经济数学基础 应用题OK.pdf

1 五 五 应用题应用题 本本题题 2020 分 分 1 设生产某种产品q个单位时的成本函数为 qqqC625 0 100 2 万元 求 1 当10 q时的总成本 平均成本和边际成本 2 当产量q为多少时 平均成本 最小 解 1 总成本qqqC625 0 100 2 平均成本625 0 100 q q qC 边际成本65 0 qqC 所以 1851061025 0 100 10 2 C 万元 5 1861025 0 10 100 10 C 万元 116105 0 10 C 万元 2 令 025 0 100 2 q qC 得20 q 20 q舍 去 因为20 q是其在定义域内唯一驻点 且该问题确实存在最小值 所以当20 q时 平均成本最小 2 某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 2 01 0 420 qqqC 元 单位销售价 格为qp01 0 14 元 件 问产量为多少时可使利润达到最大 最大利润是多少 解 成本为 2 01 0 420 qqqC 收益为 2 01 0 14 qqqpqR 利润为 2002 0 10 2 qqqCqRqL qqL04 0 10 令004 0 10 qqL得 250 q是惟一驻点 利润存在最 大 值 所 以 当 产 量 为250个 单 位 时 可 使 利 润 达 到 最 大 且 最 大 利 润 为 12302025002 0 25010 250 2 L 元 2 3 投产某产品的固定成本为 36 万元 且边际成本为402 qqC 万元 百台 试求产 量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量 及产量为多少时 可使平均成本达到最低 解 成本函数为 36 402 0 q dxxqC 当产量由 4 百台增至 6 百台时 总成本的增量为 D 6 4 6 4 2 6 4 40 402 xxdxxC100 万元 364036 402 2 0 qqdxxqC q q qqC 36 40 2 36 1 q qC 令0 36 1 2 q qC得 6 6 qq 负值舍去 6 q是惟 一驻点 平均成本有最小值 所以当6 x 百台 时可使平均成本达到最低 3 投产某产品的固定成本为 36 万元 且边际成本为602 qqC 万元 百台 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量 及产量为多少时 可使平均成本达到最低 解 成本函数为 36 602 0 q dxxqC 当产量由 4 百台增至 6 百台时 总成本的增量为 D 6 4 6 4 2 6 4 60 602 xxdxxC140 万元 366036 602 2 0 qqdxxqC q q qqC 36 60 2 36 1 q qC 令0 36 1 2 q qC得 6 6 qq 负值舍去 6 q是惟 一驻点 平均成本有最小值 所以当6 x 百台 时可使平均成本达到最低 3 4 已知某产品的边际成本 q C 2 元 件 固定成本为 0 边际收益qqR02 0 12 求 产量为多少时利润最大 在最大利润产量的基础上再生产 50 件 利润将会发生什么变化 解 边际利润为 qqCqRqL02 0 10 令0 q L得 500 q 500 q是惟一驻点 最大利润存在 所以 当产量为 500 件时 利润最大 D 550 500 2550 500 550 500 01 0 10 02 0 10 xxdxxL 25 元 即利润将减少 25 元 5 已知某产品的边际成本为34 qqC 万元 百台 q为产量 百台 固定成本为 18 万 元 求最低平均成本 解 因为总成本函数为 qqqCd 34 cqq 32 2 当q 0 时 C 0 18 得 c 18 即 C q 1832 2 qq 又平均成本函数为 q q q qC qA 18 32 令 0 18 2 2 q qA 解得q 3 百台 该问题确实存在使平均成本最低的产量 所以当 x 3 时 平均成本最低 最底平均成本为 9 3 18 332 3 A 万元 百台 6 已 知 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为qqC 4 万 元 百 台 收 入 函 数 为 2 2 1 10 qqqR 万元 求使利润达到最大时的产量 如果在最大利润的产量的基础上 再增加生产200台 利润将会发生怎样的变化 解 边际利润为 qqqqCqRqL26410 令0 q L得 3 q3 q是惟一驻点 而最大利润存在 所以当产量为 3 百台时 利润最大 当产量由 3 百台增加到 5 百台时 利润改变量为 5 3 25 3 5 3 6 26 xxdxxL D 35 35 6 22 41612 万元 即利润将减少 4 万元 4 7 设生产某产品的总成本函数为 xxC 5 万元 其中x为产量 单位 百吨 销售x 百吨时的边际收入为xxR211 万元 百吨 求 利润最大时的产量 在利润最 大时的产量的基础上再生产1百吨 利润会发生什么变化 解 因为边际成本为 1 x C 边际利润 xxCxRxL210 令0 x L 得5 x可以验证5 x为利润函数 xL的最大值点 因此 当产量为5百 吨时利润最大 当产量由5百吨增加至6百吨时 利润改变量为 6 5 2 6 5 10 d 210 xxxxL D 1 万元 即利润将减少 1 万元 8 设生产某种产品x个单位时的成本函数为 xxxC6100 2 万元 求 当10 x时的总成本和平均成本 当产量x为多少时 平均成本最小 解 因为总成本 平均成本和边际成本分别为 xxxC6100 2 6 100 x x xC 所以 260106101100 10 