数学应用题的类型和解法(1).pdf

数学之道 在于多思数学之道 在于多思 1 2 届高考数学 分难点突破训练 应用题 数学应用题的类型和解法 数学应用题的类型和解法 数学应用题是一类在题目中展现了实际应用背景的数学试题 题目 中的已知条件和设问都是围绕着一定的实际问题和客观背景进行设置 它 不仅涉及到数学的知识和方法 还往往涉及到其它学科的知识和生活常 识 它可以是生活问题 生产问题 社会问题和自然界的问题等等 这类 问题既可要求考生根据有实际意义的背景材料 建立适当的数学模型 也 可要求考生对反应了实际问题的数学模型 解答具有应用意义的数学问 题 并对数学结果进行解析 一 数学应用题的类型 一 数学应用题的类型 数学应用题 主要考查学生运用数学知识 思想和方法解决实际问题 的能力 近几年 在高考中出现的应用题 从题目的来源上说 大致可分 成三类 教材或其他书籍中出现过的从实际生活中概括出来的应用题 对于这类问题 往往是通过改变设问方式 变换题设条件 互换条件结论 综合拓广类比成新的应用题 例如 例如 在距电视塔 米 2 米 米的三处 观测电视塔 测 得仰角的和为 电视塔高多少米 答案 米 与横向学科如物理 化学 生物等有联系的问题 例如 例如 年高考题 在测量某物理量的过程中 因仪器和观测的误 差 使得几次测量分别得到 a1 a2 a3 a 共 n 个数据 我们规定所测量物 理量的 最佳近似值 a 是这样一个量 与其他近似值相比较 a 与各数 据的差的平方和最小 依此规定 以 a1 a2 a3 a 推出的 a 答案 a a a2 a a A 有实际生活背景 题意新颖的社会热点问题 这类问题人人皆知 容易体现实际背景的公平原则 因而能为所有学生所熟悉和理解 是高考 应用题的好题材 例如 例如 某白酒厂 从今年一月份起 若不改善生产环境 将受到环保 数学之道 在于多思数学之道 在于多思 2 部门的处罚 第一个月罚 元 以后每个月的罚款递增 2 元 这种 情况下 生产总收入 A 按月累计 是时间 n 的 以月为单位 一次函数 生产一个月收入为 7 万元 生产三个月收入为 2 万元 如果投资 万元 改善生产环境 该厂不但不受处罚 而且收入逐月增长 近两年内总收入 B 是时间 n 的二次函数 生产一个月收入为 万元 生产两个月收入为 2 万元 问这样经过几个月生产开始见效 即总收入 B 与投资额的差不 小于生产总收入 A 与罚款总额的差 答案 9 个月 二 数学应用题的解法 二 数学应用题的解法 解数学应用题首先应认真审题 分析材料的原型结构 深刻理解问题 的实际背景 确定问题中的主要矛盾 提出必要的假设 将应用问题数学 化 数学问题标准化 然后求解 检验 得出问题的答案 如下图所示 实际应用问题 实际应用问题 审 题审 题 分析 联想 抽象 转化 分析 联想 抽象 转化 还还 原原 数 学 化数 学 化 解答数学问题 解答数学问题 标 准 化标 准 化 建 立 数 学 模 型 建 立 数 学 模 型 从近几年高考中的数学应用题来看 解答一个应用题主要应通过下面 三关 事理关 事理关 首先必需读懂题意 明确问题的实际背景 也就是需要应 有的阅读理解能力 例如 例如 6 年高考题 某地现有耕地 公顷 规划 年后粮食单产 比现在增加 22 人均粮食占有量比现在提高 如果人口年增长率为 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷 精确到 1 公顷 答案 耕 地平均每年至多只能减少 4 公顷 该问题背景材料复杂 既有增长 又有减少 既有十年的增产 又有 一年的增长 还有单产 人均 至多等概念 只有在对这些普通语言阅读 理解的基础上 才能准确地表达出耕地 人口 粮食三个量之间的关系 文理关 文理关 在准确理解题意的基础上 需要将实际问题中的文字语 言转化为数学的符号语言 用数学式子表达数学关系 例如 例如 年高考题 如图 为处理含有某 数学之道 在于多思数学之道 在于多思 3 种杂质的污水 要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱 污水从A 孔 流入 经沉淀后从 B 孔流出 设箱体的长度为 a 米 高度为 b 米 已知流 出的水中该杂质的质量分数与 a b 的乘积成反比 现有制箱材料 6 米 2 问当 a b 各为多少时 经沉淀后的水中该杂质的质量分数最小 A B 孔的 面积忽略不计 答案 当 a 6 米 b 3 米时 质量分数 ab k 的最小值为 18 k k 为比例系数 该问题要求学生依据题意 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a b 的乘积成反比 列出反映实际问题中数量关系的等式 构建出函数模型 数理关 数理关 在构建数学模型的过程中 要求学生具有对数学知识的 检索能力 认定或构建相应的数学模型 完成由实际问题向数学问题的转 化 建立了数学模型后 还需要比较扎实的数学基本知识和较强的数理能 力 正确地得到问题的解 例如 例如 7 年高考题 甲 乙两地向距 S 千米 汽车从甲地匀速行驶 到乙地 速度不得超过 c 千米 小时 已知汽车每小时的运输成本 以元 为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 v 的平方成正比 比例系数为 b 固定部分为 a 元 把全程运输成本 y 表示为速度 v 的函数 并指出这个函数的定义 域 答案 y s v a bv v c 