f int sin t t t 0 x taylor f x 15 syms x f log 1 x 1 x taylor f x 15 syms x f log x sqrt 1 x 2 taylor f x 15 syms x f 1 4 2 x 2 0 2 taylor f x 13 x 1 18x3 1 600 x 5 1 35280 x 7 1 3265920 x 9 1 439084800 x 11 1 80951270400 x 13 2x 2 3x3 2 5x5 2 7x7 2 9x9 2 11x11 2 13x13 x 1 6x3 3 40 x 5 5 112x 7 35 1152x 9 63 2816x 11 231 13312x 13 1 21 25x 2 882 625x 4 55566 15625x 6 4084101 390625 x8 1629556299 48828125 x10 136882729116 1220703125 x12 该函数的前 4 项展开为 syms x a f exp 5 x sin 3 x sym pi 3 taylor f x 4 a e 5asin 3a 3 3e 5acos 3a 3 5e 5asin 3a 3 x a 8e 5asin 3a 3 15e 5acos 3a 3 x a 2 33e 5acos 3a 3 5 3e 5asin 3a 3 x a 3 该函数需要使用 Maple 的展开函数 syms x y f 1 cos x 2 y 2 x 2 y 2 exp x 2 y 2 F maple mtaylor f x 1 y 4 1 cos 1 e1 2sin 1 4 4cos 1 x 1 e1 6cos 1 7sin 1 8 x 1 2 e1 sin 1 2 2cos 1 y 2 e1 34 3 32 3 sin 1 16 3cos 1 x 1 3 e1 8cos 1 10 8sin 1 y 2 x 1 e1 83 6 6cos 1 34 3 sin 1 x 1 4 e1 24sin 1 16cos 1 27 y 2 x 1 2 e1 2cos 1 5 2 2sin 1 y4 e1 134 15 cos 1 194 15 sin 1 244 15 x 1 5 e1 164 3 28cos 1 140 3 sin 1 y2 x 1 3 e1 26第 3 章 微积分问题的计算机求解 14sin 1 16 10cos 1 y 4 x 1 e1 17 试求下面级数的前 n 项及无穷项的和 1 1 6 1 6 11 1 5n 4 5n 1 1 2 1 3 1 22 1 32 1 2n 1 3n 求解 下面的语句可以直接求解级数的和 syms n k symsum 1 5 k 4 5 k 1 k 1 n ans 1 5 5 n 1 1 5 symsum 1 5 k 4 5 k 1 k 1 inf ans 1 5 syms n k symsum 1 2 k 1 3 k k 1 n ans 2 1 2 n 1 3 2 1 3 n 1 3 2 symsum 1 2 k 1 3 k k 1 inf ans 3 2 当然 无穷级数的和还可以通过极限的方式求出 18 试求出下面的极限 lim n 1 22 1 1 42 1 1 62 1 1 2n 2 1 lim n n 1 n2 1 n2 2 1 n2 3 1 n2 n 求解 可以用下面两种方法求解 syms k n symsum 1 2 k 2 1 k 1 inf ans 1 2 limit symsum 1 2 k 2 1 k 1 n n inf ans 1 2 可以由下面的语句直接求解 syms k n limit n symsum 1 n 2 k pi k 1 n n inf ans 第 3 章 微积分问题的计算机求解27 1 19 试对下面数值描述的函数求取各阶数值微分 并用梯形法求取定积分 xi00 10 20 30 40 50 60 70 80 911 11 2 yi02 20773 20583 44353 2412 81642 3111 81011 36020 981720 679070 44730 27684 求解 可以由下面的语句得出函数的各阶导数 得出的曲线如图 3 2 所示 x 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 1 1 1 2 y 0 2 2077 3 2058 3 4435 3 241 2 8164 2 311 1 8101 1 3602 0 9817 0 6791 0 4473 0 27