2 C 266101 10 100 10 C 1 100 2 x xC 令 0 xC 得10 x 10 x舍去 可以验证10 x是 xC的最小值点 所 以当10 x时 平均成本最小 5 线性代数计算题 1 设矩阵 121 511 311 A 求 1 AI 解 因为 021 501 310 121 511 311 100 010 001 AI 110 001 010 520 310 501 100 010 001 021 501 310 IAI 112 335 5610 100 010 001 112 001 010 100 310 501 所以 112 335 5610 1 AI 6 2 设矩阵 A 843 722 310 I 是 3 阶单位矩阵 求 1 AI 解 因为 943 732 311 AI I A I 103 012 001 010 110 311 100 010 001 943 732 311 111 103 231 100 010 001 111 012 013 100 110 201 所以 1 AI 111 103 231 3 设矩阵 A 021 201 B 14 21 36 计算 AB 1 021 201 解 因为 AB 14 21 36 14 12 AB I 1210 0112 1014 0112 1210 2 1 2 1 01 1210 1102 所以 AB 1 12 2 1 2 1 7 4 设矩阵 012 411 210 A 1 0 1 B 求BA 1 解 求逆矩阵的过程见复习指导 P77 的 4 此处从略 2 1 1 2 3 124 112 1 A 所以 1 3 1 1 0 1 2 1 1 2 3 124 112 1B A 5 设矩阵 32 21 53 21 BA 求解矩阵方程BXA 解 13 25 10 01 13 25 10 01 13 01 10 21 10 01 53 21 13 25 1 A 11 01 13 25 32 21 1 BAX 6 设矩阵 1 1 2 322 121 011 BA 求BA 1 解 利用初等行变换得 102340 011110 001011 100322 010121 001011 146100 135010 001011 146100 011110 001011 146100 135010 134001 即 146 135 134 1 A 由矩阵乘法得 7 6 4 1 1 2 146 135 134 1B A 8 1 求线性方程组 126142 362 3352 321 321 321 xxx xxx xxx 的一般解 解 因为增广矩阵 1818180 9990 3621 126142 3621 3352 A 0000 1110 1401 所以一般解为 1 14 32 31 xx xx 其中 3 x是自由未知量 2 求线性方程组 0352 023 02 4321 4321 431 xxxx xxxx xxx 的一般解 解 因为系数矩阵 1110 1110 1201 3512 2311 1201 A 0000 1110 1201 所以一般解为 432 431 2 xxx xxx 其中 3 x 4 x是自由未知量 3 当l取何值时 齐次线性方程组 083 0352 03 321 321 321 xxx xxx xxx l 有非 0 解 并求一般解 解 因为系数矩阵 310 110 131 83 352 131 ll A 400 110 401 l 所以当l 4 时 该线性方程组有无穷多解 且一般解为 32 31 4 xx xx 其中 3 x是自由未知量 9 4 问当l取何值时 线性方程组 1479 6372 22 4321 4321 4321 lxxxx xxxx xxxx 有解 在有解的情况下求方程组的一般解 解 方程组的增广矩阵 19102220 1051110 21211 11479 63712 21211 ll A 10000 1051110 21211 10000 1051110 21211 ll 10000 1051110 84901 l 所以当1 l时 方程组有解 一般解为 432 431 51110 498 xxx xxx 其中 43 x x是自由未知量 5 51147 242 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解 37350 37350 24121 511471 24121 11112 A 00000 5 3 5 7 5 3 10 5 4 5 6 5 1 01 00000 37350 24121 所以 方程组的一般解为 5 3 5 7 5 3 5 4 5 6 5 1 432 431 xxx xxx 其中 43 x x是自由未知量 10 6 求线性方程组 262 1242 0483 123 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 13211 38410 21421 12612 13211 01223 05803 05803 13211 01223 0021012 00000 1001516 01089 00156 00000 此时齐次方程组化为 65 98 1615 43 42 41 xx xx xx 得方程组的一般解为 43 42 41 56 89 1516 xx xx xx 其中 4 x是自由未知量 7 当l为何值时 线性方程组 l 4321 4321 4321 4321 10957 33223 132 245 xxxx xxxx xxxx xxxx 有解 并求一般解 解 14182620 391310 391310 24511 10957 33223 11312 24511 ll A 00000 80000 391310 