2020新课标高考艺术生数学复习：函数与方程含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：函数与方程含解析编 辑：_时 间：_第8节函数与方程最新考纲核心素养考情聚焦1.结合二次函数的图象、了解函数的零点与方程根的联系、会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体连续函数及其图象的特点、了解函数零点存在定理、探索用二分法求方程近似解的思路、能借助计算工具用二分法求方程近似解、了解用二分法求方程近似解具有一般性1.判断函数零点的个数、发展直观想象素养2.确定函数零点所在的区间、达成直观想象和逻辑推理素养3.函数零点的应用、提升直观想象和逻辑推理素养由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间、求方程的根、函数的零点个数、基本初等函数的图象是高考的热点以函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁、考查转化与化归思想、考查函数与方程思想、数形结合等思想本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多、在解答题中也有所体现、难度较大1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)、把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a、b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1,0)、(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间a、b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)、通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点、进而得到零点近似值的方法叫做二分法1若函数yf(x)在闭区间a、b上的图象是连续不断的一条曲线、并且有f(a)f(b)0、则函数yf(x)一定有零点2由函数yf(x)在闭区间a、b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0、如图所示：所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a、b上有零点的充分不必要条件3若函数f(x)在(a、b)上单调、且f(x)的图象是连续不断的一条曲线、则f(a)f(b)0函数f(x)在a、b上只有一个零点思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1) 函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)( )(2) 函数yf(x)在区间(a、b)内有零点(函数图象连续不断)、则一定有f(a)f(b)0.( )(3) 函数y2sin x1的零点有无数多个( )(4) 二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点( )(5) 若函数f(x)在(a、b)上单调且f(a)f(b)0、则函数f(x)在a、b上有且只有一个零点( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1下列函数图象与x轴均有公共点、其中能用二分法求零点的是( )解析：CA、B图中零点两侧不异号、D图不连续故选C.2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是( )A(2、1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：B易知f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260、f(1)2130、f(1)f(0)0、故函数f(x)在区间(1,0)上有零点故选B.3(人教A版教材例题改编)函数f(x)ex3x的零点个数是( )A0B1C2D3解析：B由已知得f(x)ex30、所以f(x)在R上单调递增、又f(1)30、因此函数f(x)有且只有一个零点4用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点、其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据、可得f(x)3xx4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为_解析：由题意知、函数零点在区间(1.5562,1.5625)内、又零点近似值保留三位有效数字、故零点近似值为1.56.答案：1.565函数f(x)是定义在R上的偶函数、且满足f(x2)f(x)当x0,1时、f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根、则实数a的取值范围是_. 解析：由f(x2)f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数、又f(x)为偶函数、故函数在2,3上的图象如图所示直线yax2a过定点(2,0)、在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根、等价于直线yax2a与函数yf(x)的图象有四个不同的公共点、结合图形可得实数a满足不等式3a2a2、且a2a2、即a.答案：考点一确定函数零点所在的区间(自主练透)题组集训1若abc、则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( )A(a、b)和(b、c)内B(、a)和(a、b)内C(b、c)和(c、)内 D(、a)和(c、)内解析：Aab0、f(b)(bc)(ba)0、由函数零点存在性定理可知：在区间(a、b)、(b、c)内分别存在零点、又函数f(x)是二次函数、最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a、b)、(b、c)内、故选A.2设f(x)ln xx2、则函数f(x)的零点所在的区间为( )A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：B法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x、h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)法二易知f(x)ln xx2在(0、)上为增函数、且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点3(20xx大理州一模)已知三个函数f(x)2xx、g(x)x1、h(x)log3xx的零点依次为a、b、c、则( )Aabc BbacCcab Dacb解析：D令f(x)2xx0、解得x0、令g(x)x10、解得x1、由h(x)log3xx、令h10、h(1)10、又函数h(x)是增函数、因此h(x)的零点x0.