上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）.doc

上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）一.填空题1.若复数z满足1+2i，则z等于_【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】iz+iiz+i1+2iz1+i故答案为：1+i【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题2.计算：_【答案】【解析】分析】由二项式定理得，再求极限即可【详解】；故答案为：【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题3.某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2_【答案】4【解析】试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。解：由题意可得： x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=2，|x-y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单4.关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为若dx5，则实数m_【答案】-2【解析】【分析】由题意，dx5，即可求出m的值【详解】由题意，dx5，m-2，故答案为-2【点睛】本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础5.已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点p（1，1）连线的斜率的取值范围由图象可知当点与ob平行时，直线的斜率最大，当点位于a时，直线的斜率最小，由a（1，0），ap的斜率k又ob的斜率k1w1则的取值范围是：故答案为： 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法6.在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_项【答案】4【解析】【分析】先写出展开式的通项：由0r10及5为负整数，可求r的值，即可求解【详解】展开式的通项为其中r0，1，210要使x的指数为负整数有r4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为22=4，圆柱的体积为，则球的表面积为4，故球的半径为1；球的体积为，这个圆柱的体积与这个球的体积之比为，故填考点：本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手8.连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_【答案】【解析】【分析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，（m，n）与（1，1）不可能同向夹角0（0，0，mn0，即mn当m6时，n6，5，4，3，2，1；当m5时，n5，4，3，2，1；当m4时，n4，3，2，1；当m3时，n3，2，1；当m2时，n2，1；当m1时，n1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1概率p故答案为：【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键9.已知集合a（x，y）|xa|+|y1|1，b（x，y）|（x1）2+（y1）21，若ab，则实数a的取值范围为_【答案】1，3【解析】【分析】先分别画出集合a（x，y）|xa|+|y1|1，b（x，y）|（x1）2+（y1）21，表示的平面图形，集合a表示是一个正方形，集合b表示一个圆再结合题设条件，欲使得ab，只须a或b点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可【详解】分别画出集合a（x，y）|xa|+|y1|1，b（x，y）|（x1）2+（y1）21，表示的平面图形，集合a表示是一个正方形，集合b表示一个圆如图所示其中a（a+1，1），b（a1，1），欲使得ab，只须a或b点在圆内即可，（a+11）2+（11）21或（a11）2+（11）21，解得：1a1或1a3，即1a3故答案为：1，3【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题10.在中，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，两点在直线两侧），当变化时，线段长的最大值为_【答案】3【解析】试题分析：设，则在三角形bcd中，由余弦定理可知，在三角形abc中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立考点：解三角形11.如图，b是ac的中点，p是平行四边形bcde内（含边界）的一点，且有以下结论：当x0时，y2，3；当p是线段ce的中点时，；若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点p的轨迹是一条线段；xy的最大值为1；其中你认为正确的所有结论的序号为_【答案】【解析】【分析】利用向量共线的充要条件判断出错，对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出对,利用三点共线解得对【详解】对于当，据共线向量的充要条件得到p在线段be上，故1y3，故错对于当p是线段ce的中点时，故对对于x+y为定值1时，a，b，p三点共线，又p是平行四边形bcde内（含边界）的一点，故p的轨迹是线段，故对对，令，则，当共线，则，当平移到过b时，xy的最大值为1，故对故答案为【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题12.对任意实数x和任意，恒有，则实数a的取值范围为_【答案】a或a【解析】【分析】原不等式等价于（3+2sincosasinacos）2，0，从而可得a，或a，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值【详解】原不等式等价于（3+2sincosasinacos）2，0，由得a，或a，在中，（sin+cos），显然当1x时，f（x）x为减函数，从而上式最大值为f（1）1，由此可得a；在中，（sin+cos），当且仅当sin+cos时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a故答案为：a或a【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于的恒等式处理二.选择题13.设集合，则“”是“”的（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】，若，则，解得，所以是的充分不必要条件，故选a。14.实数a，b满足ab0且ab，由a、b、按一定顺序构成的数列（）a. 可能是等差数列，也可能是等比数列b. 可能是等差数列，但不可能是等比数列c. 不可能是等差数列，但可能是等比数列d. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】b【解析】【分析】由实数a，b满足ab0且ab，分a，b0和a，b0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案【详解】（1）若ab0则有ab若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则ab=，得，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若ba0，则有若能构成等差数列，则，得2=3a-b于是b3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列于是b=9a0，满足题意但此时b0，a0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选b【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）a. 1b. c. 2d. 3【答案】c【解析】双曲线的两条渐近线方程是，抛物线的准线方程为，联立渐近线与准线方程可得两交点坐标为 ，所以，所以。 因为双曲线离心率是2，所以 。所以 。故选b。16.若函数f（x）满足：f（|x|）|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：定义域为r的“对等函数”，其图象一定过原点；两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；若定义域是d函数yf（x）是“对等函数”，则y|yf（x），xdy|y0；在上述命题中，真命题的个数是（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】由对等函数的定义可判断，举反例说明错误【详解】定义域为r的“对等函数”，可令x0，即f（0）|f（0）|，解得f（0）0，或f（0）1，故错误；两个定义域相同的“对等函数”，设yf（x）和yg（x）均为“对等函数”，可得f（|x|）|f（x）|，g（|x|）|g（x）|，设f（x）f（x）g（x），即有f（|x|）f（|x|）g（|x|）|f（x）g（x）|f（x）|，则乘积一定是“对等函数，故正确”；若定义域是d的函数yf（x）是“对等函数”，可得f（|x|）|f（x）|，可取f（x）x|x|，xr，可得x0时，f（x）0；x0时，f（x）0，故错误故选：b【点睛】本题考查函数的新定义问题，理解题意是关键，是基础题三.解答题17.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若，（1）求的值；（2）求函数的值域【答案】（1）32（2）【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算变形为三角形三边及内角表示，结合已知和所求的为有关于三边问题，因此采用余弦定理将其结合起来（2）中由的值借助于不等式性质得到角的范围，将所求的函数式整理化简为的形式，进而可利用三角函数单调性求解最值试题解析：（1）因为，所以 3分由余弦定理得，因为，所以 6分（2）因为，所以， 8分所以因为，所以 10分因为， 12分由于，所以，所以的值域为 14分考点：1余弦定理解三角形；2均值不等式求最值；3三角函数化简及性质18.如图，三棱锥pabc中，pc平面abc，pcac2，abbc，d是pb上一点，且cd平面pab（1）求证：ab平面pcb；（2）求二面角cpab的大小的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（ 1）由题设条件，易证得pcab，cdab，故可由线面垂直的判定定理证得ab平面pcb；（2）由图形知，取ap的中点o，连接co、do，可证得cod为二面角cpab的平面角，在cdo中求cod即可【详解】（1）证明：pc平面abc，ab平面abc，pcabcd平面pab，ab平面pab，cdab又pccdc，ab平面pcb（2）取ap的中点o，连接co、dopcac2，copa，co，cd平面pab，由三垂线定理的逆定理，得dopacod为二面角cpab的平面角由（1）ab平面pcb，abbc，又abbc，ac2，求得bcpb，cdcoscod点睛】本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角，是求角的关键19.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）20千米/小时；（2）内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车.【解析】【分析】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间，根据，解不等式，即可求得结论【详解】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得v20要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，xn+，x10当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间20.已知抛物线g的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点p（m，4）到其准线的距离等于5（1）求抛物线g的方程；（2）如图，过抛物线g的焦点的直线依次与抛物线g及圆x2+（y1）21交于a、c、d、b四点，试证明|ac|bd|为定值；（3）过a、b分别作抛物g的切线l1，l2且l1，l2交于点m，试求acm与bdm面积之和的最小值【答案】（1）x24y；（2）详见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求p；（2）设直线ab方ykx+1，与抛物线联立消去，结合焦半径公式化简从而得到定值；（3）欲求面积之和的最小值，利用直线ab的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题【详解】（1）由题知，抛物线的准线方程为y+10，故1所以抛物线c的方程为x24y（2）当直线ab的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故直线ab的斜率一定存在，设直线ab方ykx+1交抛物线c于点a（x1，y1），b（x2，y2），由抛物线定义知|af|y1+1，|bf|y2+1，所以|ac|y1，|bd|y2，由得x24kx40，显然0，则x1+x24k，x1x24，所以y1y21，所以|ac|bd|为定值1（3）由x24y，yx2， x，得直线am方程yx1（xx1）（1），直线bm方程yx2（xx2）（2），由（2）（1）得（x1x2）x，所以x（x1+x2）2k，y1所以点m坐标为（2k，1），点m到直线ab距离d2，弦ab长为|ab|4（1+k2），acm与bdm面积之和，s（|ab|2）d（2+4k2）22（1+2k2），当k0时，即ab方程为y1时，acm与bdm面积之和最小值为2【点睛】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力，求解定值与最值的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值21.已知数列an是以d为公差的等差数列，bn数列是以q为公比的等比数列（1）若数列bn的前n项和为sn，且a1b1d2，s3a1003+5b22010，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pn，p2）项的