工程数学-线性代数(第四版)同济大学应用数学系 第一章.pdf

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 381 141 102 解 381 141 102 2 4 3 0 1 1 1 1 8 0 1 3 2 1 8 1 4 1 24 8 16 4 4 2 bac acb cba 解 bac acb cba acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 3 222 111 cba cba 解 222 111 cba cba bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 a b b c c a 4 yxyx xyxy yxyx 解 yxyx xyxy yxyx x x y y yx x y x y yx y3 x y 3 x3 3xy x y y3 3x2 y x3 y3 x3 2 x3 y3 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序 数 1 1 2 3 4 解 逆序数为 0 2 4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32 3 3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1 2 1 4 2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 5 1 3 2n 1 2 4 2n 解 逆序数为 2 1 nn 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 7 2 7 4 7 6 3 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 6 1 3 2n 1 2n 2n 2 2 解 逆序数为 n n 1 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 4 2 1 个 6 2 6 4 2 个 2n 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2 n 1 个 3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项 解 含因子 a11a23的项的一般形式为 1 ta11a23a3ra4s 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是 1 ta11a23a32a44 1 1a11a23a32a44 a11a23a32a44 1 ta11a23a34a42 1 2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 1 7110 02510 2021 4214 解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 cc cc 34 1 14310 221 1014 14310 221 1014 0 141717 200 109932 32 1 1 cc cc 2 2605 2321 1213 1412 解 2605 2321 1213 1412 2605 0321 2213 0412 24 cc 0412 0321 2213 0412 24 rr 0 0000 0321 2213 0412 14 rr 3 efcfbf decdbd aeacab 解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf abcdefadfbce4 111 111 111 4 d c b a 100 110 011 001 解 d c b a 100 110 011 001 d c b aab arr 100 110 011 010 21 d c aab 10 11 01 1 1 12 010 11 123 cdc adaab dcc cd adab 11 1 1 1 23 abcd ab cd ad 1 5 证明 1 111 22 22 bbaa baba a b 3 证明 111 22 22 bbaa baba 001 222 2222 12 13 ababa abaaba cc cc abab abaab 22 1 222 13 21 aba abab a b 3 2 yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax 33 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a bzayyx byaxxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a 22 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx ba 33 3 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 证明 2222 2222 2222 2222 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2 c2 c1得 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2得 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 dd cc bb aa 4 4444 2222 1111 dcba dcba dcba a b a c a d b c b d c d a b c d 证明 4444 2222 1111 dcba dcba dcba 0 0 0 1111 222222222 addaccabb addaccabb adacab 111 222 addaccabb dcbadacab 0 0 111 abdbddabcbcc bdbcadacab 11 abddabcc bdbcadacab a b a c a d b c b d c d a b c d 5 1221 1 000 00 10 00 01 axaaaa x x x nnn xn a1xn 1 an 1x an 证明 用数学归纳法证明 当 n 2 时 21 2 12 2 1 axax axa x D 命题成立 假设对于 n 1 阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则 Dn按第一列展开 有 1 11 00 1 00 01 1 1 1 x x axDD n nnn xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 D det aij 把 D 上下翻转 或逆时针旋转 90 或依副对角线翻转 依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 111 1 2 n nnn aa aa D 111 1 3 aa aa D n nnn 证明DDD nn 2 1 21 1 D3 D 证明 因为 D det aij 所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 1 1 1 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 1 1 2 21 1 1 同理可证 nnn n nn aa aa D 1 1 111 2 1 2 DD nn T nn 2 1 2 1 1 1 DDDDD nn nnnnnn 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 7 计算下列各行列式 Dk为 k 阶行列式 1 a a Dn 1 1 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素 都是 0 解 a a a a a Dn 0 001 0 000 00 00 00 00 10 00 按第 n 行展开 1 1 1 0 000 00 00 00 00 10 000 1 nn n a a a 1 1 2 1 nn n a a a n nn nn a a a 2 2 1 1 1 an an 2 an 2 a2 1 2 xaa axa aax Dn 解 将第一行乘 1 分别加到其余各行 得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 0 0 0 0 再将各列都加到第一列上 得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 0 00 0 00 1 x n 1 a x a n 1 3 1 11 1 1 1 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n 解 根据第 6 题结果 有 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D 1 1 1 1 11 1 111 2 1 1 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 1 1 1 1 1 jin nn n jaiaD 11 2 1 1 jin nn ji 11 2 1 1 2 1 1 1 jin nn nn ji 11 jin ji 4 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 解 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 按第 1 行展开 n nn nn n d dc dc ba ba a 0 00 0 11 11 11 11 0 0 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 再按最后一行展开得递推公式 D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即 D2n andn bncn D2n 2 于是 n i iiiin DcbdaD 2 22 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 所以 n i iiiin cbdaD 1 2 5 D det aij 其中 aij i j 解 aij i j 0 4321 4 0123 3 1012 2 2101 1 3210 det nnnn n n n n aD ijn 0 4321 1 1111 1 1111 1 1111 1 1111 21 32 nnnn rr rr 1 5242321 0 2221 0 0221 0 0021 0 0001 12 13 nnnnn cc cc 1 n 1 n 1 2n 2 6 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 其中 a1a2 an 0 解 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 nn nn aa aa aa aa a cc cc 10 000 1 000 100 0 100 0 100 00 11 33 22 1 21 32 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 110 000 11 000 00 110 00 011 00 001 n n n a a a a a aaa n i i n n a a a a a aaa 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 100 000 10 000 00 100 00 010 00 001 1 1 1 21 n ii n a aaa 8 用克莱姆法则解下列方程组 1 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 因为 142 11213 5132 4121 1111 D 142 11210 5132 4122 1115 1 D 284 11203 5122 4121 1151 2 D 426 11013 5232 4221 1511 3 D 142 0213 2132 2121 5111 4 D 所以 1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 3 3 3 D D x 1 4 4 D D x 2 15 065 065 065 165 54 543 432 321 21 xx xxx xxx xxx xx 解 因为 665 51000 65100 06510 00651 00065 D 1507 51001 65100 06510 00650 00061 1 D 1145 51010 65100 06500 00601 00015 2 D 703 51100 65000 06010 00051 00165 3 D 395 51000 60100 00510 00651 01065 4 D 212 11000 05100 06510 00651 10065 5 D 所以 665 1507 1 x 665 1145 2 x 665 703 3 x 665 395 4 x 665 212 4 x 9 问 取何值时 齐次线性