勤径网校2011智轩考研数学强化公开课--定积分的应用.pdf

1 2011 智轩考研数学强化内容节选 定积分的应用 元素法总则 在微分元范围内 任何曲线和直线等价 任何物理变量可以用常量代换 智轩第 6 技 上下原函横面积 左右反函纵面积 两轴轮换积分内 平移减函莫忘记 一 6 大几何应用 1 1 平面图形的面积应用 b a b a Sf x dx Sf x dx 几何面积 如图阴影部分 恒大于零 代数面积 有正负值 称为左右曲不相交图形 d c Syy dyyj 称为上下曲相交图形 b a Sf xg xdx 2 1 t t xx t Sy t x t dt yy t 2 1 2 Sd b a r qq 勤径考研教育 2 22 21 1 2 Sd b a rqrqq 对上下曲不相交图形 被积函数为上原函数减去下原函数 远减近 对左右曲不相交图形 被积函 数为右反函数减去左反函数 远减近 对于相交图形则为远减近的绝对值 画图以面积所在位置定正负 例 82 12yx xx 与x轴所围部分的面积为 212 001 212 001 Af x dxBf x dxf x dx Cf x dxDf x dxf x dx 解 本题为求几何面积 y与x轴的交点为 123 0 1 2xxx 而 0 10 1 20 xf xxf x 故 B正确 例 83 求曲线 2 1 2 yx 与 22 8xy 所围图形的较小部分的面积S 解 两曲线的交点为 2 2 2 2 为上下曲 则 22 2222 20 2 2 23 0 11 828 22 2 2 1144 2arcsin8222 226332 2 Sxxdxxxdx x xxxpp 例 84 设平面曲线 1 1 1 2 x Cye 2 x Cye 过点 0 1的平面曲线 3 C是单调增加函数 过 2 C 上任一点 M x y分别作垂直于x和y轴的直线 x l和 y l 记 1 C 2 C与 x l所围成的面积为 1 Sx 记 3 C 2 C与 y l所围成的面积为 2 Sx 12 SxSx 求 3 C的方程 xyj 解 先画出草图 显然三曲线交点为 0 1 3 C在最上面 1 C在最下面 2 C在中间 1 Sx为上下曲 利用原函数 1 00 11 11 22 xx xxx Sxeedxedx 2 Sx为左右曲 利用反函数 2 1 ln y Sxyydyj 2 01 11 1ln1ln 22 111 1ln 222 11 ln 22 x xy xx x yCxxxxx x y e edxyydyeyyy eeeeex e yy y jj jj j 因为始终满足 例 88 设 1 x f xt t dt 求 yf x 与x轴围成的几何面积 解 本题考查 1 几何面积 b a Af x dx 考查 2 隐含边界积分 考查 3 快速判断 0 点个数 勤径考研教育 3 1 x f xt t dt 根据积分性质显然有 10 10 ff 即两个交点 又 fxx x 故0 x 单增 故 yf x 与x轴只有上述两个交点 10 11 2Af x dxf x dx 0 233 111 111 0 121 332 xx xf xt t dtt dtxAx dx 1 2 平面曲线的弧微分 2 1 2 1 2 22 22 22 1 b x a t t yf xly dx xx t dsdxdylx ty tdt yy t ld q q rr qr qrqq 例 89 求半径为a圆的渐伸线 0 p内的弧长 解 圆的渐伸线方程为 cossin sincos xattt yattt 22 22 2 000 1 cossinsincoscossin 2 satttatttdtattattdtatdta ppp p 1 3 旋转体积 记忆秘诀 上下原函横面积 左右反函纵面积 1 3 1 设 xy VV分别表示曲线绕 x y坐标轴旋转的体积 则分为下列 8 类情形 1上下单曲线图形旋转体积 2 2 b x a b y a Vyx dx Vx y x dx p p 2上下双曲图形旋转体积 22 21 21 21 2 b x a b y a Vyxyxdx yy Vx yxy xdx p p 