2017_18学年高中数学第一讲第2节绝对值不等式创新应用教学案.docx

第2节 绝对值不等式核心必知1绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么|ab|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度2绝对值三角不等式(1)如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边3三个实数的绝对值不等式如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立问题思考1|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系？提示：|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|2不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0，且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|3绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac|ab|bc|；当点B不在点A，C之间时，|ac|ab|bc|(1)以下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则|；若AB0，则lg( lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个 B3个C2个 D1个(2)不等式1成立的充要条件是_精讲详析本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|b|与|a|b|时，有|a|b|0，|ab|a|b|a|b|.必有1.即|a|b|是1成立的充分条件当1时，由|ab|0，必有|a|b|0.即|a|b|，故|a|b|是1成立的必要条件故所求为：|a|b|.答案：(1)A(2)|a|b|(1)定理|a|b|ab|a|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边(2)对|a|b|ab|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.1(1)若x5，nN，则下列不等式：|xlg|5|lg|；|x|lg5lg；xlg5|lg|；|x|lg5|lg|.其中，能够成立的有_(2)已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是()AmnBmnCmnDmn解析：(1)01.lg0.由x5，并不能确定|x|与5的关系，可以否定，而|x|lg0，成立(2)|a|b|ab|a|b|，m1，n1，m1n.答案：(1)(2)D已知a，bR且a0，求证：.精讲详析本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决若|a|b|，左边.，.左边右边若|a|0，右边0，原不等式显然成立若|a|b|，原不等式显然成立综上可知原不等式成立含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明2若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1)已知a，bR，且|ab1|1，|a2b4|4.求|a|b|的最大值精讲详析本题考查绝对值三角不等式的应用解答本题可先求出|ab|，|ab|的最值，再通过|a|b|与它们相等时进行讨论求出最大值|ab|(ab1)1|ab1|1|2，|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|5324516.若ab0，则|a|b|ab|2；若ab0，则|a|b|ab|16.而当即a8，b8时，|a|b|取得最大值，且|a|b|ab|16.(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助绝对值的定义，即零点分段；利用绝对值几何意义；利用绝对值不等式性质定理 3(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；(2)求函数y|x4|x3|的最小值解：(1)法一：|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.法二：把函数看作分段函数y|x3|x1|4y4.ymax4，ymin4.(2)|x4|x3|(x4)(x3)|1，ymin1.本课时主要考查绝对值三角不等式的应用，江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中的应用，是高考的一个新亮点考题印证(江苏高考)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.命题立意本题综合考查不等式的性质和绝对值三角不等式的的应用证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.一、选择题1不等式1成立的充要条件是()Aa、b都不为零Bab0Cab为非负数 Da、b中至少有一个不为零解析：选B1|ab|a|b|a2b22aba2b22|ab|ab|ab|ab0.2“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A|xa|m，|ya|m，|xa|ya|2m.又|(xa)(ya)|xa|ya|，|xy|2m，但反过来不一定成立，如取x3，y1，a2，m2.5，|31|22.5，但|3(2)|2.5，|1(2)|2.5，|xy|2m不一定有|xa|m且|ya|m，故“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的充分不必要条件3若1，则下列结论中不正确的是()AlogablogbaB|logablogba|2C(logba)21D|logab|logba|logablogba|解析：选D由1，得0ba1，logab0，logba0，由绝对值的有关性质可得|logablogba|logab|logba|，所以应选D.4若|ac|b，则下列不等式不成立的是()A|a|b|c|B|c|a|b|Cb|c|a| Db|a|c|解析：选D|ac|b，令a1，c2，b3.则|a|1，|b|c|5，|a|b|c|成立|c|2，|a|b|4，|c|a|b|成立|c|a|2|1|1，b|c|a|成立故b|a|c|不成立二、填空题5若ab0，则下面四个不等式：|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|中，正确的有_解析：ab0，a，b同号|ab|a|b|.正确答案：6(江西高考)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.答案：57下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|a|b|；|2(ab0)；|x1|x2|1，其中恒成立的是_(把你认为正确的序号都填上)解析：logx10lg xlg x2，正确ab0时，|ab|a|b|，不正确；ab0，与同号，2，正确；由|x1|x2|的几何意义知|x1|x2|1恒成立，也正确综上正确答案：8设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m0，使|f(x)|m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数给出下列函数：f(x)0；f(x)x2；f(x)(sin xcos x)；f(x)；f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|.其中是F函数的序号是_解析：由|f(x)|m|x|，当x0时，知m，对于，有0，x0，故取m0即可；对于，由|x2|x|2，|x|，无最大值；对于，由f(x)2sin，而无最大值；对于，由，x0，只要取m即可；对于，令x20，x1x ，由f(0)0，知|f(x)|2|x|.