高等数学》第08章多元函数及其应用习题课.pdf

多元函数的定义多元函数的定义 多元函数的极限多元函数的极限 多元函数的连续性多元函数的连续性 闭区域上连续函 数的性质 闭区域上连续函 数的性质 偏导数偏导数 高阶偏导数高阶偏导数 全微分全微分 方向导数与梯度方向导数与梯度 基本概念之间的 相互关系 基本概念之间的 相互关系 一 基本概念 包括定义 性质 定理等 一 基本概念 包括定义 性质 定理等 二 微分法二 微分法 简单显函数简单显函数z f x y 求偏导数求偏导数 复合函数微分法复合函数微分法 隐函数微分法隐函数微分法 方向导数与梯度方向导数与梯度 三 微分法的应用三 微分法的应用 几何应用几何应用 求空间曲线在一点的切线及法平面方程求空间曲线在一点的切线及法平面方程 求曲面在一点的切平面及法线方程求曲面在一点的切平面及法线方程 多元函数的极值多元函数的极值 包括条件极值包括条件极值 与最值与最值 多元函数多元函数定义定义 定义定义 yxzzyxfz yxz z yx zyx 或记 的二元函数是则称 对应总有确定的数值与它们 按照一定法则量一对值 取定在一定范围内若当 和设有变量二元函数 或记 的二元函数是则称 对应总有确定的数值与它们 按照一定法则量一对值 取定在一定范围内若当 和设有变量二元函数 定义域的变化范围 因变量称为自变量其中 定义域的变化范围 因变量称为自变量其中 yx zyx 时的极限当 为则称 恒有 时的极限当 为则称 恒有 00 0 0 0 0 yyxx yxfzA Ayxf PP 00 lim 0 0 yyxxAyxf Ayxf yy xx 或 记作 或 记作 定义定义 多元函数的多元函数的极限极限 lim 000 00 0 0 处连续在点则称 若 处连续在点则称 若 yxPyxfz yxfyxf yy xx 内连续在则称 内每点连续在若 内连续在则称 内每点连续在若 Dyxfz Dyxfz 多元函数的多元函数的连续性连续性 定义定义 00 0 0 0 yxfyxf PP 恒有恒有 处连续点 在 处连续点 在 0 P yxfz 有界闭区域上连续函数的有界闭区域上连续函数的性质性质与与定理定理 是连续连续函数的复合函数也函数 均为连续处分母不为商积差连续函数的和 是连续连续函数的复合函数也函数 均为连续处分母不为商积差连续函数的和 0 1 2定义区域内是连续的一切多元初等函数在其 定义区域内是连续的一切多元初等函数在其 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 3 最小值有最大值 数必定有界闭区域上的连续函定理和 最小值有最大值 数必定有界闭区域上的连续函定理和mM 之间的一切值 值上必定取得介于这两个不同值 则它在该区域 若取得两数有界闭区域上的连续函介值定理 之间的一切值 值上必定取得介于这两个不同值 则它在该区域 若取得两数有界闭区域上的连续函介值定理 4 x yxfyxxf yxf yxfz x z x yxPyxfz x yxfyxxf x x x yy xx x yy xx x 0000 0 00 00 000 0000 0 lim lim 0 0 0 0 即 记作的偏导数处对 在点则称此极限为函数 若 即 记作的偏导数处对 在点则称此极限为函数 若 偏导数的偏导数的定义定义 y yxfyyxf yxf y y lim 0000 0 00 同理 同理 tan 0000 0 00 轴正向所成的角切线与的切线斜率 处在就是 轴正向所成的角切线与的切线斜率 处在就是 x zyxM yy yxfz Cyxf x 偏导数的偏导数的几何意义几何意义 如图如图 0 yy 0 xx yxxy yxxy ff D Dff 有 内在连续 内在及若 有 内在连续 内在及若 定理定理 高阶偏导数的高阶偏导数的概念概念 三项为混合偏导数其中二 的二阶偏导数则称四个偏导数为 若它们的偏导数仍的二元函数一般仍为 三项为混合偏导数其中二 的二阶偏导数则称四个偏导数为 若它们的偏导数仍的二元函数一般仍为 22 2 2 21 2 12 2 11 2 2 yxfz yxfyxf y z y z y yxfyxf xy z y z x yxfyxf yx z x z y yxfyxf x z x z x yx yxf y z yxf x z yy yx xy xx yx 全微分的全微分的定义定义 yyxBxyxA yxfyyxxfz 0000 0000 可表示成可表示成 若若 0lim 22 0 0 yx yBxAz y x 即 即 00 00 的全微分在点为而称 处可微分在点则称 的全微分在点为而称 处可微分在点则称 yxyxfzyBxA yxpyxfz 22 00 yx yxpyxBA 