高职高等数学 第九章 多元函数微分法及其应用第五节 偏导数的应用.pdf

沈阳工程学院 第五节 偏导数的应用第五节 偏导数的应用 Application of Partial Derivative 教学目的教学目的 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程 会利用偏导数求曲面 在某点的切平面方程和法线方程 理解二元函数极值的概念 熟练掌握二元函数极 值与最大值 最小值的求法 会利用拉格朗日乘数法求条件极值 课题课题 偏导数的几何应用 多元函数极值 条件极值 教学重点教学重点 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点教学难点 二元函数的极值 教学方法教学方法 精讲 多元函数极值及拉格朗日乘数法 多练 二元函数求极值 教学内容教学内容 一 偏导数的几何应用一 偏导数的几何应用 1 空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L的参数方程为 xx t yy t zz t 假定 x ty t z t均可导 000 x ty tz t不同时为零 曲线上对应于 0 tt 及 0 ttt 的点分别为 0000 Mxy z和 000 M xx yy zz 割线 0 M M的方程为 000 xxyyzz xyz 当M沿着曲线L趋于 0 M时 割线的极限位置 0 M T是L在 0 M处的切线 上式分母同除 以t 得 000 xxyyzz xyz ttt 当0t 即 0 MM 时 对上式取极限 即得曲线在 0 M点的切线方程 000 000 xxyyzz x ty tz t 向量 000 x ty tz t T是切线 0 M T的方向向量 称为切线向量 切线向量的方向 余弦即为切线的方向余弦 通过点 0 M与切线垂直的平面称为曲线在 0 M点的法平面 它是通过点 0000 Mxy z 以切线向量T为法向量的平面 因此 法平面方程为 000000 0 x txxy tyyz tzz 例例 1 求螺旋线cos sin xt yt zt 在点 1 0 0 的切线及法平面方程 解解点 1 0 0 对应的参数0t 因为 sin cos 1x tt y tt z t 所以切线向 量 0 0 0 0 1 1 xyz T 因此 曲线在点 1 0 0 处的切线方程为 100 011 xyz 在点 1 0 0 处的法平面方程为 沈阳工程学院 0 1 1 0 1 0 0 xyz 即0yz 例例 2 求曲线sin 2 x yx z 上点0 2 处的切线和法平面方程 解解把x看作参数 此时曲线方程为 sin 2 xx yx x z 1 1 cos1 2 xxxx xyxz 在点 0 2 处的切线方程为 0 2 1 11 2 z xy 法平面方程为 1 0 0 22 xyz 即4425xyz 2 曲面的切平面与法线 设曲面S的方程为 0000 0 F x y zMxy z 是曲面上的一点 假定函数 F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零 设L是曲面S上过点 0 M的任意一条曲线 L的方程为 xx tyy t zz t 与点 0 M相对应的参数为 0 t 则曲线L在 0 M处的切线向量为 000 x ty tz t T 因L在S上 故有 0F x ty t z t 此恒等式左端为复合函数 在 0 tt 时的全导数为 0 000000000000 0 t txyz dF F xy zx tFxy zy tF xy zz t dt 记 000000000 xyz F xy zF xy zF xy z n 则0 T n 即n与T互相垂直 由于曲 线L是曲面上过 0 M的任意一条曲线 所以在曲面S上所有过 0 M点的曲线的切线都与同一 向量n垂直 故这些切线位于同一个平面上 这个平面称为曲面在 0 M处的切平面 向量n是切 平面的法向量 称为曲面在 0 M处的法向量 切平面方程为 000000000000 0 xyz F xy zxxFxy zyyF xy zzz 过点 0 M与切平面垂直的直线 称为曲面S在点 0 M处的法线 其方程为 000 000000000 xyz xxyyzz F xy zF xy zF xy z 若曲面方程由 zf x y 给出 则可令 0F x y zf x y zz 