高校应用数学学报!辑多重=型删失数据的近似似然函数及.pdf

高校应用数学学报 辑 7 基于该近似似然函数 求得了参数的近似极大 似然估计与近似 0 7 8估计 并讨论了近似极大似然估计的性质 关键词 多重 型删失数据A近似似然函数A极大似然估计A 0 7 8估计 中图分类号 B 文献标识码 文章编号 C C C 42 78 2 5 649 26 6 485 则数据 8 8 1 的似然函数为 9 AB 0 1C 0 D E F 6 48 5 G 48 A 2 7G 1 1 HI D J 6 43 K A 2 7878 1 LM 0 K A 2 75 1 LMHI 0 8 1 这里A34 N A9 784N K O1表示标准正态分布的分布函数P做变换Q 2 7G 14 A 2 7G 1 1 R 0 令 S T U 14 V W X K U 1 K T 1 Y P 1 并记Z 2 784 2 7G 1 R 9 78 1 2 7848 Z2 78 2 7G4K 8 Z 2 7G1 34 N 9 784N 则似然函 数可变为如下形式 9 AB 0 1C 0 D E F 6 48 5 G 48Q 2 7G 17 6 43 S Q 2 75 1 Q 2 7878 1 HI 1P P 1 把二元函数S T U 1在点 2 75 2 78781 处 V 展开得 S T U 14 a b T7 c U d T e U f T U7 g T h Uh1 P P 1 其中 a 4V W Z2 7878 Z 2 75 17 X 2 75 i 2 75 1 2 7878i 2 78781 Y R Z 2 7878 Z 2 75 1 d 2 75 e 2 78787 f 2 75 2 7878 b 4i 2 75 1R Z2 7878 Z 2 75 1 d 2 75 7 f 2 7878 c 4i 2 78781 R Z 2 7878 Z 2 75 17 e 2 7878 f 2 75 d 4 8 i 2 75 1 X i 2 75 1 2 75 Z 2 7878 Z 2 75 1 Y R Z 2 7878 Z 2 75 1 e 4 8 i 2 78781 X i 2 787817 2 7878 Z 2 7878 Z 2 75 1 Y R Z 2 7878 Z 2 75 1 f 4i 2 75 1 i 2 78781 R Z 2 7878 Z 2 75 1 P 余项g T h Uh1 由下式给出 g T h Uh148 j T 2 75 1 k k T 7 T 2 75 1 U 2 78781 k k T k U H 7 T 2 75 1 U 2 78781 k k T k U 7 U 2 78781 k k UI S T U 1 BT 4T h U 4UhP P l 1 这里T h在 2 75 与T之间 U h在点 2 7878与U之间 把上面的 1式代入 1 并忽略余项 利用A 2 7G 14 70 Q 2 7G 1 整理可得 m3 高 校 应 用 数 学 学 报 n辑 第8 o卷第 期 万方数据 这就是多重 型删失数据 A 的近似似然函数 这里 5B 8 4C D E BF5 E GE8 HE IE 9B 5C D E BF5 E JE8 KE 7 B 5 C D E B C L E M B N E 8M 8 4C D E BF5 EGE N E 8L E 8 HE N E 8 8 IE 4 N E 8L E 8 N E 8 8 6 2 BC D E BF5 E JE N E 8L E 8 KE N E 8 8 597 3 BC D E B C L E M B 4 N E 8M 8 4C D E BF5 E GE 4 N E 8L E 8 HE 4 N E 8 8 I E N E 8L E N E 8 8 57 4B C D E B C L E M B 6 N E 8M 7 48 4 C D E BF5 E GE6 N E 8L E 7 48 HE6 N E 8 8 7 4 I E6 N E 8L E 7 6 N E 8 8 7 由于O N E 8M 是来自标准正态分布P F 容量为 的样本的Q N E 8M分位数 RN E 8M是P F 的QN E 8M分位数 样本分位数是总体分位数的强一致估计 