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大的速度行驶 答案 当 v c 时运输成本 y 最小为 s v a bc 该试题实际背景材料为学生所熟悉 数学模型比较明显 不过此题虽 然上手不难 但要真正完整解答并非易事 它还需要进行分类讨论 并对 复合函数进行单调性的证明 三 常见应用题的数学模型 三 常见应用题的数学模型 中学数学在实际中有着广泛的应用 高考中通常较多地考查以函数 方程 不等式 数列和几何为模型的应用题 既是因为这些数学知识应用 数学之道 在于多思数学之道 在于多思 4 广泛 又是因为它们本身就是中学数学的重点内容 下面举例说明一些常 见应用题的数学模型 函数模型 函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容 现实世界中 普遍存在着的最优化问题 常常可归结为函数的最值问题 通过建立相应 的目标函数 确定变量的限制条件 运用函数知识和方法去解决 例如 例如 一条河宽 1 千米 相距 4 千米 直线距 离 的两座城市 A B 分别位于河的两岸 现需铺设 一条电缆连通 A 与 B 已知地下电缆的修建费为 2 万元 千米 水下电缆的修建费是 4 万元 千米 假 定两岸是平行直线 问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少 15 7 3 7 2 精确到百米百元 分析 分析 这道题的背景是电缆工程的设计 其关键在于确定图中 C 点的 位置 由建立修建费用 S 的解析式所选择的不同参数可得不同的解法 解 解 设 x 千米 0 x 15 则 A 155x 2 1x 那么总修 建 费 S 2 155x 2 1x 215 2 1x 5x 2 1x x 215 xx 2 1 3 2 1x x 215 23 当且仅当 x 3 3 时 S 取最小值 215 23 此时 A 2 所以 当先沿岸铺 设 千米地下电缆 再铺设 2 千米水下电缆连通 A 和 B 时 总的修建 费用最少 此时修建费为 2 万元 方程或不等式模型 方程或不等式模型 方程和不等式是中学阶段重要的解题工具 生产和生活中广泛存在着的一些量之间的相等或不等关系 如投资决策 人口控制 资源保护 生产规划 交通运输等问题中涉及到的有关量之间 的求解问题 常常可以归结为解方程或解不等式问题 例如 例如 旅客在车站候车室等候检票 并且排队的旅客按一定的速度在 增加 设检票速度一定 当车站开放一个检票口时 需用半小时方可将待 检旅客全部检票上车 同时开放两个检票口时 只需 分钟便可将旅客全 部检票上车 现有一班增开列车过境载客 必需在 5 分钟内使旅客全部上 车 问此时车站最少应同时开放几个检票口 数学之道 在于多思数学之道 在于多思 5 分析 分析 这是一道车站旅客检票问题 涉及到的量比较多 首先应细致 阅读 弄清事理 再用数学的符号语言表示出来 解 解 设检票开始时等候检票的旅客为 x 人 排队队伍每分钟增加y 人 每个检票口每分钟检 z 人 同时开放 n 个检票口 就可以在 5 分钟内使旅 客全部检票上车 依题意得 znyx zyx zyx 55 2010 3030 3 2 1 由 1 2 得 zy zx 2 1 15 代入 3 得 5 故最少应同时开放 4 个检票口 才可在 5 分钟内使旅客全 部检票上车 数列模型 数列模型 在经济活动中 诸如增长率 降低率 存款复利 分 期付款等与年 月 份有关的实际问题 大多可归结为数列问题 即通过 建立相应的数列模型来解决 例如 例如 银行按规定每经过一定时间结算存 贷 款的利息一次 结息 后即将利息并入本金 这种计算利息的方法叫做复利 现有某企业进行技 术改造 有两种方案 甲方案555一次性贷款 万元 第一年便可获利 万元 以后每年比前一年增加 的利润 乙方案555每年贷款 1 万元 第 一年也可获利 1 万元 以后每年比前一年多获利 5 千元 两方案使用期限 都是 年 到期一次性归还本息 若银行贷款利息按年息 的复利计算 试比较两个方案哪个获利更多 参考数据 2 5 7 7 计 算结果精确到千元 解 解 甲方案 年获利是每年获利数组成的等比数列的前十项的和 2 13 1 13 1 10 2 6 万元 到期时银行贷款 的本息为 他 2 5 25 万元 甲方案扣除贷款本 息后净获利 2 6 525 6 7 万元 乙方案逐年获利组成一个等差数列 年共获利为该等差数列的前十 项的和 5 2 5 5 5 50 32 2 5 51 10 万元 而 贷 款 本 息 和 为 数学之道 在于多思数学之道 在于多思 6 11 1 11 1 10 7 5 万元 乙方案扣 除贷款本息后将获利 2 5 5 7 5 5 万元 比较可知 甲方案比乙方 案获利更多 思考 思考 两个方案使用期限多长时 乙方案会优于甲方案 几何模型 几何模型 现实世界中 诸如航行 建桥 测量 人 造卫星等涉及一定图形属性的应用问题 常常需要应用几何 图形的性质 或用方程 不等式或用三角函数知识来求解 例如 例如 距离船只 A 的正北方向 千米处有一船只 B 以 2 千米 时的速度沿北偏西 6 0角的方向行驶 A 船只以 5 千米 时的速度向正北方向行驶 若两船同时出发问几小 时后 两船相距最近 分析 分析 若设 A 行驶到 C B 行驶到 D 两船相距为 D 的长 显然已构 成 D 利用解三角形的知识可求出 D 即构造 D x 的函数关系式 解解 设 x 小时后 B 行驶到 D A 行驶到 C 依题意得 D 2 x 55x 则 D 2 D2 252 D他 他cos D