MATLAB语言在工程数学中的几种应用.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved MATLAB语言在工程数学中的几种应用 田传俊 深圳大学 信息工程学院 深圳518060 摘 要 在工程数学的教学中 往往需要利用几何图形来直观地说明概念的含义 概念间的关系等 同时应尽量避免简单而繁重的计算 从而有 更多的时间来突出数学原理 方法和技巧等的教学 本文以提高工程数学的教学质量 进行教学改革为目的 充分利用计算机在作图和数值计 算上的优势 结合工程数学和MAT LAB语言的特点 以工程数学教学中遇到的几个具体问题为例 阐明了MAT LAB语言在工程数学教学中的两 种潜在应用 关键词 工程数学 MAT LAB 计算机作图及计算 计算机辅助教学 中图分类号 G434 TP391177 文献标识码 A文章编号 1008 0686 2003 02 0065 04 Application of MATLAB in Teaching of Engineering Mathematics TIAN Chuan2jun College of Information Engineering Shenzhen University Shenzhen518060 China Abstract In the process of teaching of engineering mathematics it is necessary to use the graphs to intuitively illustrate the meaning of concepts and their relationship and to reduce simple tedious calculation in order to take more time to ex2 plain mathematic principle method and technique The aimof this paper is to enhance the teaching quality and stimulate the teaching reformof engineering mathematics by combining the characteristic of engineering mathematics and MAT LAB Two kinds of possible applications of MAT LAB in teaching of engineering mathematics are illustrated by using several ex2 amples encountering in the teaching of engineering mathematics in this paper Keywords engineering mathematics teaching MAT LAB drawing and calculating by computer computer aided instruction 0 引言 工程数学是一门理论性很强的基础学科 是理 工科大学生的必修课和研究生入学考试的必考课 长期以来在工程数学教学过程中教师讲 学生练的 传统教学方法 因不利于培养学生的动手能力和解 决实际问题的能力而不适应现代社会的需要 如果 把课堂教学和实际计算机操作结合起来 可将某些 复杂的数值计算简单化 一些抽象的概念具体化和 形象化 这将有利于提高学生的学习兴趣 掌握一定 的计算机计算技巧 保证教学质量 MAT LAB语言集数值分析 图形显示于一体 具 有方便的 界面友好的用户环境 MAT LAB的主要 优点在于功能强大 具有数值运算 符号运算 计算 结果和编程可视化 数学和文字同时处理等功能 特别是MAT LAB具有众多的应用工具箱和强大的图 形处理功能 这是其它语言如C语言等所难以做到 的 因此深受广大科研工作者的喜爱 计算机仿真计算就是利用计算机代替纸和笔以 及人的部分脑力劳动进行数学计算 作图或推理等 第25卷 第2期 2003年4月 电气电子教学学报 JOURNAL OF EEE Vol 25 No 2 Apr 2003 收稿日期 2002 11 