2017_18版高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题一学案北师大版选修.docx

2.2最大值、最小值问题(一)学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x)，xa，b的图像思考1观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值思考2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值(2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的_与_处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值命题角度2含参数的函数求最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪训练2已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值类型二由函数的最值求参数例3设函数f(x)ln x，m0，求f(x)的最小值为2时m的值反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值类型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围反思与感悟“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可一般地，可采用分离参数法f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.跟踪训练4已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围1函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)2函数f(x)x33x(|x|Cm Dm5设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，则实数c的取值范围1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题答案精析问题导学知识点思考1极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3不一定，也可能是区间端点的函数值梳理(1)连续不断(2)极值各极值端点最大值最小值题型探究例1解(1)因为f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.因为f(0)0，f(2)，f()，f().所以当x0时，f(x)有最小值0；当x2时，f(x)有最大值.跟踪训练1解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区间2,5上是减少的，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.例2解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上是增加的，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上是减少的，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a0，则令f(x)0，解得x.由x0,1，则只考虑x的情况当01，即0a1时，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a；当1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上是增加的，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a0)，所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增加的，所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.即f(m)ln m2，所以me.跟踪训练3解f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6