有关仅与不依赖于 其中有关仅与不依赖于 其中 yyxBxyxAdzeidz 0000 记作记作 方向导数与梯度的方向导数与梯度的概念概念 lim 0 yxfyyxxf l f 二元函数方向导数的二元函数方向导数的定义定义 22 yx 其中其中 y P o x l x y P 定义定义 设函数设函数 yxfz 在平面区域在平面区域 D内具有一 阶连续偏导数 则对于每一点 内具有一 阶连续偏导数 则对于每一点DyxP 都可 定 出 一 个 向 量 都可 定 出 一 个 向 量j y f i x f 这 向 量 称 为 函 数 这 向 量 称 为 函 数 yxfz 在点在点 yxP的梯度 记为的梯度 记为 yxgradfj y f i x f 基本概念之间的基本概念之间的相互关系相互关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数偏导数存在 简单显函数简单显函数z f x y 的偏导数的偏导数 0 0 0 0 xx yy xxx dx yxdf z 利用一元函数的求导公式和运算法则利用一元函数的求导公式和运算法则 0 0 0 0 yy x yy xxxy dy yxdf z 0 0 0 2 0 2 xx yy xxxx dx yxdf z 0 0 0 0 yy yy xxy dy yxdf z 复合函数微分法复合函数微分法 yxyxfz vufzyxvyxu 复合函数 设 复合函数 设 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z 公式 公式 全导数公式 求设 全导数公式 求设 dx dv v z dx du u z dx dz dx dz xvxuvufz x v v z x u u z x z y z x z yyxyxfz yxvyxuyvufz 的求的求 y f y v v f y u u f y z 321 f y v f y u f 两者的区别两者的区别 两者的区别两者的区别 导数 的看作不变而对中的 把 导数 的看作不变而对中的 把 yx yyxyxfz 的导数而对 看作不变及的 中把 的导数而对 看作不变及的 中把 y vu yvufz 及其相互关系 哪些是自变量 分清哪些是中间变量 及其相互关系 哪些是自变量 分清哪些是中间变量 1 等 号 抽象函数常采用简便记 等 号 抽象函数常采用简便记 121121 3 ffff 分清偏导与全导记号分清偏导与全导记号 2 的复合关系一样仍与记住 如 一阶偏导数拆开运用四则运算法则 把 对于高阶偏导数 的复合关系一样仍与记住 如 一阶偏导数拆开运用四则运算法则 把 对于高阶偏导数 fffii x x vufvuf x xvuf x y xvuf x yvuf x xvufyvuf xx z xvufyvuf x z i 2 2 2 2 2 4 21 221 21 21 2 2 21 隐函数微分法隐函数微分法 0 0 1 yxF yxF yxF xy xyyyxF y y x 有 则确定隐函数由 有 则确定隐函数由 0 0 2 zyxF zyxF zyxF y z zyxF zyxF x z yxzzzyxF z z y z x 则确定隐函数由则确定隐函数由 求一阶时 可用一阶微分形式不变性 求二阶或二阶以上 偏 导数 通常用直接法 求一阶时 可用一阶微分形式不变性 求二阶或二阶以上 偏 导数 通常用直接法 数组微分法由多个变量确定的隐函 数组微分法由多个变量确定的隐函 3 相对于公式 这种方法称为直接法或偏导数 直接对方程两边求导数不用记公式 相对于公式 这种方法称为直接法或偏导数 直接对方程两边求导数不用记公式 lgraduff l f l yxMyxfu yx sincos sin cos 的方向导数 处沿方向 在点 的方向导数 处沿方向 在点 M y f x f fgradf 方向导数与梯度的计算方向导数与梯度的计算 前提是函数可微前提是函数可微 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方 向与取得最大方向导数的方向一致 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方 向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方 向导数的最大值 梯度的模为 而它的模为方 向导数的最大值 梯度的模为 2 2 y f x f yxgradf 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 切线方程为切线方程为 