09 修回日期 2003 01 11 作者简介 田传俊 1964 男 湖北荆州人 副教授 从事神经网络算法及应用 动力系统的稳定性等的教学与研究 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 图2 二元正态分布的概率密度函数的图形 有些学者称之为数学实验 1 本文利用具体问题来 说明数学实验在工程数学教学中两种典型的应用 1 典型应用之一 函数的作图 为了加深学生对概念的理解 便于知识的掌握 教师在讲解数学知识时 可充分利用计算机的画图 功能 用图形来形象直观地说明概念和讲授知识 函数曲线和曲面的作图是高等数学学习者需要 掌握的一个基本知识 涉及到多种知识和技巧 111 一元函数的作图 一元函数的作图需要利用函数的单调性 极值 渐进线 凸凹性 以及拐点等知识 具体的作图过程 为 求出函数f x 的定义域 求出f x 0和f x 0的全部根 确定函数的单调性 凸凹性 极值 点和拐点 作出必要的特殊辅助点 求出渐进线 然 后再作出图形 4 由此可以看出 作出一个一元函数的图形需要 求解导数方程 这对一些函数是很困难的问题 例 如 对于如下无理函数就难以求出导函数方程的根 y f x x2sin 2x x2 2xcosx 1 要想求出该函数极值点和拐点的准确解几乎是不可 能的 因此 按照以上作图方法就难以作出该函数 的图形 但是 利用计算机作出上述函数的图形将 非常方便 其基本方法是描点法 即在定义域内取出 足够多的点 再利用计算机超强的计算能力 通过编 程来作出图形 其步骤如下 求出 函数的定义域 在定义域的某个范 围内取若干个点 求出相应点的函 数值 利用程序作出函数的图形 例如 对于式 1 中的函数f x 利用MAT LAB作图的程序如下 x 4 011 4 y x1 21 3sin 23x sqrt x1 2 pi 23x1 3cos x plot x y xlabel x ylabel y grid 运行上述简单程序 就可作出 图1所示的该函数的图形 从图 中可直观地了解该函数的性质 112 二元函数的作图 对于二元函数的作图 在高等 图1 函数y x2sin 2 x x2 2xcosx的图形 数学中 没有介绍它的作图方法 但在一些数学分支 如概率论中有一定的用途 对加深理解一些数学概念 等是有帮助的 例如 二元正态分布的概率密度函数 p x y 1 2 1 21 r2 exp 1 2 1 r2 x a 2 2 1 2r x a y b 1 2 y b 2 2 2 是一个典型重要的密度函数 其中 a b 1 2 r均 为常数 且 1 0 2 0 r 1 若二维随机变量 服从二元正态分布 则a 1和b 2分别为随 机变量 和 的数学期望和方差 毫无疑问 p x y 的图形对了解二元正态分布的特征是有帮助的 利用MAT LAB可方便快速地作出它的图形 见图2 从图可知 不同参数值对密度函数的高 低 圆 扁等 都有一定影响 这对加深学生理解各参数对二元正 态分布密度的具体作用 了解分布的特性有较大帮 助 有利于掌握相应知识 113 Bernoulli试验的作图 66 电气电子教学学报 25卷 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved Bernoulli试验是一个重要的随机模型 在概率 论中有大量的篇幅讨论了它的性质 例如 若随机 事件A概率为p 则由大数定理 得 p lim n n A n p 1 2 式中 n A 表示在n重Bernoulli试验中 事件A发 生的次数 因为n A n表示事件A出现的频率 所以式 2 实际上说明了随机事件A的频率依概率 1趋于A的概率 这实际上是随机现象统计规律性 的表现 即频率的稳定性 以往在讲解这一内容时 都是利用书本中列举的历史上所做的试验数据来让 学生理解这一点 这样的讲解难以给学生们留下生 动而深刻的印象 若能进行直观演示 可以加深学 生的记忆 增强学习效果 下面设计一个计算机仿 真实验来直观地验证频率的稳定性 设 p A 0165 分别对1000和5000Bernoulli试 验进行仿真计算 并绘制相应图形 从图3可以明 显看出 当试验次数增加时 随机事件A发生的频 率接近于它的概率p的拟合程度越来越好 a 实验次数为1000 b 实验次数为5000 