由此可证明大样本场合下近似 似然函数的精确性S 引理T 6 U 设V W 是某一随机变量的分布函数 F XQ X W Q是不等式组V W YQ Y V W 8 的惟一解 则对任意Z F Q WQ Z Y4 4 G 4 Z 其中G ZB a V WQ8Z Q Q V WQ Z Q为容量为 的样本的Q分位数S 引理b设F XQ X c Q是来自c F 分布容量为 样本的Q分位数 F XQ X Q B Q 8d e 4 则对任意f F有 4 f c Q Q g Qh F hi 这里 g Qh 表示以概率 收敛S 证首先假设F Xf Y e 4 则对任意j F 存在PF 当 PF时Q 8j k 48fX Q j k 48f F 记 Z Bj k 48f 由引理 l 4 f c Q Q j B c Q Q Z Y4 4 G 4 ZS 因为总体分布为 c F 分布 因此易知G ZBZ Bj k 48f故 4 f c Q Q j Y 4 4 4 f j 4 因此 C 4 f c Q Q j YC YPF 4 f c Q Q j 8C PF 4 4 4 f j 4 X8 i 由j的任意性及m n o p q r a s o o 引理便有 4 f c Q Q g Qh F hi S 当 f e 4时 对任意j F 4 f c Q Q j X ct Q Q j 这样就可以利 用已证得得结论知道当f 4 时仍有 4 f c Q Q g Qh F hi S 所以对任意f F 有 4 f c Q Q Y 4 f c Q Q 8 4 f Q Q g Qh F hi S 引理u设V W 是某一随机变量的分布函数 v W 是相应的密度函数 F XQ X F XQ wF4 王乃生l多重 型删失数据的近似似然函数及应用 万方数据 其中5 在5 与 之间 由于 78 68 6 9 故0 5 78 68 0 6 9 再利用引理 便知引理 型删失数据 设对每个 78 68 1 6 9 8 证由于E F G E F G C D K C 注意到 K C 在 KC 与 L C 之 间 K C D 在K C D 与L C D 之间 因此我们只需证明对每个 有I J K C D K C 6 78 8 1 6 9 由 M J K C D K C C D Q C 由定理条件 C D C D 在K C D 与L C D 之间 利用样本分位数的收敛性X Y Z易知 K C D 6 78 8 W 6 9 K C 6 78 8 W 6 9 8 又由于函数 P P P T O Q C D K C 6 78 8 P P P T W W 8 由引理 知 L C D KC D 6 78 8 1 L C K C 6 78 8 1 6 9 8 又I 6 6 6 9 因此 I O KC D Q KC 和 求导数得 V V W X 8 C Y U Z B E E ZC Y U Z B E 4 4 令 V V W X 8 6 Y U Z 2 3 3 4 3 5 6 7 8 9 4 3 3 5 6 7 8 9 4 2 CD E2 B 2 故 2 FG 一般说来4 和 不是 4 P X E2 Y 9 H Z H C E Z 2C H V E H C 2C E 9 H 2 OQ 2 E2 H T E 9 H 2 E H C 22 D E2 Y 9 H Z H C E Z 2C H V E H C 2C E 9 H 22 X E2 所以此时有4 X E2 且容易得到以下性质 性质 在对称L型删失样本情况下 4 是 4的无偏估计 性质 在对称L型删失样本情况下 4 与 是近似无关的 参数的 a b c d估计 在对删失数据进行研究时 充分利用已有信息显得尤为重要 设参数 4 2的联合先验 分布为e P 4 2 再由似然函数7 9 E 4 2 可得 4 2的后验分布为 e 4 2 eP 4 2 79 E 4 2 B f f eP 4 2 79 E 4 2 g 4 g 2 参数 4 2在平方损失下的 a b c d估计为 4 f4 eP 4 2 79 E 4 2 g 4 B f f eP 4 2 79 E 4 2 g 4 g 2 f eP 4 2 79 E 4 2 g B f f eP 4 2 79 E 4 2 g 4 g 0 2 可惜的是 