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文档简介

江西省鹰潭市2019届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知复数,则复数的实部为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解:,复数的实部为 故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2.已知集合,则()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】集合研究对象是定义域,集合的研究对象是值域,分别求得的范围,由此得出选项.【详解】集合研究对象是定义域,即,解得.集合的研究对象是值域,由于,即.所以集合是集合的子集.故选B.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象,考查函数的定义域与函数的值域,还考查了子集的知识,属于基础题.3.如图1为某省2019年14月快递义务量统计图,图2是该省2019年14月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年14月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B. 2019年14月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C. 从两图来看2019年14月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从14月来看,该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A: 2018年14月的业务量,3月最高,2月最低,差值为,接近2000万件,所以A是正确的;对于选项B: 2018年14月的业务量同比增长率分别为,均超过,在3月最高,所以B是正确的;对于选项C:2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C是正确的;对于选项D,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用,新知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知向量与夹角为,则()A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知条件对两边平方,进行数量积的运算即可得到,解该方程即可得出【详解】解:根据条件,;解得,或(舍去)故选C【点睛】考查数量积的运算及其计算公式,解一元二次方程和 5.曲线在点处的切线的倾斜角为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,在处的导数就是切线的斜率,然后求出倾斜角即可【详解】解:可得, 设切线的倾斜角为, 可得 故选D【点睛】本题考查直线的倾斜角,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查计算能力,是基础题6.已知的最大值为,若存在实数、,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简,得,根据题意即求半个周期的A倍【详解】解:依题意,,的最小值为,故选:C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质,考查三角函数恒等变换,属中档题7.在如图算法框图中,若,程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的3倍,那么判断框中应填入的关于的判断条件是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据积分和二项式定理的内容求出,结合程序框图进行模拟运算即可【详解】解:,二项式的展开式中的系数为,即,根据程序图,若此时输出,不满足题意,则继续运行得,若此时输出,不满足题意,则继续运行得,若此时输出,不满足题意,则继续运行得,若此时输出,满足题意,所以判断语句应填写故选C项.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,求出,的值,利用模拟运算法是解决本题的关键8.已知抛物线:的焦点为,抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过向抛物线的准线作垂线,垂足为,根据和在坐标求出的值,进而可得出的值,再计算出即可【详解】解:过向抛物线的准线作垂线,垂足为,则,故又在抛物线上,故,于是,解得,故选D【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于中档题9.某几何体的三视图如图所示(单位:),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:)是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,.故选:B. 10.设为双曲线右支上一点,分别为该双曲线的左右焦点,分别表示该双曲线的半焦距和离心率若,直线交轴于点,则的内切圆的半径为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:首先应用向量的数量积等于零,可以断定向量垂直,从而得到三角形是直角三角形,之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长,再结合双曲线的定义最后求得结果.详解:根据题意,可知是直角三角形,根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知,求得,故选A.点睛:该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式,一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用,再者就是双曲线的定义要铭记.11.已知定义在上的函数满足,且时,则函数的零点个数是()A. 4B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】根据可知,函数的周期为,画出与的图象如下图所示,由图可知它们交点个数为,也即的零点个数为个.【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法,考查分段函数图像的画法,考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数,需要将图像每一段都画出来,题给函数第一段函数含有两个绝对值,则分成两段,去绝对值来画.的图像是由的图像保留,然后关于轴对称再画另一半所得.12.设,函数,曲线的最低点为,的面积为,则()A. 是常数列B. 不是单调数列C. 是递增数列D. 是递减数列【答案】D【解析】根据题意得,又曲线的最低点为,则当时当时,当时 ,则,:, 则所以是递减数列,故选点睛:本题根据题意总结出最低点的规律,计算三角形面积时采用了点到线的距离为高,在计算出底边长度,从而计算出面积,这样虽计算量较大,但是最后好多可以约去,得出函数的单调性,本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量,满足约束条件,则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,将目标函数化为,利用数形结合即可的得到结论【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由得直线l:,平移直线l,由图象可知当直线l经过点时截距最小,此时最大,即的最大值是6。【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键14.