沈阳工程学院 于是 1 xxyyz FfFfF 这时曲面在 0000 Mxy z处的切平面方程为 0000000 0 xy fxyxxfxyyyzz 法线方程为 000 0000 1 xy xxyyzz fxyfxy 例例 3 求椭球面 222 326xyz 在点 1 1 1 处的切平面和法线方程 解解设 222 326F x y zxyz 2 6 4 1 1 1 2 1 1 1 6 1 1 1 4 xyz xyz F x y zx F x y zy F x y zz FFF 故在点 1 1 1 处椭球面的切平面方程为 2 1 6 1 4 1 0 xyz 即3260 xyz 法线方程为 111 132 xyz 例例 4 求旋转抛物面 22 zxy 在点 1 1 2 处的切平面方程和法线方程 解解由 22 zxy 得 1 1 1 1 1 1 22 1 1 22 xy fxfy 切平面方程为 22 1 2 1 zxy 即222xyz 法线方程为 112 221 xyz 二 多元函数极值二 多元函数极值 1 二元函数的极值 例例 5 曲面 22 zxy 在点 0 0 有极小值0z 例例 6 曲面 22 44zxy 在点 0 0 有极大值4z 与一元函数极值类似 多元函数的极值也是相对某个邻域而言的 是一个局部概念 定义定义 1设函数 zf x y 在点 00 xy的某个邻域内有定义 若对改邻域内任一点 x y都有 00 f x yf xy 或 00 f x yf xy 则称函数 zf x y 在点 00 xy有极大值 或极小值 00 f xy 而称点 00 xy为函数 zf x y 的极大 或极小 值点 极大值点与极小值点统称极值点 2 极值的检验法 1 一阶偏检验 定理定理 1 必要条件 设函数 zf x y 在点 00 xy处有极大值 且在该点的偏导数存 在 则必有 0000 0 0 xy fxyfxy 沈阳工程学院 证明证明不妨设 zf x y 在点 00 xy处有极大值 根据极值定义 对 00 xy的某一 邻域内的任一点 x y 有 00 f x yf xy 在点 00 xy的邻域内 也有 000 f x yf xy 这表明一元函数 0 f x y在 0 xx 处取得 极大值 因此 有 00 0 x fxy 同理可证 00 0 y fxy 与一元函数类似 使一阶偏导数 0000 0 0 xy fxyfxy 的点 x y称为函数 zf x y 的驻点 由定理 1 及例 5 例 6 可以看出 二元函数的极值点必然是驻点或一阶 偏导数不存在的点 2 二阶偏检验 定理定理 2 充分条件 设函数 zf x y 在定义域内的一点 00 xy处有二阶连续偏导数 且 0000 0 0 xy fxyfxy 记 000000 xxxyyy fxyA fxyB fxyC 则 1 当 2 0BAC 且0A 时 函数 f x y在点 00 xy处有极小值 00 f xy 当 2 0BAC 且0A 时 函数 f x y在点 00 xy处有极大值 00 f xy 2 当 2 0BAC 时 函数 f x y在点 00 xy处无极值 3 当 2 0BAC 时 函数 f x y在点 00 xy处可能有极值 也可能无极值 综上可得 具有连续二阶偏导数的函数 zf x y 其极值求法如下 1 先求出偏导数 xyxxyy ffff 2 解方程组 0 0 x y fx y fx y 求出定义域内全部驻点 3 求出驻点处的二阶偏导数值 xxxyyy AfBfCf 确定 2 BAC 的符号 并判断 f x是否有极值 如果有 求出其极值 例例 7 求函数 33 3f x yxyxy 的极值 解解先求偏导数 2 2 33 33 6 3 6 xy xxxyyy fx yxy fx yyx fx ffy 解方程组 2 2 330 330 xy yx 求得驻点为 0 0 1 1 在驻点 0 0 处 0 0 0 0 0 3 0 0 0 xxyyyy AfBfCf 2 BAC 90 于是 0 0 不是函数的极值点 在驻点 1 1 处 2 1 1 6 1 1 3 1 1 6 27 xxxyyy AfBfCfBAC 0 且60A 所以点 1 1 是函数的极小值点 1 1 1f 为函数的极小值 3 最大值与最小值 如果函数 zf x y 在有界闭区域D上连续 则函数在D上一定取得最大值和最小值 如果函数的最大值或最小值在区域D的内部取得 则最大值点或最小值点必为驻点 因此 求 