设 为远曲线 为近曲线 3对左右曲单曲线图形旋转体积 2 2 d x c d y c Vy x y dy Vxx dy p p 4左右曲双曲线图形旋转体积 21 21 22 21 2 d x c d y c Vy xyxydy xx Vxyxydy p p 设 为远曲线 为近曲线 1 3 2 如果旋转轴为平行于x的直线yt 或平行于y的直线xh 设 xy VV分别表示曲线绕 x y轴 的 勤径考研教育 4 平移轴旋转的体积 也分为下列 8 类情形 1上下单曲线图形旋转体积 2 2 b x a b y a Vty xdx Vhxy x dx p p 2上下双曲图形旋转体积 22 21 21 21 2 b x a b y a Vtyxtyxdx yy Vhxyxyxdx p p 设 为远曲线 为近曲线 3对左右曲单曲线图形旋转体积 2 2 d x c d y c Vtyx y dy Vhx ydy p p 4左右曲双曲线图形旋转体积 21 21 22 21 2 d x c d y c Vtyxyxydy xx Vhxyhxydy p p 设 为远曲线 为近曲线 上述计算方法 即所谓的 平移减函莫忘记 评 注 上述公式靠死记是不行的 时间长了必会混淆 但读者仔细观察一下便会发现规律 a上下曲积分变量是x 左右曲积分变量是y b上下曲图形绕x 横坐标轴 及其平行轴旋转的体积计算公式中 被积函数为原函数形式 符合面积 量纲 上下曲图形绕y 纵坐标轴 及其平行轴旋转的体积计算公式中 被积函数也为原函数形式 符合周长量纲 即所谓的 上下原函横面积 纵周长 c左右曲图形绕x 横轴 及其平行轴旋转的体积计算公式中 被积函数为反函数形式 符合周长量纲 左右曲图形绕y 纵轴 及其平行轴旋转的体积计算公式中 被积函数也为反函数形式 符合面积的 量纲 即所谓的 左右反函纵面积 横周长 d 上下曲和左右曲的旋转公式被积函数与积分元满足 x y对换规律 即所谓的 两轴轮换积分内 e平移轴 8 个公式可以直接利用坐标轴公式得出 方法是 如果是沿平行x轴yt 旋转 则相当于公 式中的被积函数含有y的因变量平移t 即ty 同理 如果是沿平行y轴xh 旋转 则相当于公式中 的被积函数含有x的因变量量平移h 即hx f除了上述 16 种情形外 其它情形不是考研数学的要求 例 90 求曲线 2 4yx 及0y 所围成的图形绕直线3x 旋转一周的体积 解法一 上下曲 纵周长 勤径考研教育 5 22 2 22 22 322 22 2234 23412231264 y Vhx ydxxxdx xxxdxxdx pp ppp 解法二 左右曲 纵面积 2 2 44 22 21 00 13 44 22 00 4 0 3434 1 12412 4 4 12 4 64 1 1 2 y Vhxyhxydyyydy ydyydyy pp pppp 评 注 比较两种解法可知解法一计算量少得多 可见 选择适当的解题方法是考研数学的关键 例 91 求 22 2xy 与yx 所围成的图形绕2x 旋转的体积 2x V 解 2 1 2 2 2 2 222 23 x Vxxxxdx pp p 例 96 曲线 2 1yx 与该曲线点 2 1处的法线及x轴所围区域绕1y 轴的旋转体积 解 法线方程为 2 2 x y 2 2 24 222 12 2 242 2 12 1 0111 012 2 69 2213 255 x Vxdxdx x xxdxdx pp ppppppp 例 求曲线 2 31yx 与x轴围成的封闭图形绕直线2x 旋转一周的体积 解 2212 22 22 01 230323034Vxdxxdxpp 12 2424 01 2 24 0 282282 448 282 15 xxdxxxdx xxdx pp pp 例 97 设 21 2 00 2f xxxf x dxf x dx 求 f x与 2 3 y 构成的封闭图形分别绕 1x 轴与 2 3 y 轴的旋转体积 解 先求 f x具体表达式 设 21 00 f t dtafdbqq 2222 2 0000 1111 2 0000 2 2 84 24 2 33 111 2 2 323 4222 