南京航空航天大学《高等数学》93二重积分的应用.pdf

问题的提出问题的提出 二重积分在几何上的应用二重积分在几何上的应用 曲面的面积曲面的面积 二重积分在力学中的应用二重积分在力学中的应用 求重心求重心 转动惯量 转动惯量 引力 引力 定积分 积分元素 定积分的元素法元素法 定积分 积分元素 定积分的元素法元素法 b a dU dU 2 1 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 一 问题的提出一 问题的提出 2 1 24 无限求和即重积分写总量的元素 步步简化成将原来的元素法 无限求和即重积分写总量的元素 步步简化成将原来的元素法 无限累加 的元素称为总量 部分量 能表示成部分量之和总量 重积分问题 无限累加 的元素称为总量 部分量 能表示成部分量之和总量 重积分问题 D dyxfU Udyxf U 2 1 AS Dyxf xoyD DyxyxfzS 的面积曲面求 上有连续的一阶偏导数在设 平面上的投影区域曲面在 设曲面问题提出 的面积曲面求 上有连续的一阶偏导数在设 平面上的投影区域曲面在 设曲面问题提出 光滑曲面称之曲面光滑曲面称之曲面yxfz 法再求和取极限 用微元以平代曲处切平面 求点每一小块上取一点分析 曲面分细 法再求和取极限 用微元以平代曲处切平面 求点每一小块上取一点分析 曲面分细 MM 二 曲面的面积二 曲面的面积 二重积分在几何上的应用二重积分在几何上的应用 无限求和第二步写面积微元第一步无限求和第二步写面积微元第一步 dA ASz dSM yxfyxMSdyxp d D 面切平面上截下一小块平 上一块小曲面截下轴的柱面平行 的边界作母线过的切平面作曲面过 也表示小区域的面积任意小区域考虑 无限细分区域 面切平面上截下一小块平 上一块小曲面截下轴的柱面平行 的边界作母线过的切平面作曲面过 也表示小区域的面积任意小区域考虑 无限细分区域 1 面积元素 轴的夹角为与设 平面上的投影均是在 面积元素 轴的夹角为与设 平面上的投影均是在 dffdA ffffn dAdozn dxoydAdAA yx yxyx 1 11cos 1 cos 22 22 解解 d y z x z dffA DD yx 1 1 2 2222 X Y Z d dA A d dA n n k yx M cos dAd 设曲面的方程为 设曲面的方程为 xzhy 曲面面积公式为 曲面面积公式为 1 22 dzdxA zx D x y z y 设曲面的方程为 设曲面的方程为 zygx 曲面面积公式为 曲面面积公式为 1 22 dydzA yz D z x y x 同理可得同理可得 2 4 aSa 的球面面积为证明半径为 的球面面积为证明半径为 222 22 222 222 222 1 yxa a zz yxa y z yxa x z yxfyxaz yx yx 上半球面方程 取球心在原点 上半球面方程 取球心在原点 2 4 aA 2 0 22 022 2 0 222 2 2 2 araadr ra ar d d yxa aA a a D 用极坐标 广义积分 用极坐标 广义积分 由公式由公式 例例1 解解 3 2 22 2 22 1 积围成的立体的整个表面 求由 积围成的立体的整个表面 求由yxzSyxzS 2 3 1 0 3 1 03223 3 2 22 2 22 22 yxzz zzzzzz xoy yxz yxz 舍去得 平面上的投影曲线在求 舍去得 平面上的投影曲线在求 22 22 1 11 yxzzyzxzS yxyx 对 对 22 22 2222 2 3 3 1 3 3 yx zz yx y z yx x zS yx yx 对 对 解解 例例2 3 1 3 2 13 3 2 1 3 1 2 11 2 3 2 3 2 0 2 2 0 2 2 0 22 2 r rdrrddxdyyxA D 33 2 13 32 3 32 3 2 1 23 3 3 3 3 2 0 2 2 02 2 2 02 2 0 22 1 r r dr dr r r ddxdy yx A D 3 16 3 1 333 2 21 AAA n i i n i ii x n i i n i ii y m ym M M y m xm M M x 1 1 1 1 轴的静力矩对全体质量集中在重心上 轴的静力矩质点系对 轴的静力矩对全体质量集中在重心上 轴的静力矩质点系对 x x 2 1 nim yxAnxoy i iii 质量 处位于个质点面上有若由力学 重心位置求法有限个质点的质点系的 质量 处位于个质点面上有若由力学 重心位置求法有限个质点的质点系的 重心坐标 是 重心坐标 是 yx 三 二重积分在力学中的应用三 