处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值 其中最大值便是函数在闭区域D上的最大 值 最小值便是函数在闭区域D上的最小值 具体问题中 常常通过分析可知函数的最大值或 最小值存在 且在定义域内部取得 又知在定义域内只有唯一驻点 于是可以肯定驻点处的函 数值便是函数的最大值或最小值 沈阳工程学院 例例 8 求函数 22 4f x yxy 在 22 1D xy 上的最大值 解解在D内 22 1xy 由 2222 0 0 44 xy xy ff xyxy 解得驻点为 0 0 0 0 2f 在D的边界上 22 1xy 22 22 1 432 xy f x yxy 故函数在 0 0 处有最大值 0 0 2f 例例 9 要做一容积为a的无盖长方体铁皮容器 问如何设计最省材料 解解所谓最省材料 即无盖长方体表面积最小 该容器的长 宽 高分别为 x y z 表面积为S 则有 xyza 22Sxyxzyz 消去z 得表面积函数 22aa Sxy yx 其定义域为0 0 xy 由 2 2 2 0 2 0 x y a Sy x a Sx y 求得驻点为 33 2 2 aa 由于D为开区域 且该问题必有最小值存在 于是 33 2 2 aa必为S的最小值点 此时 3 4 a za xy 即长方体长 宽 高分别为 33 2 2aa 3 4a时 容器所需铁皮最少 其表 面积为 32333 2 2 4 3 4Saaaa 例例 10 某公司每周生产x单位A产品和y单位B产品 其成本为 22 221000C x yxxyy 产品 A B的单位售价分别为200元和300元 假设两种产品均很畅销 试求使公司获得最大利 润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润 解解依题意 公司的收益函数为 200300R x yxy 因此 公司的利润函数为 22 200300221000 P x yR x yC x y xyxxyy 令 200220 300240 x y P x yxy P x yxy 得驻点 50 50 利用二阶偏检法 求二阶偏导数 2 2 4 xxxyyy Px yPx yPx y 显然二阶 偏导数在驻点 50 50 的值为 2 2 2 4 40 20ABCBACA 由此 可见 当产品 A B的周产量均为 50 个单位时 公司可获得最大利润 其最大利润为 50 50 11500P 元 沈阳工程学院 三 条件极值三 条件极值 如果函数的自变量除了限制在定义域内以外 再没有其他限制 这种极值问题称为无条 件极值 但在实际问题中 自变量经常会受到某些条件的约束 这种对自变量有约束条件的 极值问题称为条件极值 条件极值问题的解法有两种 一是将条件极值转化为无条件极值 如例 9 就是求 22Sxyxzyz 在自变量满足约束条件xyza 时的条件极值 当我们从约束条件中解出 a z xy 代入S中 得 22aa Sxy yx 就成了无条件极值 于是可以求解 但实际问题中的许 多条件极值转化为无条件极值时 时很复杂甚至是不可能的 下面介绍条件极值的另外一种更 一般的方法 拉格朗日乘数法 设 x y是函数 zf x y 在约束条件 0 x y 下的条件极值问题的极值点 如果 函数 f x y x y 在点 x y的邻域内有连续偏导数 不妨设 0 y x y 则一元函数 zf x y xz x 在点x的导数0 dz dx 由复合函数微分法 有 0 xy dy fx yfx y dx 由于 yy x 是由 0 x y 所确定的 所以 x y x ydy dxx y 代入上式 消去 dy dx 得 0 x xy y x y fx yfx y x y 即 0 y xx y fx y fx yx y x y 令 y y fx y x y 则有 0 0 0 xx yy fx yx y fx yx y x y 称满足方程组 的点 x y为可能的极值点 我们构造一个函数 L x yf x yx y 则 等价于 0 0 0 xxx yyy L x yfx yx y Lx yfx yx y Lx yx y 于是 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤 1 构造拉格朗日函数 L x yf x yx y 称为拉格朗日乘数 2 解方程组 沈阳工程学院 0 0 0 xxx yyy L x