3339 abaa f x dxx dxaxdxbdxa f x dxx dxaxdxbdxb abbb f xxxx 2 22 39 f xx 绕1x 轴旋转 相当于 上下曲 绕平移纵轴旋转 因为上下原函横面积 纵周 勤径考研教育 6 长 故使用周长公式 注意旋转体积不重复计算 也就是 包含在大体积内的小体积不要考虑 这 11 2 1 00 24 2121 33 x Vxf xdxxxx dxpp 11 23232 00 4474 22 3333 171415 2 4333218 xxxxdxxxx dxpp p p 2 22 39 f xx 绕 2 3 y 轴旋转 相当于 上下曲 绕平移横轴旋转 因为上下原函横面积 纵 周长 故使用面积公式 222 44 2 33 2 00 3 2224512 33333645 y Vf xdxxxdx p pp 例 设等腰三角形区域 02 Dx yyxy 绕直线 02ytt 旋转一周的最小体积 解 根据旋转体积不能重复计算的原则 故本题应该根据t的区间来计算 01t 三角形上部旋转体积完全包含下部 故无须考虑下部 根据 左右反函横周长 3 22 8 2222 36 x y tt t V tyt xdyyt ydytppp 12t 三角形上部旋转体积不能完全包含下部 故需要考虑上下两部分 但是 上部已经包含下部的 22 tt 这一部分的矩形区域 故不能重复计算 题根据 左右反函横周长 222 0 222 23 0 22 161 22284 32 t x y t t t V tty xdyyt xdy ty ydyyt ydyttt pp ppp 注意 V t在1t 连续 故 2 2 22 01 2 4 02 4 3 3 288 12 2 t t VtVtt t tt p p 求此圆绕y轴旋转一周所构成的体积和表面 积 解法一 转换法 旋转体积 22222 2 2 2 sin 4 sin cos b a y b a Vx axb dxxbatbat atdt p p pp 令 2222 0 22 2 4 8cos8babadttbap p pp p 求表面积S yf x 绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 22 21 2 1 bb aa Syfx dxf xfx dxpp 222 xbya 绕y轴旋转相当于 222 ybxa 绕x轴旋转 这是一个重要技巧 该曲线 应分成上下二枝 上下曲型 22 xaby 所以旋转体的表面积 2222 2222 2 2 aa aa aa Sbaxdxbaxdx axax pp 22 220 484 a a dx ababdtab ax p ppp 解法二 直接积分法 22222 2 2222 sin2 22 22 221 4 sincos 44sin4 cos b ab a b ab a x b at xbyaybaxb xbxdx Sxdxa axbaxb bat atdt aabat dtab at pp pp pp ppp 1 5 形心 重点 质心是针对实物体而言的 而形心是针对抽象几何体而言的 对于密度均匀的实物体 质心和形心重 合 曲线形心 在多元函数积分应用时 还有平面图形和空间图形的形心问题 请对照 平面曲线的静力矩定义 对于质量为dm质点的静力矩为 dm 质点到垂直于某方向轴的距离 xl为密度函数 2 2 2 1 1 1 b x a b y a b a xMx yy dx yMx xy dx Mxy dx l l l 方向的静力矩 方向的静力矩 物体的质量 平面曲线形心坐标 X Y如下 勤径考研教育 9 2222 2 2 1111 1 1 bbbb y aaxaa b b a a xy dxxy dxyy dxyy dx M M XY MlMl y dx fxdx 评 注 对质心只要在每项积分中加入线密度为 xl即可 当 xl 常数 即几何体均匀时 质心与形心完全重合 上述公式通用 下同 上述形心坐标公式与上下曲旋转体的侧面积公式联系起来 便得到一个非常有用的定理 古尔金第一定理 形心划出的周长 弧长 2 2 xy SYlSXlpp 