则bca.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a、b上的图象是否连续、再看是否有f(a)f(b)0时、y|lg x|的图象是函数ylg x的图象在x轴上方的部分保持不变、x轴下方的部分沿x轴对称到x轴上方在同一坐标系中画出函数y|lg x|在x0时的图象和函数y2|x|在x0时的图象当x0时、y2|x|2xx的图象就是yx的图象在y轴左侧的部分函数y2f2(x)3f(x)1的零点函数的零点就是方程的根函数y2f2(x)3f(x)1的零点、即方程2f2(x)3f(x)10的根函数y2f2(x)3f(x)1的零点、也就是方程2f2(x)3f(x)10的根、把f(x)看成一个整体、本方程就是关于f(x)的一元二次方程、通过解方程可以得出f(x)1或解方程2f2(x)3f(x)10、得f(x)1或解方程2f2(x)3f(x)10的根、是解适合此方程的x的值、也就是方程f(x)或f(x)1对应的x的值结合函数f(x)的图象、观察y和y1与yf(x)的图象交点个数零点个数函数的零点个数就是对应方程的根的个数、即方程f(x)或f(x)1对应的x的值的个数、转化为y和y1与yf(x)的图象交点个数、借助图象利用数形结合求解y和y1与函数yf(x)的图象交点个数之和即为本题的零点个数 解析第一步 作函数yf(x)的图象作出函数yf(x)的图象第二步解方程2f2(x)3f(x)10由2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1第三步观察y和y1与yf(x)的图象交点个数由图象知y与yf(x)的图象有2个交点、y1与yf(x)的图象有3个交点第四步得出函数的零点个数因此函数y2f2(x)3f(x)1的零点有5个答案5判断函数yf(x)零点个数的常用方法(1)直接法：令f(x)0、则方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在性定理法：判断函数在区间a、b上是连续不断的曲线、且f(a)f(b)0、再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象、其交点的个数就是函数零点的个数)跟踪训练1已知函数f(x)则函数yf(x)的零点个数是( )A0B1 C2 D3解析：Cf(x)0时、得或解得x1或x1.故选C.2函数f(x)xln(x1)1的零点个数是_解析：函数f(x)xln(x1)1的零点个数、即为函数yln(x1)与yx1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与yx1的图象、如图、由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2.答案：2考点三函数零点的应用(子母变式)数学建模唇齿相依的函数与方程函数的思想、是用运动和变化的观点、集合与对应的思想、去分析和研究数学问题中的数量关系、建立函数关系式或构造函数、运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题、从而使问题获得解决方程的思想、就是分析数学问题中的变量间的等量关系、从而建立方程(组)或构造方程、通过解方程或方程组、或者运用方程的性质去分析、转化问题、使问题获得解决母题若函数f(x)xln xa有两个零点、则实数a的取值范围为_解析令g(x)xln x、h(x)a、则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1、令g(x)0、即ln x1、可解得0x0、即ln x1、可解得x、所以、当0x时、函数g(x)单调递增、由此可知当x时、g(x)min.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示、据图可得a0时、由f(x)2ln x0、得xe2、所以函数f(x)的零点个数为2、故选B.3(20xx市一模)函数f(x)ex2x3的零点所在的一个区间是()A. B.C. D.解析：C因为fe20、f(1)e10、所以零点在区间上、故选C.4(20xx市模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)、且x0,1时、f(x)x、则方程f(x)log3|x|的解有( )A2个 B3个C4个 D多于4个解析：C由f(x2)f(x)可得函数的周期为2、又函数为偶函数且当x0,1时、f(x)x、故可作出函数f(x)的图象方程f(x)log3|x|的解个数等价于yf(x)与ylog3|x|图象的交点个数、由图象可得它们有4个交点、故方程f(x)log3|x|的解的个数为4、故选C.5(20xx市模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)、当x0,1时、f(x)2x1、设函数g(x)|x1|(1x3)、则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )A2 B4 C6 D8解析：Bf(x1)f(x)、f(x2)f(x1)f(x)、f(x)的周期为2.f(1x)f(x1)f(x1)、故f(x)的图象关于直线x1对称又g(x)|x1|(1x3)的图象关于直线x1对称、作出f(x)和g(x)的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在(1,3)上共有4个交点、所有交点的横坐标之和为224.故选B.6函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_解析：由题意知ff(x)1、由ff(x)得函数yff(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)的x值、解f(x)2得x3或x；解f(x)得x或x、从而函数yff(x)1的零点构成的集合为.答案：.7已知函数f(x)logaxxb(a0、且a1)当2a3b4时、函数f(x)的零点x0(n、n1)、nN*、则n_.解析：2a3b4、f(1)loga11b1b0、f