高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案新人教选修.docx

一比较法1理解作差比较法和作商比较法2用比较法证明不等式1比较法的种类比较法一般分为两种：_和_2作差比较法(1)作差比较法的证明依据：_.(2)基本步骤：_；_；_；_.用作差比较法证明不等式时，要判断不等式两边差的符号，对不等式两边求差后，要通过配方、因式分解、通分等，对所得代数式进行变形，得到一个能够明显看得出其符号的代数式，进而得出证明【做一做11】 当ab0时，下列关系式中成立的是()A. Blgb2lga2C.1 D【做一做12】 若P，Q，R，则P，Q，R的大小关系是()APQR BPRQCQPR DQRP3作商比较法(1)作商比较法的证明依据：_(2)基本步骤：_；_；_；_.【做一做21】 比较大小：log34_log67.【做一做22】 比较大小：_.答案：1作差比较法作商比较法2(1)(2)作差变形判断符号下结论【做一做11】 B方法1：取特殊值a4，b1，则知选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B；方法2：ab0，a2b2.而函数ylgx(x0)为增函数，lg b2lg a2，B项正确【做一做12】 A2，即PQ；又，即QR.PQR.3(1)当b0时，(2)作商变形判断与“1”的大小下结论【做一做21】 设log34a，log67b，则3a4,6b7，得73a46b42b3b，即3ab，由log67b可知，b1，所以2b2，则3ab1，所以ab0，即ab，即log3 4log6 7.【做一做22】 ，又1，1.1作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号(4)结论：肯定不等式成立的结论若差式的符号不能确定，且与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论2作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，1ba是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b0，由1，可得ba，但若a，b0，则由1得出的反而是ba，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断否则，结论将是错误的对于此类问题，可分为含参数变量类的和大小固定的，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以1，转化后再进行证明题型一 利用作差比较法证明不等式【例1】 已知a1，求证：.分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明反思：根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号又因为a1，所以不等式两边都大于0，故还可以用作商比较法进行证明题型二 利用作商比较法证明不等式【例2】 已知a0，b0，求证：.分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较反思：作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止在运算过程中注意运用计算技巧题型三 比较法在综合题目中的应用【例3】 已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN)(1)证明数列an1是等比数列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求函数f(x)在点x1处的导数f(1)，并比较2f(1)与23n213n的大小分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化反思：此类题是典型的结论不唯一的比较大小的问题在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化往往n1,2，前几个自然数对应的值与后面nn0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论答案：【例1】 证明：()()0，.【例2】 证明：，又a2b22ab，1，当且仅当ab0时取等号.【例3】 (1)证明：由已知Sn12Snn5，n2时，Sn2Sn1n4，两式相减，得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)当n1时，S22S115，a1a22a16.又a15，故a211，从而a212(a11)故总有an112(an1)，nN.又a15，a110，从而2，即an1是以a116为首项，2为公比的等比数列(2)解：由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn，f(x)a12a2xnanxn1.从而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(22n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.则2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1)(*)当n1时，(*)式0，2f(1)23n213n；当n2时，(*)式120，2f(1)23n213n；当n3时，n10，又2n(11)nCCCC2n22n1，(n1)2n(2n1)0，即(*)式0，从而2f(1)23n213n.1已知a0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPQ D大小不确定2下列命题：当b0时，ab1；当b0时，ab1；当a0，b0时，1ab；当ab0时，1ab.其中是真命题的为()A BC D3当x1时，x3与x2x1的大小关系是_4对于任意的实数x，求证：x232x.5已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由答案：1APQloga(a31)loga(a21).当0a1时，0a31a21，则01，0，即PQ0.PQ.当a1时，a31a210，1，0，即PQ0.PQ.2A3x3x2x1x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，x10.又x210，x3(x2x1)0，即x3x2x1.4证明：x232x(x1)220，x232x.