设的三个内角的对边分别是,若,那么角的大小为_【答案】【解析】【分析】由,可得角和再利用正弦定理即可得出的值和角,根据三角形的内角和定理可求的值【详解】解:,为钝角,可得,由正弦定理,可得为锐角,点睛】本题考查了正弦定理,以及推理能力与计算能力,属于基础题15.一名同学想要报考某大学,他必须从该校的8个不同专业中选出5个,并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的顺序填写志愿表若专业不能作为第一、第二志愿,则他共有_种不同的填法(用数字作答)【答案】5040【解析】【分析】分2步进行分析:从除之外的7个专业中任选2个,作为第一、第二志愿,在剩下的6个专业中任选3个,作为第三、四、五志愿,由分步计数原理计算可得答案【详解】解:根据题意,分2步选专业:专业不能作为第一、第二志愿有种选法, 第三、四、五志愿,有种选法, 则这名同学共有种不同的填报方法, 故答案为:5040【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理,属于基础题16.已知正三棱柱底面边长为,高为3,圆是三角形的内切圆,点是圆上任意一点,则三棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】求出三角形的内切圆的半径,再求出三角形的外接圆的半径,可得三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球的体积【详解】解:正三棱柱底面边长为,等边三角形的内切圆的半径为,的外接圆的半径为设球心到上下底面的距离分别为,则,解得则三棱锥的外接球的体积为【点睛】本题考查三棱锥的外接球的体积,考查学生的计算能力,确定三棱锥的外接球的半径是关键,是中档题三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知等比数列为递增数列,且,数列满足:,()求数列和的通项公式;()设,求数列的前项和【答案】(I),(II)【解析】【分析】()利用已知有条件,建立方程组求出数列的通项公式()利用()的结论,进一步利用裂项求和求出数列的和【详解】解:()对于数列,由题得(,)解得或,又为递增数列,则,数列满足:,数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,.()由()得,。【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题18.如图,在四棱锥中,平面,是的中点 (1)求和平面所成的角的大小(2)求二面角的正弦值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)推导出又,从而平面进而为和平面所成的角,由此能示出和平面所成的角的大小 (2)推导出,从而平面,进而平面过点作,垂足为,连接,则是二面角的平面角由此能求出二面角的正弦值【详解】解:(1)在四棱锥中,平面,平面,又,平面故在平面内的射影为,从而为和平面所成的角在中,故所以和平面所成的角的大小为(2)在四棱锥中,平面,平面,由条件,平面又平面,由,可得是的中点,又,平面过点作,垂足为,连接,如图所示平面,在平面内的射影是,是二面角的平面角由已知,设,则,中,在中,得在中,所以二面角的正弦值为【点睛】本题考查线面角的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养19.已知椭圆. ()若椭圆的离心率为,求的值;()若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点,在轴上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】();().【解析】【分析】(1)由a2=2,b2=n,所以c2=2-n,又,得n(2)若存在点M(m,0),使得NMA+NMB=180,则直线AM和BM的斜率存在,分别设为k1,k2等价于k1+k2=0依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x+2)与椭圆方程联立,利用0求出设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理,通过令,求出m【详解】解:(1) 因为 ,所以 又 ,所以有 ,得 (2)若存在点 ,使得 ,则直线 和 的斜率存在,分别设为 ,且满足 依题意,直线 的斜率存在,故设直线 的方程为 由 得 因为直线 与椭圆 有两个交点,所以 即 ,解得 设 ,则 , ,令 ,即 ,即 ,当 时,所以 ,化简得,所以 当 时,检验也成立所以存在点 ,使得 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用,考查转化思想的应用,存在性问题的处理方法,考查分析问题解决问题的能力,属于难题20.近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1附注:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;参考数据:,()记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在”为事件,试估计的概率;()根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中(单位:年)表示二手车的使用时间,(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出,可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程,相关数据如下表(表中,):5.58.719301.479.75385根据回归方程类型及表中数据,建立关于的回归方程;该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金【答案】(1)(2),万元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求得该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在与的频率,作和估计的概率;(2)由得,即关于的线性回归方程为分别求得与的值,则关于的线性回归方程可求,进一步得到关于的回归方程;根据中求出的回归方程和图1,对成交的二手车在不同区间逐一预测,即可求得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金【详解】解:(1)由题得,二手车使用时间在的频率为,在的频率为,;(2)由题得,即关于的线性回归方程为,关于的线性回归方程为,即关于的回归方程为;根据中的回归方程和图1,对成交的二手车可预测:使用时间在的平均成交价格为,对应的频率为0.2;使用时间在的平均成交价格为,对应的频率为0.36;使用时间在的平均成交价格为,对应的频率为0.28;使用时间在平均成交价格为,对应频率为0.12;使用时间在的平均成交价格为,对应的频率为0.04该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元【点睛】本题考查回归方程的求法,考查计算能力,正确理解题意是关键,是中档题21.已知函数的图象在处的切线过点()讨论函数单调性;()若函数有两个极值点,证明:【答案】()见解析()见解析【解析】【分析】()求出切线方程,代入点的坐标,求出n的值,求出的解析式,求出导数,讨论m的取值范围,写出函数单调区间即可()求出函数的导数,结合二次函数的性质证明即可.【详解】由题意的定义域是,故,故切线方程是:,又切线过,故,解得:,故;,当时,在递增,当时,令,解得:或舍,在递增,在递减,综上,时,在递增,时,在递增,在递减;证明:,故,有两个极值点,即有2个相异实根,即,令,在递减,【点睛】本题主要考查了切线方程,函数的单调性,利用导数证明不等式问题,涉及分类讨论思想,属于难题.22.已知在平面直角坐标

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