答案：三、解答题9设m，0，|xa|，|yb|，|a|m，|y|m，求证：|xyab|m.证明：|xyab|xyayayab|xyay|ayab|y(xa)|a(yb)|y|xa|a|yb|mmm.|xyab|m.10设a，bR，求证：.证明：法一：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，(*)又，.又由(*)式可知.综上可知.法二：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，011，即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立法三：|a|b|ab|，|a|b|(|a|b|)|ab|ab|(|a|b|)|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|)两边同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立法四：构造函数f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上为增函数又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所证不等式成立11已知a、b、c为实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1.(1)证明：|c|1；(2)证明：当1x1时，|g(x)|2.证明：(1)当1x1时，|f(x)|1，取x0时，有|c|f(0)|1，即|c|1.(2)法一：当a0时，g(x)axb在1，1上是增函数g(1)g(x)g(1)|f(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2.g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2.由此得|g(x)|2.当a0时，g(x)axb在1，1上是减函数g(1)g(x)g(1)|f(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2.g(1)abf(1)c(f(1)|c|)2.由此得|g(x)|2.当a0时，g(x)b，f(x)bxc.1x1，|g(x)|f(1)c|f(1)|c|2.综上所述，|g(x)|2.法二：由x，得g(x)axbabff.当1x1时，有01，10，|ff|f|f|2.即|g(x)|2.第2课时绝对值不等式的解法核心必知1含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xaxR|x0R2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键(3)构造函数，结合函数的图象求解问题思考1|x|以及|xa|xb|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|xa|xb|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)2如何解|xa|xb|、|xa|xb|(ab)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解解下列不等式：(1)1|x2|3；(2)|2x5|7x；(3).精讲详析本题考查较简单的绝对值不等式的解法解答本题(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式(3)可分类讨论去掉分母和绝对值(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5法三：原不等式的解集就是1(x2)29的解集，即解得1x1或3x5.原不等式的解集是x|1x1或3x5(2)由不等式|2x5|7x，可得2x57x或2x5(7x)，整理得x2或x4.原不等式的解集是x|x4或x2(3)当x220且x0，即当x，且x0时，原不等式显然成立当x220时，原不等式与不等式组等价，x22|x|，即|x|2|x|20，|x|2，不等式组的解为|x|2，即x2或x2.原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，)绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当a0时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a；当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)0；当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.(3)形如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)，|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂(4)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(5)形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)f(x).1(江苏高考)解不等式x|2x1|3.解：原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是.解不等式|x1|x1|3.精讲详析解答本题，可以采用零点分段法求解，也可以转化为分段函数，借助函数图象求解法一：当x1时，原不等式可以化为(x1)(x1)3，解得：x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.综上，可知原不等式的解集为.法二：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.(1)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况(2)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式不妨设ab，于是f(x)这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想2解不等式|2x1|x4|2.解：法一：令y|2x1|x4|，则y作出函数y|2x1|x4|与函数y2的图象，它们的交点为(7，2)和.所以|2x1|x4|2的解集为(，7).法二：当x4时，(2x1)(x4)2，解得x3，x4.当x4时，(2x1)(x4)2，解得x，x4.当x时，(2x1)(x4)2，解得x7，x7.综上可知，不等式的解集为.设函数f(x)|x1|xa|，如果xR，f(x)2，求a的取值范围精讲详析本题考查绝对值不等式的解法解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件若a1，f(x)f(x)的最小值为1a.若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.所以xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为(，13，)含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，但去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集合并，即得该不等式的解集 3设函数f(x)|2x4|1.(1)画出函数yf(x)的图象；(2)若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围解：(1)由于f(x)则函数yf(x)的图象如图所示(2)由函数yf(x)与函数yax的图象可知，当且仅当a或a2.3如果关于x的不等式|xa|x