2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第三讲导数的简单应用.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第三讲导数的简单应用编 辑：_时 间：_(理)高考考点考点解读导数的几何意义(文)1.求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标2根据过某点切线方程或其与某线平行、垂直等求参数的值导数与定积分的几何意义(理)1.确定或应用过某点的切线的斜率(方程)2定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系.讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间)2根据函数的单调性.利用导数求某些参数的取值范围利用导数研究函数的极值和最值1.利用函数的极值与导数的关系.求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2根据函数极值的存在情况.利用导数求某些参数的取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质(2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极(最)值问题的方法和规律预测2020年命题热点为：(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含ex).对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sinx.cosx)函数的单调性、极(最)值问题Z 1基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f (x)0f(x)x(R)f(x)x1f(x)sinxf (x)cosxf(x)cosxf (x)sinxf(x)ax(a0.a1)f (x)axln_af(x)exf (x)exf(x)logax(a0.且a1)f (x)！ f(x)ln xf (x)！ 2.导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f_(x)g(x).(2)f(x)g(x)f_(x)g(x)f(x)g(x).(3)(g(x)0)(4)(理)若yf(u).uaxb.则yxyuux.即yxayu.3切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0.f(x0)处的切线的斜率.因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf_(x0).相应的切线方程为yf(x0)f_(x0)(xx0).4函数的单调性在某个区间(a.b)内.如果f_(x0)0(f_(x0)0).那么函数yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减)5函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义.如果对x0附近所有的点x.都有f(x)f(x0).那么f(x0)是函数的一个极小值.记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值6函数的最值将函数yf(x)在a.b内的各极值与端点处的函数值f(a).f(b)比较.其中最大的一个是最大值.最小的一个是最小值7(理)(1)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0恒成立.得x2或x1时.f (x)0.且x0；2x1时.f (x)1时.f (x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A3(20xx浙江卷.7)函数yf(x)的导函数yf (x)的图象如图所示.则函数yf(x)的图象可能是( D )解析观察导函数f (x)的图象可知.f (x)的函数值从左到右依次为小于0.大于0.小于0.大于0.对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知.排除A.C如图所示.f (x)有3个零点.从左到右依次设为x1.x2.x3.且x1.x3是极小值点.x2是极大值点.且x20.故选项D确.故选D4(文)(20xx全国卷.13)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为y2x2.解析y.k2.所以切线方程为y02(x1)即y2x2.(理)(20xx全国卷.13)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x.解析y.k2.所以切线方程为y02(x0).即y2x.5(20xx天津卷.10)已知函数f(x)exln x.f(x)为f(x)的导函数.则f(1)的值为e.解析因为f(x)exln x.所以f(x)(exln x)(ex)ln xex(ln x)exln xex.f(1)e1ln 1e1e.6(20xx江苏卷.11)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0.)内有且只有一个零点.则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为3.解析令f(x)2x3ax210a2x.令g(x)2x.g(x)20x1g(x)在(0,1)上单调减.在(1.)上单调增因为有唯一零点.所以ag(1)213f(x)2x33x21.求导可知在1,1上.f(x)minf(1)4.f(x)maxf(0)1.所以f(x)minf(x)max3.7(文)(20xx北京卷.19)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2.f(2)处的切线斜率为0.求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值.求a的取值范围解析(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex.所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2.由题设知f(2)0.即(2a1)e20.解得a.(2)方法一：由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex若a1.则当x时.f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1.则当x(0,1)时.ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知.a的取值范围是(1.)方法二：f(x)(ax1)(x1)ex.当a0时.令f(x)0得x1.f(x).f(x)随x的变化情况如下表：x(.1)1(1.)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在x1处取得极大值.不合题意当a0时.令f(x)0得x1.x21.()当x1x2.即a1时.f(x)(x1)2ex0.所以f(x)在R上单调递增.所以f(x)无极值.不合题意()当x1x2.即0a1时.f(x).f(x)随x的变化情况如下表：x(.1)1f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1处取得极大值.不合题意()当x11时.f(x).f(x)随x的变化情况如下表：x1(1.)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1处取得极小值.即a1满足题意当a.则当x时.f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a.则当x(0,2)时.x20.ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知.a的取值范围是(.)8(文)(20xx天津卷.20(1)(2)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3).其中t1.t2.t3R.且t1.t2.t3是公差为d的等差数列(1)若t20.d1.求曲线yf(x)在点(0.f(0)处的切线方程；(2)若d3.求f(x)的极值解析(1)由已知.可得f(x)x(x1)(x1)x3x.故f(x)3x21.因此f(0)0.f(0)1.又因为曲线yf(x)在点(0, f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0).故所求切线方程为xy0.(2)由已知可得f(x)(xt23)( xt2) (xt23)( xt2)39 ( xt2)x33t2x2(3t9)x t329t2.故f(x)3x26t2x3t9.令f(x)0.解得x t2.或x t2.当x变化时.f(x).f(x)的变化情况如表：x(.t2)t2(t2.t2)t2(t2.)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2)()39()6；函数极小值为f(t2)()396.(理)(20xx天津卷.20(1)(2)已知函数f(x)ax.g(x)logax.其中a1.(1)求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；(2)若曲线yf(x)在点(x1.f(x1)处的切线与曲线yg(x)在点(x2.g(x2)处的切线平行.证明x1g(x2).解析(1)由已知.h(x)axxln a.有h(x)axln aln a.令h(x)0.解得x0.由a1.可知当x变化时.h(x).h(x)的变化情况如表：x(.0)0(0.)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(.0).单调递增区间为(0.)(2)由f(x)axln a.可得曲线yf(x)在点(x1.f(x1)处的切线斜率为ax1ln a.由g(x).可得曲线yg(x)在点(x2.g(x2)处的切线斜率为.因为这两条切线平行.故有ax1ln a.即x2ax1(ln a)21.两边取以a为底的对数.得logax2x12loga(ln a)0.所以x1g(x2). 例1 (1)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直.则P的坐标为(1,1).解析yex.则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1.又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直.所以y(x0)在点P处的斜率为1.设P(a.b).则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21.可得a1.又P(a.b)在y上.所以b1.故P(1,1)(2)在平面直角坐标系xOy中.若曲线yax2(a.b为常数)过点P(2.5).且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行.则ab的值是3.解析yax2.y2ax.由题意可得解得ab3.(3)(理)若函数f(x).g(x)满足f(x)g(x)dx0.则称f(x).g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx.g(x)cosx；f(x)x1.g(x)x1；f(x)x.g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是(C)A0B1C2D3解析对于. (sinxcosx)dxsinxdxsinxdx(cosx)|cos1cos(1)(cos1cos1)0.故为一组正交函数；对于. (x1)(x1)dx (x21)dx(x3x)|1(1)20.故不是一组正交函数；对于. (xx2)dxx3dx(x4)|0.故为一组正交函数故选C.规律总结1求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0.y0).求yf(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f (x0).由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k.求yf(x)的切线方程设切点P(x0.y0).通过方程kf (x0)解得x0.再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点).求yf(x)的切线方程：设切点P(x0.y0).利用导数求得切线斜率f (x0).然后由斜率公式求得切线斜率.列方程(组)解得x0.再由点斜式或两点式写出方程2根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解3(理)利用定积分求平面图形的面积的两个关键点关键点一：正确画出几何图形.结合图形位置.准确确定积分区间以及被积函数.从而得到面积的积分表达式.再利用微积分基本定理求出积分值关键点二：根据图形的特征.选择合适的积分变量在以y为积分变量时.应注意将曲线方程变为x(y)的形式.同时.积分上、下限必须对应y的取值易错提醒：求曲线的切线方程时.务必分清点P处的切线还是过点P的切线.前者点P为切点.后者点P不一定为切点.求解时应先求出切点坐标G 1(20xx洛阳二模)设a为实数.函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x).且f(x)是偶函数.则曲线yf(x)在点(2.f(2)处的切线方程为( A )A9xy160B9xy160C6xy120 D6xy120解析由题意可得f(x)3x22axa3是偶函数.则a0.所以f(x)x33x.f(x)3x23.则f(2)2.f(2)9.则所求切线方程为y29(x2).即为9xy160.2若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0.m)处有公切线.则ab的值为( C )A1B0C1D2解析依题意得.f (x)asinx.g(x)2xb.于是有f (0)g(0).即asin020b.b0；mf(0)g(0).即ma1.因此ab1.3(理)由直线x.x2.曲线y及x轴所围成的图形的面积是( D )A B Cln 2 D2ln 2解析由定积分的几何意义.得围成的面积dxln x|2ln 2lnln 42ln 2. 例2 (20xx河南县第一高级中学段测)已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2时.求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x).在1.)上是单调函数.求实数a的取值范围解析(1)f(x)2x.令f(x)0.得x1；令f(x)0.得0x0是f(x)为增函数的充分不必要条件.如函数f(x)x3在(.)上单调递增.但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件.当函数在某个区间内恒有f(x)0时.