2017_18学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学案.docx

21.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识链接命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a (a0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a (a0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件若|PA|PB|2a (a0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆这是因为：仅当2a|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2ab0)1 (ab0)焦点(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)a、b、c的关系c2a2b2c2a2b2要点一用待定系数法求椭圆的标准方程例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程解(1)方法一因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1 (ab0)由椭圆的定义知2a2，所以a.又因为c2，所以b2a2c21046.因此，所求椭圆的标准方程为1.方法二设标准方程为1 (ab0)依题意得，解得.所求椭圆的标准方程为1.(2)方法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1 (ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1 (ab0)椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，则即与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.方法二设椭圆方程为mx2ny21 (m0，n0，mn)椭圆过(2,0)和(0,1)两点，综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程跟踪演练1求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10,2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆标准方程为1.要点二椭圆定义的应用例2如图所示，点P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积解在椭圆1中，a，b2，c1.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30|F1F2|2(2c)24式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，得(2)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2)，SPF1F2|PF1|PF2|sin3084.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系在解题中，经常把|PF1|PF2|看作一个整体来处理跟踪演练2已知椭圆的方程为1，椭圆上有一点P满足PF1F290(如图)求PF1F2的面积解由已知得a2，b，所以c1.从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24.又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|.从而有(4|PF1|)2|PF1|24.解得|PF1|.所以PF1F2的面积S|PF1|F1F2|2，即PF1F2的面积是.要点三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4,0)由|AB|AC|BC|18，得|AB|AC|10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(不包括与x轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10；由a5，c4，得b2a2c225169.又因为点A不在x轴上，所以点A的轨迹方程为1(y0)规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程特别注意点A不在x轴上，因此y0.跟踪演练3已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，|PB|r.又圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6.a5，c3.b2a2c225916.点P的轨迹方程为1.1设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆D线段答案D解析|MF1|MF2|6|F1F2|，动点M的轨迹是线段F1F2.2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A9m25B8m25C16m8答案B解析依题意有解得8m25，即实数m的取值范围是8mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析方程可化为1.若mn000，可得mn0.4已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.答案12解析椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN