2017_18版高中数学第3章3.2.1直线的方向向量与平面的法向量学案苏教版选修.docx

32.1直线的方向向量与平面的法向量学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量知识点一直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量知识点二平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n，此时，我们把向量n叫做平面的法向量思考1平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案相互平行2一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等题型一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a(1,2，2)，直线l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m_.答案2解析由题意，得ab，所以ab(1,2，2)(2,3，m)262m42m0，所以m2.反思与感悟若l1l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1l2，则l1与l2的方向向量平行跟踪训练1若直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是_答案垂直解析因为ab(1，3，1)(8,2,2)8620，所以ab，从而l1l2.题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解如图，以A为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则(，1,0)，(，0,1)易知向量(，0,0)是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，平面SDC的一个法向量为(2，1,1)反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量跟踪训练2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，由题意知(1,1,0)，(1,0，1)n，n，解得令x1，则yz1.平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)题型三证明平面的法向量例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点求证：是平面ADE的法向量证明如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，0)，所以(1,0,0)，(0，1)，(0,1，)，所以(1,0,0)(0，1)0，(0,1，)(0，1)0，所以，又ADAEA，所以平面ADE，从而是平面ADE的法向量反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，则(0,1,0)，(m1,0,1)，(1,0,1h)0，ABB1E.若是平面ABF的法向量，则m11hmh0，hm.即E、F满足D1FCE时，是平面ABF的法向量故存在，且E、F满足D1FCE.利用向量法判断直线与平面平行例4已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_错解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220，所以ua，所以l.错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别实际上，本例中由向量ua可得l或l.正解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua，所以l或l.答案l或l1已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量若l1l2，则x_，y_.答案6解析由l1l2得，解得x6，y.2在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是_答案或或或3若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是_(0,1,2)(3,6,9)(1，2,3)(3,6,8)答案解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线4若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，则m_.答案8解析l，平面的法向量为(1，2)，(2，m,1)(1，2)0.2m20.m8.5在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)；.答案解析AA1平面ABC，B1B平面ABC，与可以作为平面ABC的法向量1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线若有直线l，点A为直线上的点，向量a是l的方向向量，在直线l上取a，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使t，这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置还可以具体地表示出直线l上的任意点2平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求