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 法平面方程为法平面方程为 0 000000 zztyytxxt 1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 tztytx 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 0 zyxF 切平面方程为切平面方程为 0 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx 法线方程为法线方程为 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值 无条件无条件无条件无条件 极值极值极值极值 小小 的极大值点为点 有极大值在称 有若当 的某个邻域内有定义在设 的极大值点为点 有极大值在称 有若当 的某个邻域内有定义在设 000 00000 000 000 yxfyxM yxfyxMyxfz yxfyxfMUyx yxMyxfz 小小 1 定义定义 2 驻点驻点 0 0 的驻点称为 的点满足方程组 的驻点称为 的点满足方程组 yxfz yx yxf yxf y x 定义定义 对自变量除限制在定义域内 对自变量除限制在定义域内 没有其它限制 没有其它限制 0 0 2 1 0000 00 00 000 yxfyxf yx yx yxMyxfz yx 即满足 一定是驻点 是极值点 偏导数在点设 即满足 一定是驻点 是极值点 偏导数在点设 定理定理 3 判定判定 定理定理 小小 条件极值条件极值条件极值条件极值 就是可能的极值点 解出 0 0 F 0 F 从方程 是参数 F 构造函数 就是可能的极值点 解出 0 0 F 0 F 从方程 是参数 F 构造函数 x y y x x y x y x yf x y x yf x y x yfx y yyy xxx 0下的可能极值点 在附加条件求z0下的可能极值点 在附加条件求z x yx yf 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 求最值求最值求最值求最值 最大值最小值 得上的多元连续函数必取有界闭区域 最大值最小值 得上的多元连续函数必取有界闭区域D 1 数值较麻烦二元函数求边界上的函 数值较麻烦二元函数求边界上的函 决定最大最小值与边界上的函数值比较 驻点处的函数值求出象一元函数那样将全部 决定最大最小值与边界上的函数值比较 驻点处的函数值求出象一元函数那样将全部 2 就必是最值点不加验证的驻点 求出唯一最值必存在对实际问题 就必是最值点不加验证的驻点 求出唯一最值必存在对实际问题 例1例1 解解 2 2 2 3 yx z y z y z f x y xyfxz 求 具有二阶连续偏导数设 求 具有二阶连续偏导数设 1 21 3 x fxfx y z 2 2 1 4 fxfx 1 1 2221 2 1211 4 2 2 x fxfx x fxfx y z 2 2212 3 11 5 fxfxfx xy z yx z 22 2 4 22221 2 221211 4 1 3 x y fyfx xf x y fyfxfx 2 2 1 4 fxfx x 24 2211 4 21 3 f yf yxfxfx 0 dx dy Ffyx tyxFttxfy 求一阶连续偏导数 都具有其中的函数所确定的 是由方程而设 求一阶连续偏导数 都具有其中的函数所确定的 是由方程而设 xyy xtt tyxF txfy 0 0 求导数将上式两方程对 求导数将上式两方程对x 1 0 0 ytt xttx ty t tx tx tyx tx FfF FfFf FF f FF ff dx dy dx dt F dx dy FF dx dt ff dx dy 例1例1 解法解法1 dx dy y t x t t f x f dx dy 1 yt xtx tf tff dx dy 1 ytt xttx t y t t x tx FfF FfFf F F f F F ff t y t x F F y t F F x t 解法解法2 2 0 1 dtFdyFdxF dtfdxfdy tyx tx ytt xttx FfF FfFf dx dy dx FfF FfFf dy ytt xttx t yx tx F dyFdxF fdxfdy 得代入 由 得代入 由 1 2 t yx F dyFdxF dt 解法解法3 0 0 2 1 2 22 为什么处有无极值在 的极值讨论条件下在 设 为什么处有无极值在 的极值讨论条件下在 设 yxf yxfkxy xyxyyxf 2 1 22 xkxxkxyxf 