二重积分在力学中的应用 求重心求重心 转动惯量 转动惯量 引力 引力 1 求重心求重心 当薄片是均匀的 重心称为当薄片是均匀的 重心称为形心形心 1 D xd A x 1 D yd A y D dA 其中其中 D D dyx dyxx x D D dyx dyxy y 由元素法由元素法 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D 在点 在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在 D上连续 平面薄片的重心上连续 平面薄片的重心 sin4 sin2 均匀薄板的形心 之间的求位于两圆 均匀薄板的形心 之间的求位于两圆 rr D ydxdy A y A xyD 1 314 0 设面密度为 轴对称关于 设面密度为 轴对称关于 3 7 0 重心重心 3 77 22 1 4 3 3 562 sin 3 5621 2 0 4 A d A 2 2 2 2 4sin 3 561 3 sin1 sin4 sin2 3 d A dr A sin4 sin2 2 0 sin 1 drrd A 例例3 解解 有限个质点的质点系的转动惯量有限个质点的质点系的转动惯量 轴的转动惯量分别为轴及质点系关于 质量 处位于坐标为个质点平面上有设 轴的转动惯量分别为轴及质点系关于 质量 处位于坐标为个质点平面上有设 由力学由力学 yx nim yxAnxoy i iii 2 1 2 求转动惯量2 求转动惯量 n i iiy n i ix xmIymI i 1 2 1 2 2 D x dyxyI 2 D y dyxxI 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域 D 在点 在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在D上连续 平面薄片对于上连续 平面薄片对于x轴和轴和y轴 的转动惯量为 轴 的转动惯量为 薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量x 薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量 y 例 4例 4 设一均匀的直角三角形薄板 两直角边长 分别 设一均匀的直角三角形薄板 两直角边长 分别 为为a b 求这三角形对其中任一直角边的 转动惯量 求这三角形对其中任一直角边的 转动惯量 解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在 x轴和轴和y轴上 如图轴上 如图 a b o y x 对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 2dxdy xI D y ba b y dxxdy 0 1 0 2 12 1 3 ba 同理 对同理 对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dxdyyI D x 2 12 1 3 ab 3 平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力 力处的单位质量质点的引点 轴上对位于求薄片上连续在 面密度面上的区域设有一平面薄片占有 力处的单位质量质点的引点 轴上对位于求薄片上连续在 面密度面上的区域设有一平面薄片占有 0 0 0 aM zDDyx Dxoy 222 ayxrdFdFdFdF dF yxdmdyxdm dyx dD zyx 元素得出由质点间的引力公式可 上集中在 任取一点 域上任取一直径很小的区在 采用元素法 元素得出由质点间的引力公式可 上集中在 任取一点 域上任取一直径很小的区在 采用元素法 解解 0 2 r a r y r x r dyx GdFdFdFdF zyx 2 3 2 3 2 3 222222222 DDD zyx ayx ayx ayx yyx ayx xyx G FFFF d ayx ayx GdFF d ayx yyx GdFF d ayx xyx GdFF DD zz DD yy DD xx 2 3 2 3 2 3 222 222 222 的引力求圆片对点距离为 轴线上有单位质点在过圆心且垂直圆片的 面密度为片有一质量均匀分布的圆 的引力求圆片对点距离为 轴线上有单位质点在过圆心且垂直圆片的 面密度为片有一质量均匀分布的圆 cac c a z Fd x y o yx 例例5 DD zz z zyx yxa a yxa dG dFF yxa a yxa dG dF kFFFF 222 22