2017_18学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性二平行线分线段成比例定理创新应用教学案.docx

二 平行线分线段成比例定理对应学生用书P41平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图l1l2l3，则有：，.变式有：，.说明“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段如图中AB和DE；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比2平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图l1l2l3，则有：，.3平行线分线段成比例定理的作用平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系对应学生用书P5平行线分线段成比例定理例1已知：如图，ADBECF，EGFH.求证：.思路点拨由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与，均相等的公共比例式证明ADBECF，.又EGFH，.平行线分线段成比例定理的解题思路(1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和被平行线所截的两条直线；(2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系；(3)灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化，达到求线段比或证明线段成比例的目的；(4)注意定理基本图形的几种变式情形，在复杂图形中识别能够应用定理的图形1如图，ADEFBC，DF4 cm，则FC_cm.解析：ADEFBC，.又，DF4 cm，FC6 cm.答案：62已知：如图所示，l1l2l3，.求证：.证明：l1l2l3，.，则，即.平行线分线段成比例定理的推论例2已知：如图，点E是ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2OEOF.思路点拨利用ABCE，AFBC得出所要比例关系证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ADBC.由ABCE，得.由AFBC，得.所以(等量代换)即OB2OEOF.运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求线段的长度时，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，在解答过程中要灵活应用比例性质3已知：如图，D为BC的中点，AGBC，求证：.证明：因为AGBC，所以，又BDDC，所以.4.如图，已知AECFDG，ABBCCD123，CF12 cm，求AE，DG的长解：AECF，.AECF.ABBC12，CF12 cm，AE126 (cm)CFDG，.，.DGCF1230(cm).通过添加平行线构造基本图形寻找公共比例3如图，在ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证：.思路点拨由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证证明作EHAB交AC于点H，则，.同理：，.BDC为直角三角形，且E为BC边中点，BECEDE.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的5如图，梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别在AB，CD上，且EFBC，若，AD8 cm，BC18 cm，求EF长解：作AGDC分别交BC，EF于G，H，ADHFGC8 cm.BG18810(cm)，.EHBG104(cm)EFEHHF4812(cm)6如图所示，已知ABC中，AEEB13，BDDC21，AD与CE相交于F，求的值解：过点D作DGAB交EC于G，则，而，即，所以AEDG.从而有AFDF，EFFGCG，故1.对应学生用书P6一、选择题1如图，在ACE中，B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()ABDCEBBDCECBDCEDBDCE解析：由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A、B、C都是正确的，D是错误的答案：D2如图，ABEFCD，已知AB20，DC80，那么EF的值是()A10B12C16 D18解析：ABEFCD，EFAB2016.答案：C3如图，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则的值为()A. B.C1 D.解析：DCBN，.又BMAD，.1.答案：C4如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使DE5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是()A512 B513C519 D521解析：如图，作MNAD交DC于N，.又AMME，DNNEDE.NCNEEC7.PDMNQC，.答案：C二、填空题5如图所示，已知DEBC，BFEF32，则ACAE_.解析：DEBC，.BFEF32，ACAE32.答案：326如图，在ABC中，MNDEBC，若AEEC73，则DBAB的值为_解析：由AEEC73，得ECAC310.根据MNDEBC，可得DBABECAC310.答案：3107如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则_.解析：过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM，点D是AC的中点，在CAF中，CMMF.答案：8如图所示，DEBC，EFDC，求证：AD2AFAB.证明：因为DEBC，所以(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例)因为EFDC，所以.所以，即AD2AFAB.三、解答题9如图，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15 cm，AF4 cm，求BE和DE的长解：DEAC，32.又AD平分BAC，12.13，即AEED.DEAC，EFBC，四边形EDCF是平行四边形EDFC，即AEEDFC.设AEDEFCx.由EFBC得，即，解之得x16，x210(舍去)DE6 cm，BE1569 cm.10.如图所示，在梯形ABCD中，ADB