图3 Bernoulli试验中随机事件的发生频率 总之 对一些数学知识 教师尽可能地结合相应 的图形进行讲解 并让学生在课下多动手练习 无疑 能激发学生的学习兴趣 给他们以鲜明生动的印象 以加深对数学知识的理解 从而可增强教学效果 2 典型应用之二 数值计算 计算机的计算速度和准确性是人工所无法比拟的 由于MAT LAB中提供了大量的可计算的函数 因此 进行数值计算是十分方便的 逆矩阵是线性代数中的一个重要概念 在求解 线性方程组的解等方面有着重要的应用 对于给定 的矩阵 其逆矩阵的求法通常有两种方法 一是利用 伴随矩阵求解 二是利用初等变换法求解 虽然从 理论上讲 对任意阶数值行列式可以通过人工计算 出逆矩阵 但求高阶矩阵的逆矩阵的计算量很大 例如 对于一个具体的n阶可逆矩阵 利用伴随 矩阵求其逆矩阵 需要计算n2个n 1阶行列式 1 个n阶行列式 及n次除法 但当n增加时 计算量 至少随n2量级而增加 若利用初等变换法求逆矩 阵 则需要对n阶矩阵至少进行 n 1 2 次初等变 换 而每次初等变换可能还要进行n次乘法 加法等 当n较大时 计算量同样也很大 因此 利用人工计 算高阶逆矩阵是比较麻烦耗时且容易出错的 但采用计算机计算逆矩阵就非常方便而快速 只需在MAT LAB环境下输入具体要计算的行列式 再调用det函数即可 例如 设4阶行列式 A 23 891 e 23 10058 67120 8895 78 46 则利用det A 可快速计算出该行列式的值 对于 更高阶行列式 利用计算机进行计算会更方便有效 再如函数的定积分是高等数学中的一个重要内 容 是许多应用问题的基础 是学生们需要掌握的必 要基本知识 对于一元函数的定积分 常用的方法 是利用牛顿 莱布尼兹公式进行求解 有时需要结 合分布积分法和代入法等先求出原函数 再求出积 分值 但是 对于有些函数 如 f x 1 lnx或x sinx等 它们的原函数很难或根本就求不出来 因此 利用牛顿 莱布尼兹公式就难以求出积分值来 若 利用定积分的近似计算公式人工去计算其近似值 计算量又会很大 此时若利用计算机来求 将会很 方便 例如 求定积分 2 1 dx lnx 只需要调用quad或 quad8函数即可快速求出它的积分值 在工程数学中的数值计算问题是非常多的 如 果让工科的大学生将大量的时间消耗在纯数值计算 中是不明智的 下转第70页 76第25卷第2期 田传俊 MAT LAB语言在工程数学中的几种应用 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 压的通项公式 在这里仅给出推导结果 过程从略 设负载电阻的电压为u0 以公共端为参考节 点 节点k的节点电压为 uk u0 m1 m2 m1 R1 R0 R1 R2 1 mk1 m2 R1 R0 R1 R2 1 mk2 公式4 式中 m1 2 R 1 R2 2 R 1 R2 2 4 2 m2 2 R 1 R2 2 R 1 R2 2 4 2 当R0 R2时 uk的计算公式 4 为 uk u0 m1 m2 m1 1 mk 1 m2 1 mk 2 公式5 3 计算举例 下面给出一计算实例作为对上述公式的应用 对图2所示电路 1 计算等效电阻Rab 2 当 电源电压U 12V时 计算电流I 图2 计算实例 1 由图2可知 R1 10 R0 R2 20 k 5 将这些参数代入c1 c2的计算公式及公式3中可 得 c1 40 c2 10 Rab 101007 在该列中取 3 则k值满足式 5 条件 所以 也可按公式2计算而得Rab 10 可见相对误差 仅为0107 但按公式2计算要简便得多 2 假定所求电流为1A 用I 表示 即I 1A 此 时负载电压U0记为U 0 则U 0 20V U记为U 将 电路参数及k值代入m1 m2计算公式 并将U 0 20V代入公式5中计算得 m1 2 m2 015 U 4261875V 根据齐性原理 当U 12V时 I 12 4261875 1 2811mA 4 结束语 本文利用梯形电阻网络中的递推关系推导出梯 形电阻网络等效电阻和节点电压的计算公式 并且 得出无穷梯形电阻网络等效电阻为常数的结论及计 算公式 以及级数k值满足一定条件的等效电阻的 简便计算公式 这不仅给梯形电阻网络的计算提供 了一种简便计算方法 而且为同类问题的计算提供