15801 00000 80000 391310 24511 ll 所 以 当8 l时 有解 一般为 11 3913 158 432 431 xxx xxx 其中 43 x x是自由未知量 12 v 微分计算题微分计算题 试卷试卷 1 设xy x5sin cose 求yd 解 因为 coscos5 sine 4sin xxxy x xxx x sincos5cose 4sin 所以 xxxxy x d sincos5cose d 4sin 2 计算积分 e 1 dlnxxx 解 e 1 2 e 1 2 e 1 d ln 2 1 ln 2 dlnxxx x xxx 4 1 4 e d 2 1 2 e 2 e 1 2 xx 3 设xxy x cos e 求yd 解 2 1 2cos 2 3 cos 2 3 sin e cosexxxxy xx xxxy x d esin 2 3 d 2cos 2 1 4 计算积分 x x x d 1 sin 2 解 c xxx x x x 1 cos 1 d 1 sind 1 sin 2 5 设xy x tanesin 求yd 解 由导数运算法则和复合函数求导法则得 tane dd sin xy x tand e d sin x x x x x x d cos 1 sinde 2 sin x x xx x d cos 1 dcose 2 sin x x x x d cos 1 cose 2 sin 13 6 计算 x x xd e 10 分 解 由不定积分的凑微分法得 de2 de x x x x x c x e2 7 已知 2 sin2x x 求 y 解 由导数运算法则和复合函数求导法则得 sin2sin 2 sin2 222 xxxy xxx cos2sin2ln2 222 xxx xx 22 cos22sin2ln2xxx xx 8 计算xxxdcos2 2 0 解 由定积分的分部积分法得 xxxxxxxd2sinsin2dcos2 2 0 2 0 2 0 14 作业 1 x xxye 求 y 解 xxxx x x xx x xxye 1 2 1 e e 2 1 e 2 bxy ax sine 求yd 解 cose esin sine e sin bxbxaxbxbxbxy axaxaxax bxbbxa axax cosesine dxbxbbxdxadxydy ax cossin e 3 xxy x 1 e 求yd 解 x x xdxydy x d e 1 2 3 1 2 xxx x xx x xy 1 2 2 11 2 31 e 1 2 3 2 3 1 e e 4 2 ecos x xy 求yd 解 x x xxxxxy xxx 2 sin e2 e sin e cos 222 2 x x x xdxydy x d 2 sin e2 2 5 1ln 2 xxy 求 y 解 2 2 2 2 2 2 1 12 2 1 1 1 1 1 1 xx x x xx x xx xx y 222 2 1 1 1 1 1 xxxx xx 6 xxxd2 2 解 Cxxdxxdx 2 3 22 2 1 222 2 3 1 2 2 2 1 2 2 1 原式 15 7 x x x d sin 解 Cxxdx cos2 sin2原式 8 x x xd 2 sin 解 dx xx x x xd x d x x 2 cos2 2 cos2 2 cos2 2 2 sin2原式 C xx x x d xx x 2 sin4 2 cos2 2 2 cos4 2 cos2 9 xx1 dln 解 方法 1 1ln 1 1ln 1 1 1ln xdxxxxdx原式 Cxxxdxxx 1ln 1 1ln 1 10 x x x d e 2 1 2 1 解 ee 1 2 1 2 1 11 xx e x de原式 11 x xx d ln1 1 3 e 1 解 2 1ln1ln1 2 ln12 1 ln ln1 1 3 1 e 1 3 3 exxd x e 原式 12 xxxd2cos 2 0 p 解 2 0 2 0 2 0 2 0 2sin 2 1 2sin 2 1 2 sin 2 1 2 2cos 2 1 pppp xdxxxxxdxxdx原式 2 1 2cos 4 1 2 0 p x 13 xxxdln e 1 解 1e 4 1 4 1 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2 e e e e xexdxxxxxd原式 16 14 xx x d e1 4 0 解 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 4dxexexdxedxxedx xxxx 原式 e1 5144 44 4444 0 4 eeee x 复习指导复习指导 1 设 x xxxy2cossin3 求 y 解 2 cos sin 3 2 3 x xxy 2 2sin sinsin3 2 3 2 2 1 xx xxx xx xxx2sin2ln2cossin3 2 3 2 2 1 2 设xy x sin2 求 y 解 sin2sin 2 xxy xx cos2sin2ln2 xxx xx x xx xx 2 1 cos2sin2ln2 3 设 x xexy 2 cos 求 y 解 cos 2 x xexy sin 22xx xeexx sin2 2xx xeexx 4 设 2 sinlnxy 求 y 解 sin sin 1 sin ln 2 2 2 x x xy 222 2 cot2 cos sin 1 xxxx x 17 5 设 2 23 sin x exy 求dy 解 sin 2 23 x exy 2 222 2 sinsin3 x ex