极值把条件极值化为无条件 极值把条件极值化为无条件 0 892 22 令令 xkxkx dx df 处取极大值在 处取极小值和在验证 处取极大值在 处取极小值和在验证 33 2211 yx yxyx kxkxx 16 179 16 179 0 321 例例3 解解 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 22 22 处无极值在由极值的定义知 和邻域内总有 的在 当 当 而 处无极值在由极值的定义知 和邻域内总有 的在 当 当 而 yxf yxfyxf yxf xyx yxf xyxy f 10 8 6 4 20246810 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 抛 物 线 x y y 2x x y x x 例例4 解解 22 22 的极值求的极值求 yx eyxz 0 1 1 11 0 1 0 0 0 0 0 1 2 2 22 22 为极大值 令 是极小点 显然 为极大值 令 是极小点 显然 令令 ete dt zd yxt tetee dt dz teztyx zz t ttt t 01616 4 42 2 2 42 2 2 1 2 0 1 2 1 0 0 0 1 2 2222222 12 1 12 1 22 22 22 eyxeyxACB eyz xyeytexz exxtexetz ety y t dt dz z tyx etx x t dt dz z yy t xy t tt xx yx y yx x 令 令 令 令 驻点驻点 2 2 2 为正整数 并证明的极小值 求函数之和为定值与设有两个正数 为正整数 并证明的极小值 求函数之和为定值与设有两个正数 n yxyx yx yxf ayx n nn nn 2 ayx yx yxF nn y a xayx yx yF xF n n y n n x 2 0 0 1 2 1 2 令 令 令 令 例例5 解解 nn n yxa yxf a f 2 2 2 min 1 1 y xz ln 2 2 yxzxyzxyxfu 3 3 00 0 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf 一 求下列函数的一阶偏导数一 求下列函数的一阶偏导数 1 1 1ln ln y x xyz y y x y x z ln ln 2 2 321 fxyzyzyffu xx 32 fxyzxzxfu yy 3 3 0 0 0 2 22 22 222 3 yx yx yx xy yxf x 0 0 22 22 222 222 yxo yx yx yxx yxf y 答案答案 二 设二 设 y x xfz 其具中 其具中f有二阶连续偏导数 求有二阶连续偏导数 求 2 22 2 2 y z yx z x z 12 22 2 1211 2 2 f y f y f x z 1 1 2 2 2212 2 2 f y f y f y x yx z 2 22 4 2 2 32 2 f y x f y x y z 答案答案 三 设三 设 zxfu 而 而 yxz是 由 方是 由 方 程程 zyxz 所确的函数 求所确的函数 求du dy zy zf dx zy f fdu 1 1 22 1 答案答案 四 设四 设 fyyxxfz其中其中 具 有二阶导数 求 具 有二阶导数 求 2 2 2 2 y z x z 1 1 2 11 2 2 ff x z 2221112 2 11 2 2 fffff y z 答案答案 2 1 1 42 032 012 2 22 2 的切线在点平行于曲线 之的平面求过直线五 的切线在点平行于曲线 之的平面求过直线五 zyx yx zyx zyx z l M zyx yx n zyxzyx z 方向向量 的切线的在点曲线 该平面的法向量 为设所求平面方程 方向向量 的切线的在点曲线 该平面的法向量 为设所求平面方程 2 1 1 42 21 2 1 0 32 12 0 2 22 2 解解 2 1 1 2 2 2 2 2 042 0 2 21 2 22 0 nzyxn zyxzyxG z yxzyxF M 令令 0171293 2 5 zyx因此所求平面解得因此所求平面解得 0 2 3 1 21 2 1 0 ln所以已知所求平面平行切线 所以已知所求平面平行切线 2 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 21 l nnl 通过原点 上任意点的切平面都曲面六 求证 通过原点 上任意点的切平面都曲面六 求证 x y xfzS 0 0 1 1 1 1 2 过原点 即 切平面