由于7 9的复杂性 使得即使 4 2的先验分布取为均匀分布 4 与 也不 易算出 虽然hi hi算法使得 1 2 1 0 2中的积分的计算成为可能 但hi hi方法的收 敛速度往往很慢 特别是在数据删失较多的情况下更是如此 如果用近似似然函数7 8 9 代替 高 校 应 用 数 学 学 报 j辑 第 k卷第 期 万方数据 中的 13 1 1 0 A1 2 MF U W F V A 2 MF U 1 D 王乃生a多重b型删失数据的近似似然函数及应用 万方数据 估计 6下面寻求 的近似7 8 9 估计 6 A B C D E F G B H B I C JK CA B C D E 3 F G B H B I C JK CA 6 5 6 3 C 如果C D E是整数4通过繁琐但并不困难的积分运算可得 B I H L C D EBC M N BC I H M O PM 3 C 4 Q C 12C I L C D EB3 M N BC I H M O PM 3 C 4 Q C 12C I 4 HR 4 NI C S D EB 3 12 C S D E 12 C 4 H 4 B I H L C D EBC M N BC I H M S M 3 12 C O M 3 C 4 Q C 12 0C I L C D EB3 M N BC I H M S M 3 12 C O M 3 C 4 Q C 12 0C I T U V 4 HW X 5 X 3 Y 其中O Z 4 表示不完全伽玛函数 O Z 4 Z B3 B A 4 O P Z 4 S Z BO Z 4 X 如果C D E不是整数4我们无法获得 的精确显式形式4 但可以采用 8 G 8 近似方 法 3 Y 0得到 4 我们把它写成一个定理的形式6 定理a若超参数D和 取有限值4 则对任意 Wb WC D E有 c b db C D E 3 d C D E 3 Bb b F G B H 3 bB 3 12 B I 3 C b B 3 12JK C e 3 f g BC 0 4 5 6 3 5 其中4对h 4 b h H H C 5 C D E 3B h I 0 3 C C C D E 3B h 4 dh h C D E 3B h I h B 3 CX 证用类似于 i 0中的方法可以证得本定理的结论4此处从略6 在上述定理中取b 3 4便可得到 的近似7 8 9 估计4 而 的近似7 8 9 估计 j 由 5 k 3 3 给出6 lm 讨论 当多重n型删失数据来自正态分布时4利用近似似然函数能使许多问题得到简化4这在 本文lY 4 l5中对极大似然估计及7 8 9 估计的讨论中已可见一般o其实在许多应用中4比 如似然比检验等4只要样本容量不是太小4就完全可以用近似似然函数代替似然函数进行统 计分析o另外4本文的近似似然函数方法还可以推广到回归模型当中去4这方面的结果将另 文发表o 本文所讨论的方法并不仅局限于正态总体4一般说来4只要总体分布属于位置p尺度参 53C 高 校 应 用 数 学 学 报 q辑 第3 r卷第C期 万方数据 数分布族 比如极值分布 指数分布 9 0 1 8 0 3 8 4 EE M 4 3 1 8 4 EE M 4 3 1 8 8 4 2 9 4 4Z 0 1 2 4 4 0 A A 8 B 8 4 0 0 4 4 8 2 8 98 O 0 8 4 4 0 A A 8 B 8 4 9 0 1 8 0 3 8 4 0 A A 8 B 8 4 4 4 1 8 0 3 4 4 AB C D E F GH D I D J K D E L M I K D N O J P IQF R SI T UP J V E L H O I P W O I J X Y Y Y Z X L N O J P I a b c d e f g e h h g 3 4 i j k 9lj k k 9 e i j k i l f j k m 3 9 k h h g 3 4 i j k E e n e j j mj o f i j lg e f m 9 f 9 f k 9 i f 9 p e p i 9 d j o f i j lg e i 9 f j E n mj o 9 g g k j q l9 f j j o f e n e i f j m k