均匀平面薄板 均匀平面薄板的形心坐标 X Y如下 上下曲型 2 1 2 b b a SaS SS xdxdyydxdy y dx xydx XY SSdxdydxdy 评 注 对质心只要在每项积分中加入密度函数即可 上述形心坐标公式与旋转体的体积公式联系起来 便得到另一个非常有用的定理 古尔金第二定理 形心划出的周长 面积 2 2 xy VYSVXSpp 例 102 设 f x在 0 a上连续非负 00f 在 0 a内 0fx 设 X Y为区域 2 0 0Dx yRxayf x 的形心 求证 2 3 Xa 解 0 0 a a xf x dx X f x dx 要证 2 3 Xa 等价于要证明 0 2 0 3 a xa f x dx 注意 区域的形心公式相当于平面薄板与曲线的形心公式的不同 构造辅助函数 000 22 0 33 xxx F xtx f t dttf t dtxf t dtxa 0 00 0 00 00 0 12 00 33 111111 333333 0 0 0 0 x f fxx F FF a Fxxf xf t dtF Fxxfxfxxfxxfx fxfxfx f xffxf xfxx Fx FxFxF x x xxhx xxx 显然只须证明 说明 00 2 00 3 F F xF aXa 例 103 设 f x在 0 1上连续非负 0000fff 0fx 设 X Y为区域 勤径考研教育 10 2 0 1Dx yRyf xxy 的形心 求证 3 4 X 证明 0 0 a a xf x dx X f x dx 要证 3 4 X 等价于要证明 1 0 3 0 0 1 4 xf x dxx 构造辅助函数 000 33 44 xxx F xtx f t dttf t dtxf t dt 0 0 0000 00 10 13 00 44 11 00 42 111111 444444 0 00 x fxx FF FF Fxxf xf t dtF Fxxfxf xF Fxxfxxfxxfxfx fxfxfx Fx FxFxFxFx x xxhx 显然只须证明 00 0 3 4 F FxF x X 例 104 设D由曲线 3 0 0ypxyp 及其过点 1 p的切线与x轴围成 其形心为 X Y 1求X的值 2求p的值 使D绕y轴一周而生成的旋转体体积为 6 135 y Vp 解 1 2 11 3 331 xx ypxpypp x 切线方程 1 3 0 211 0 0 2 3612 xypSpx dxpp 与 轴的交点为与 轴的交点为 区域面积 111 32 22 0 33 11847 313211 55279135 7 28 135 1 45 12 y y Mx px dxxpp xdxppxpx dxppp p M X S p 区域静力矩 2 2 2 3 2 2 0 3 1218314 1 323 33395135 p y yp Vppdyppp p p pppp 1463 1351357 2811463 22 45 121351357 yy ppp VXSVpppp pp pppp 或直接由古尔金第二定理 可见灵活运用古尔金定理 可以大大简化计算 顺便说一句 读者放心使用古尔金定理 考研阅卷认 可 1 6 函数平均值 定义 1 b a f xf x dx ba 勤径考研教育 11 例 105 设 f x连续 4 0 cos x f xf xt dtx 求 f x在0 2 p 上的平均值 解 00 xx x t u f xt dtf u du 对 4 0 cos x f xf xt dtx 两边同时对x在区间0 2 p 上积分得 4 22 000 22 00000 2 22 0 00 cos 33 1616 133 2168 x xxx x f xf xt dt dxxdx f xf u du dxf u du df u du f u duf u du pp pp pp pp pp 2 0 1233 82 0 2 f xf u du p p p pp 二 4 大物理应用 物理应用 几何应用 物理定理 2 1 压力或浮力问题 在水深为h处的压强phr r为液体的比重 如果有一