则f(x)为常函数.函数不具有单调性G (文)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex.讨论g(x)的单调性解析(1)对f(x)求导得f (x)3ax22x.因为f(x)在x处取得极值.所以f ()0.即3a2()0.解得a.(2)由(1)得g(x)(x3x2)ex.故g(x)(x22x)ex(x3x2)ex(x3x22x)exx(x1)(x4)ex.令g(x)0.解得x0.x1或x4.当x4时.g(x)0.故g(x)为减函数；当4x0.故g(x)为增函数；当1x0时.g(x)0时.g(x)0.故g(x)为增函数综上知g(x)在(.4)和(1,0)内为减函数.在(4.1)和(0.)内为增函数(理)(20xx广州一模)已知x1是f(x)2xlnx的一个极值点(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)f(x).若函数g(x)在区间1,2内单调递增.求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0.).f(x)2.x(0.)因为x1是f(x)2xlnx的一个极值点.所以f(1)0.即2b10.解得b3.经检验.适合题意.所以b3.因为f(x)2.解f(x)0.得0x0).g(x)2(x0)因为函数g(x)在1,2上单调递增.所以g(x)0在1,2上恒成立.即20在1,2上恒成立.所以a2x2x在1,2上恒成立.所以a(2x2x)max.x1,2因为在1,2上.(2x2x)max3.所以a3. 例3 (文)设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(.)上存在单调递增区间.求a的取值范围；(2)当0a0.得a.所以.当a时.f(x)在(.)上存在单调递增区间(2)令f (x)0.得两根x1.x2.所以f(x)在(.x1)、(x2.)上单调递减.在(x1.x2)上单调递增当0a2时.有x11x24.所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)f(1)6a0.即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a.得a1.x22.从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).(理)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0.f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0.上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excosxx.所以f (x)ex(cosxsinx)1.f (0)0.又因为f(0)1.所以曲线yf(x)在点(0.f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cosxsinx)1.则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x(0.)时.h(x)0.所以h(x)在区间0.上单调递减所以对任意x(0.有h(x)h(0)0.即f (x)0.所以函数f(x)在区间0.上单调递减因此f(x)在区间0.上的最大值为f(0)1.最小值为f().规律总结利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值.则先求方程f(x)0的根.再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若探究极值点个数.则探求方程f(x)0在所给范围内实根的个数(3)若已知极值大小或存在情况.则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(4)求函数f(x)在闭区间a.b的最值时.在得到极值的基础上.结合区间端点的函数值f(a).f(b)与f(x)的各极值进行比较.从而得到函数的最值G 已知函数f(x)x32x2ax(aR)(1)若a3.试求函数f(x)的图象在x2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数f(x)在区间0,2上的最大值为2.试求实数a的值解析(1)因为a3.所以f(x)x32x23x.所以f(x)x24x3.所以f(2)222437.因为f(2)8612.所以切线方程为y127(x2).即y7x2.该直线与坐标轴的交点坐标分别为(0.2).(.0).所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积S2.(2)f(x)x24xa(x2)2a4.若a40.a4.则f(x)0在0,2上恒成立.所以函数f(x)在0,2上单调递减.所以f(x)maxf(0)2.此时a不存在若a0.则f(x)0在0,2上恒成立.所以函数f(x)在0,2上单调递增.所以f(x)maxf(2)82a2a62.解得a2.因为a0.所以此时a不存在若4a0.则函数f(x)在0,2上先单调递减后单调递增.所以f(x)maxmaxf(0).f(2)当2a6.即a0时.f(x)maxf(2)2a62.解得a2.0).所以a2.当2a6.即4a时.f(x)maxf(0)0.23.23.b.c18a.函数f(x)在x3处取得极小值.于是有f(3)27a9b3c34115.a81.a2.故选C.4若函数f(x)loga(x3ax)(a0.a1)在区间(.0)内单调递增.则a的取值范围是(B)A.1) B.1) C(.) D(1.)解析由x3ax0得x(x2a)0.则有或所以x或x0.即函数f(x)的定义域为(.)(.0)令g(x)x3ax.则g(x)3x2a.当g(x)0时.x.不合要求.由g(x)0得x0.从而g(x)在x(.0)上是减函数.又函数f(x)在x(.0)内单调递增.则有所以a0.解析yx2a.若yx3ax有三个单调区间.则方程x2a0应有两个不等实根.故a0.(理)(20xx临沂模拟)如图.已知A(0.).点P(x0.y0)(x00)在曲线yx2上.若阴影部分面积与OAP面积相等.则x0.解析因为点P(x0.y0)(x00)在曲线yx2上.所以y0x.则OAP的面积S|OA|x0|x0x0.阴影部分的面积为x00x2dxx3|x00x.因为阴影部分面积与OAP的面积相等.所以xx0.即x.所以x0.8已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时.求曲线yf(x)在(1.f(1)处的切线方程；(2)若当x(1.)时.f(x)0.求实数a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0.)当a4时.f(x)(x1)ln x4(x1).f (x)ln x3.f (1)2.f(1)0.曲线yf(x)在(1.f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1.)时.f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x.则g(x).g(1)0.当a2.x(1.)时.x22(1a)x1x22x10.故g(x)0.g(x)在(1.)内单调递增.因此g(x)g(1)0；当a2时.令g(x)0.得x1a1.x2a1.由x21和x1x21.得x11.故当x(1.x2)时.g(x)0.g(x)在(1.x2)内单调递减.此时g(x)0.r0)(1)求f(x)的定义域.并讨论f(x)的单调性；(2)若400.求f(x)在(0.)内的极值