第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案.pdf

58 第十届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考答案 1 满分14分 北京与南京地面距离大约930 km 民航飞机飞行的空中时间大约90分钟 飞机升 空后 一位乘客从飞机的舷窗俯看地面的景物 他 发现地面上的物体大约要用1分钟的时间从舷窗中 移过 已知飞机舷窗的宽度为25 cm 乘客看地面时 眼睛与舷窗的视线距离为30 cm 请你根据这些信 息估算出飞机距地面的高度 解 设北京至南京的飞行是 匀速的 并且乘客俯瞰地面的视线 近似地垂直于地面 根据已知数 据 因为飞机在90分钟内飞行930 km 即93000000 cm 可算出飞行 的平均速度为1033333 cm 分钟 再根据假设 可得右图 在 MEF 中 ME MF AB EF MP是 MAB的高 MQ是 MEF的高 AB为舷窗的宽度 于是MP为乘 客的眼睛与舷窗的距离 EF为飞机在1分钟内飞行 的地面距离 有 MQ M P EF AB 即 MQ 30 1033333 25 得MQ 1239999 6 cm 12 4 km 答 飞机距地面的高度约为12 4 km 2 满分14分 某工程队共有600人 要建造一 段5000米的高速公路 工程需要把600人分成两 组 一组的任务是完成一段2000米的软土地带 另 一组的任务是完成剩下的3000米的硬土地带 据测 算 软 硬土地每米的工程量分别为50工和30工 问如何安排两组的人数 才能使全队筑路工期最 短 解 设在软土地带工作的人数为x 则在硬土 地带工作的人数为600 x 在软土地带筑路时间为 f x 50 2000 x 在硬土地带筑路时间为 g x 30 3000 600 x 其中x是1到600之 间的整数 全队筑路所需时间为 t x f x 当 f x g x g x 当g x f x f x 在 0 600 上是减函数 g x 在 0 600 上是增函数 求 f x g x 的解 即50 2000 x 30 3000 600 x 解为x0 315 8 t x 50 2000 x x 0 31518 30 3000 600 x x 31518 600 t x 在 0 x0 上递减 在 x 0 600 上递增 故知x0是 t x 的最小值点 但315 8不是整数 于 是计算 t 315 和 t 316 其中较小数为所求 经计 算 t 315 317 46 t 316 316 90 于是可知 当安排316人到软土地带工作 284 人到硬土地带工作时 可以使全队筑路工期最短 3 满分18分 电视台在暑假进行了一次青年 人收视电视节目偏好的调查 得到的数据如下 他们当中3人喜欢在平日 非周末 看早期的 电视剧 14人喜欢在平日看早期的电视节目 21人 喜欢看早期的电视剧 8人喜欢在平日看电视剧 31 人喜欢在平日看电视节目 36人喜欢看早期的电视 节目 40人喜欢看电视剧 13人喜欢在周末看近期 的电视节目 但不是电视剧 请你根据这些信息 判断有多少人不喜欢看电 视剧和多少人喜欢在周末看电视节目 解法一 设M为被调查的青年人的集合 A为 喜欢看电视剧的青年人的集合 B为喜欢看早期电 视节目的青年人的集合 C为喜欢周末看电视节目 的青年人的集合 用韦恩 Venn 图表示上述集合 将集合A涂上阴影 将集合B涂上阴影 将集合C涂上阴影 集合M涂上 根据题 中调查数据看得下图 数学通报 2007年 第46卷 第5期 59 根据图得到答案 不喜欢看电视剧的青年人数 为12 13 4 11 人 即40人 喜欢在周末看电 视节目的青年人数为14 18 4 13 人 即49人 解法二 设M为被调查的青年人的集合 A为 喜欢看电视剧的青年人的集合 B为喜欢看早期电 视节目的青年人的集合 C为喜欢在平日看电视节 目的青年人的集合 并记n X 为集合X内元素 人 数 的个数 则上述调查的结果可以记为 n A B C 3 n B C 14 n A B 21 n A C 8 n C 31 n B 36 n A 40 n M A M B M C 13 将所要求的 不喜欢看电视剧的青年人的集合 记 为P 喜欢在周末看电视的青年人的集合 记为Q 则有P M A Q M C 由于M A B C M A M B M C 可知n M A B C 13 又知n A B C n C n B n A n B C n A B n A C n A B C 40 36 31 14 21 8 3 67 由此可得n M 13 67 80 于是得到n P 80 40 40 n Q 80 31 49 4 满分18分 节日里某商场打折促销 宣布 全场商品用RMB每买100元商品 就返给顾客100 元购物券 一顾客看中了一件上衣 标价是350元 她想买又犹豫 价格虽然较高 但若返300元的购物 券 相当于打了350 650 54 折 还是挺合算的 转而又想 我没有别的需求 得到的300元购物券做 什么用呢 这时她的一位朋友说 350元打五四折 是189元 如果你打算买这件上衣 你出五五折的价 钱192元 另158元钱由我补上 300元的购物券归 我 这位顾客欣然同意了 之后 这位朋友又帮另 外两个人各买了一条标价为150元的裤子 加上返 券 裤子相当于打了六折 90元 他提出每人按六 