上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期9月月考试题（含解析）.doc

上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.若，且，则_.【答案】23【解析】【分析】根据向量坐标运算,可得,再由向量垂直的坐标关系即可求得的值.【详解】根据向量坐标运算,可得由向量,可得.解得【点睛】本题考查了向量加法运算,根据向量垂直的坐标关系求参数,属于基础题.2.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】分别解分式不等式和二次不等式,得集合a与集合b,即可求得.【详解】因为集合,解得集合,解得则.【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题.3.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间.【详解】由对数函数真数大于0,可得,解得函数是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可二次函数单调递减区间是结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.4.已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据反函数定义,先求得的反函数,再代入求解即可.【详解】因为即令,则化简可得,（），即所以【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.5.若实数满足，其中是边延长线（不含）上一点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得的取值范围.【详解】由题意可知,示意图如下图所示:根据向量线性运算可得即所以因为是边延长线（不含）上一点所以与反向即.所以【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.6.若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_.【答案】【解析】分析】问题转化为m对任意xr恒成立，只需由三角函数求出求y的最大值即可【详解】不等式，即.由于的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题7.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_【答案】9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案详解】由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9故答案为9点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q8.已知梯形，设，向量的起点和终点分别是、中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为_.【答案】8【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知, 与不平行.从、中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得的个数.【详解】由题意可知, 与不平行则从、中任意选取两个点作为向量,共有个向量在这些向量中,与共线的向量有,所以的个数为 个【点睛】本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题.9.已知数列()，若，则 【答案】【解析】【分析】由已知推导出=(，=1+（），从而-=-，由此能求出【详解】数列满足：， （）+（）+（）=+=(，=(；又+（）=1+=1+=1+（），即=1+（）-=-，故答案为：-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题10.已知函数，若函数无最大值，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图像,根据函数图像讨论的不同取值,分析是否存在最大值即可.【详解】根据,画出函数图像如下图所示:由图像可知,当，取得二次函数顶点,此时存在最大值为1，当时，最大值在一次函数左端点,但左端点没有取得等号，所以时没有最大值综上, 实数的取值范围为.【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.11.设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则_【答案】或【解析】【分析】由关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为可得，最大和最小的解分别为和，根据它们的和为，可求出中间的解，列出等式，根据的范围即可求出结果.【详解】因为关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为，再由三角函数的对称性可知：方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和；又它们的和为，所以中间的解为，所以有，即，故，又，所以或.故答案为或【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.12.设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），且，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据共线向量基本定理,设,结合条件可求得的等量关系，根据m的位置可求得的范围，同时根据基本不等式，求得的取值范围， 即可得的取值范围。【详解】设与相交于,且由，三点共线可得即,所以又因为所以 即当时，,此时当与(或)点重合时,此时,此时所以由基本不等式,可得当或时, 当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则即【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。二、选择题13.已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【详解】函数的图象是由函数的图象经过经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，得的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到函数，令，可得的图象的对称轴方程为，则函数的图象的一条对称轴方程为，故选a.