二折付给他93元 由他帮忙把这两条裤子买下 两 人高兴地同意了 这位朋友拿到186元 在收银台使 用他手中已有的300元的购物券为裤子付了款 上 述过程使他获得28元 而买衣裤的三位顾客每人都 是只比应该的折扣价多花了3元钱 请你分析 这位 朋友收入的28元钱是怎样挣来的 解 粗看起来 买一百 返一百 相当于打五 折 实际上并非如此 因为商场的商品很少被定价 为整百元 如果商品的价格是m 100n a 元 其 中n 1为整数 0 a 0 这时顾客 所得到的是少于五折的折扣 这位朋友在为第一位顾客垫付158元买上衣 时 他得到了300元的购物券 相当于用158元以 158 300 52 67 折买到了300元的券 后来用购物券为后面的顾客买裤子时 又将这 300元券以186 300 62 的折扣换回了现金 从 而挣到了两次折扣相差的部分300 62 52 67 28元 5 满分18分 两条河RO SO交汇于点 O 为 简单起见 两条河假设是两线段 某人每天从他的 住处点P先去河RO SO取水样 再把水样带到点Q 处化验 如图1 图1 1 画出从点P到河RO 再到河SO 然后到点Q的最短 路 并给出具体作图步骤 2 画出从点P到河SO 再到河RO 然后到点Q的最短 路 并给出具体作图步骤 3 上述两条最短路的长度恒等吗 如果不恒 等 试给出它们相等的条件 并指出何时 1 中画出 的路其长度小于 2 中路的长度 解 1 作图步骤是 作点P关于直线RO的对称点P 点Q关于 直线SO的对称点Q 连接P 与Q 设线段P Q 和RO SO的交点 2007年 第46卷 第5期数学通报 60 分别为A B 连接P与A B与Q 折线PABQ是点P到河 RO再到河SO 然后到点Q的 最短路 其 长 度 就 是 线 段 P Q 的长度 事实上 利用对称性不难看出 任何其它的从 点P到河RO再到河SO 然后到点Q的路 都相当 于从点P 到点Q 的一条折线路 它的长度大于线 段P Q 的长 2 同 1 的做法 作点P关于直线SO的 对称点P 点Q关于直线RO 的对称点Q 连接线段P 与Q 设 线段P Q 和SO RO的交点分别为A1 B1 则连接P与A1 A1与B1 B1与Q 折线PA1B1Q是点P到河SO再到河RO 然后 到点Q的最短路 其长度就是线段P Q 的长度 3 为了比较 1 和 2 中的路长 只需比较线 段P Q 和P Q 的长 为此 考虑 OP Q 和 OP Q 线段P Q 和P Q 分别是它们的一个边 而这两个三角形的其他两个边相等 即OP OP OP OQ OQ OQ 不难看出 为了比较线段 P Q 和P Q 的长短 只需比较 P OQ 和 P OQ 的大小 利用函数的单调性和余弦定理不难严格地证 明这一点 事实上 当角x取值在 0 时 cosx是 x的减函数 从而 cosx是x的增函数 由余弦定理 知 角x越大 对应边越长 为了 比 较 P OQ 和 P OQ 的 大 小 我 们 设 ROS ROP ROQ 如图2 现在 P OQ P OR ROS SOQ 又由点P和点P 及点Q和点Q 的对称性知 P OR ROP SOQ SOQ ROS ROQ 因此 P OQ 2 同理 P OQ P OS ROS ROQ 由点P和点P 及点Q和点Q 的对称性知 ROQ ROQ P OS POS ROS ROP 因此 P OQ 2 我们得到 1 中的路长不大于 2 中路长的充 要条件是 P OQ P OQ 即 2 2 即 当点P Q O在一条直线上 时 1 和 2 中的最短路长度相等 当点P落在角 ROQ中 b c 求证 1 a b 1 b c 1 c a 0 引导学生进行了探究 将 此不等式加强为 1 a b 1 b c 4 c a 0 进一步当 a b c d时 则有 1 a b 1 b c 1 c a 9 d a 0 将上述二不等式推广 便有下面的 结论 已知a1 a2 an 1 an k N3 则有 1 a 1 a2 2k 1 1 a 2 a3 2k 1 n 1 2k a n a1 2k 1 0 为证明本结论 先给出下面的引理 见文 2 引理 设ai bi R i 1 2 n 0 则 有 n i 1 bi 1 ai n i 1 bi 1 n i 1 ai 当且仅当 ai bi n i 1 ai n i 1 bi 时等 号成立 结论的证明 原不等式等价于不等式 n 1 i 1 1 a i ai 1 2k 1 n 1 2k a n a1 2k 1 n 1 2k a 1 an 2k 1 由引理得 n 1 i 1 1 a i ai 1 2k 1 n 1 i 1 1 2k a i ai 1 2k 1 n 1 i 1 1 2k n 1 i 1 a i ai 1 2k 1 n 1 2k a 1 an 2k 1 当且仅当a1 a2 an构成等差数列时取等 号 由已知a1 a2 an 故公差不为零 参考文献 1 许金松 对一道不等式习题的探究性学习 数学通报 2004 9 2 俞武扬 一个猜想的证明 数学通报 2002 2 i12345678910 xi0 5700 2110 50 29 0 9600 361 设yi为第i个学生的资格考试成绩 yi为这个 学生的资格考试归一标准化成绩 zi为第i个学生 的平时学习成绩 zi为这个学生的平时学习归一标 准化成绩 则同理可得 i12345678910 yi110 930 590 520 340 280 280 070