考点：三角函数图象变换.14.在等差数列中，设，则是的（ ）a. 充分非必要条件b. 必要非充分条件c. 充要条件d. 既非充分非必要条件【答案】d【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项。【详解】若等差数列为 则当时，成立，但不成立，所以非充分条件当时，成立，但不成立，所以非必要条件综上可知，是的既非充分非必要条件所以选d.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题。15.如图，在中，为边上的高，则的值为（ ）a. b. c. -2d. 【答案】a【解析】【分析】根据向量垂直及向量数量关系，可得，利用余弦定理及面积公式，可求得的值，进而求得的值。【详解】因为为边上的高所以因为所以则由向量的加法运算可得在中，由余弦定理可得 所以由三角形面积公式可得可知，且解得所以所以选a【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及应用，余弦定理在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题。16.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，当变化时，对角线的最大值为（ ）a. 3b. 4c. d. 【答案】c【解析】【分析】设，利用余弦定理与正弦定理，表示出与，在中，由余弦定理求得的表达式，根据三角函数值的有界性即可求得最大值。【详解】设，在中，由余弦定理可得所以，即在中，由正弦定理可得 ，则，在中，由余弦定理可得而由条件可知，所以即结合，代入化简可得所以当时，取得最大值为此时取得最大值为所以选c【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，涉及的计算、化简较为复杂，要求熟练掌握三角函数式的变形，属于中档题。三、解答题17.在一个平面内，一质点受三个力、的作用保持平衡（即、的和为零向量），其中与的夹角为，与的夹角为.（1）若，求力、的大小；（2）若，求与.（用反三角函数表示）【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据及力的夹角，即可求得、的大小。（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出与的值。【详解】（1）因为质点在、的作用保持平衡所以，所以， 所以由平面向量数量积可得将代入可得反向延长，可得如下图所示：则 所以（2）因为，且处于平衡状态所以、为边长的三角形为直角三角形其关系可用下图表示：则，所以所以所以【点睛】本题考查了平面向量与物理中力的关系，向量模的运算及三角函数定义，注意反三角函数的应用，属于中档题。18.已知函数在区间上的最大值为10求a的值及的解析式；设，若不等式在上有解，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先对函数求导，判断出函数的最大值，进而可求出a的值及的解析式；根据(1)的结果得到，再由不等式在上有解，得到在上有解，令，即可得到在上有解，结合配方法可求出结果.【详解】，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，解得：，故；由，若不等式在上有解，则在上有解，即在上有解，令，则在上有解，当时，于是，故实数t的范围是【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等，属于常考题型.19.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，若，且，求外接圆半径的长.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式，化简后结合正弦函数单调递减区间，即可求得函数的单调递减区间。（2）根据中，且，可得的值，根据三角形内角和可求得，由正弦定理即可求得三角形外接圆半径。【详解】（1）根据二倍角公式及辅助角公式，化简由正弦函数单调递减区间可得：解得所以函数单调递减区间为（2）在中，因为则因为所以，即所以 因为由正弦定理可得 所以【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值，正弦函数的图像与性质，正弦定理求外接圆半径，属于基础题。20.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”）（3）设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，是偶函数；当时，是奇函数；当 时，既不是奇函数也不是偶函数；理由见解析；（2）是轴对称图形，；（3）【解析】【分析】（1）函数，表示出，根据奇函数与偶函数的定义，即可求得的值。（2）根据函数关于直线成轴对称图形，可得恒成立，代入函数解析式即可求得的值，即可得对称轴方程。（3）根据函数与的图像有且只有一个公共点，即只有一个实数根。将方程化简，根据换元法转化为一元二次方程问题，再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题，即可求得实数的取值范围。【详解】（1）函数所以若函数为偶函数，则，即 化简可得 ，对任意实数成立，所以 若函数为奇函数，则，即 化简可得 ，对任意实数成立，所以 综上所述，当时为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数（2）函数的图像关于直线成轴对称图形则为函数向左平移个单位得到的图像，因而关于y轴对称，即为偶函数所以恒成立函数所以 化简可得因为对于任意实数成立所以，解得 所以函数是轴对称图形，对称轴为直线（3）因为则函数，且函数与的图像有且只有一个公共点，所以化简可得因为只有一个公共点，所以方程只有一个实数根令则方程化为由且只有一个正根当时，不合题意，舍去当时，若，则 解得 当时，代入方程可得，解得，符合题意当时，代入方程可得，解得，不合题意若，则 解得 由题意可知，方程有一个正根与一个负根，即解得 综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义及简单应用，指数函数的性质及应用，一元二次方程根的分布问题，综合性强，属于中档题。21.已知以为首项的数列满足：.（1）当时，且，写出、；（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，给定常数，求的最小值；对于数列，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由.【答案】（1） ，；（2） ；（3）为奇数时最小值为，当为偶数时最小值为 ； 不唯一，理由见解析。【解析】【分析】（1）根据首项，及递推公式，依次代入和即可求得、的值