2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题五　解析几何第3讲　第3讲　圆锥曲线的综合问题 含解析.doc

教学资料范本2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题五解析几何第3讲第3讲圆锥曲线的综合问题 含解析编 辑：_时 间：_全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷20xx直线与抛物线性质的综合应用T19求曲线方程、直线与椭圆的位置关系、最值问题T21直线过定点、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离及四边形的面积T2120xx直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程T19直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明T2020xx椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题T20点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T20解析几何是数形结合的典范.是高中数学的主要知识板块.是高考考查的重点知识之一.在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大.多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明第1课时圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 例1(20xx全国卷)已知点A(2.0).B(2.0).动点M(x.y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P.Q两点.点P在第一象限.PEx轴.垂足为E.连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解(1)由题设得.化简得1(|x|2).所以C为中心在坐标原点.焦点在x轴上的椭圆.不含左右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k.则其方程为ykx(k0)由得x.设u.则P(u.uk).Q(u.uk).E(u.0)于是直线QG的斜率为.方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG.yG).则u和xG是方程的解.故xG.由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG.即PQG是直角三角形由得|PQ|2u.|PG|.所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk.则由k0得t2.当且仅当k1时取等号因为S在2.)单调递减.所以当t2.即k1时.S取得最大值.最大值为.因此.PQG面积的最大值为.题后悟通最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的解法(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数.通过求解函数的最值解决的解法(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)多练强化(20xx河北省九校第二次联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F.若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M.N两点.且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线.且lMN.P为l上一点.求的最小值解：(1)由题意可知F.则直线MN的方程为yx.代入y22px(p0)得x23px0.设M(x1.y1).N(x2.y2).则x1x23p.|MN|8.x1x2p8.即3pp8.解得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb.代入y24x.得x2(2b4)xb20.直线l为抛物线C的切线.0.解得b1.l：yx1.由(1)可知.x1x26.x1x21.设P(m.m1).则(x1m.y1(m1).(x2m.y2(m1).(x1m)(x2m) y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.(y1y2)216x1x216.y1y24.yy4(x1x2).y1y244.16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.当且仅当m2.即点P的坐标为(2.3)时.取得最小值14. 例2(20xx安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：1(ab0)的焦点坐标分别为F1(1.0).F2(1.0).P为椭圆C上一点.满足3|PF1|5|PF2|且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A.B两点.点Q.若|AQ|BQ|.求k的取值范围解(1)由题意设|PF1|r1.|PF2|r2.则3r15r2.又r1r22a.r1a.r2a.在PF1F2中.由余弦定理得.cosF1PF2.解得a2.c1.b2a2c23.椭圆C的标准方程为1.(2)联立方程.得消去y得(34k2)x28kmx4m2120.设A(x1.y1).B(x2.y2).则x1x2.x1x2.且48(34k2m2)0.设AB的中点为M(x0.y0).连接QM.则x0.y0kx0m.|AQ|BQ|.ABQM.又Q.M为AB的中点.k0.直线QM的斜率存在.kkQMk1.解得m.把代入得34k2.整理得16k48k230.即(4k21)(4k23)0.解得k或k0).过A.B分别作x轴的垂线.与抛物线y22px(p0)在第一象限分别交于D.C两点(1)若ap.点A与抛物线y22px的焦点重合.求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点.记OCD的面积为S1.梯形ABCD的面积为S2.求的取值范围解：(1)由题意知A.则B.D.则C.又ap.所以kCD1.(2)设直线CD的方程为ykxb(k0).C(x1.y1).D(x2.y2).由得ky22py2pb0.所以4p28pkb0.得kb0.y1y20.可知k0.b0.因为|CD|x1x2|a.点O到直线CD的距离d.所以S1aab.又S2(y1y2)|x1x2|a.所以.因为0kb.所以0.2已知A.B分别为曲线C：y21(y0.a0)与x轴的左、右两个交点.直线l过点B且与x轴垂直.M为l上位于x轴上方的一点.连接AM交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆.点T为的三等分点.试求出点M的坐标(2)若a1.SMAB2.当TAB的最大面积为时.求椭圆的离心率的取值范围解：(1)当曲线C为半圆时.得a1.由点T为的三等分点.得BOT60或120.当BOT60时.MAB30.又|AB|2.故MAB中.有|MB|AB|tan 30.所以M.当BOT120时.同理可求得点M坐标为(1.2)(2)设直线AM的方程为yk(xa).则k0.|MB|2ka.所以SMAB2a2ka2.所以k.代入直线方程得y(xa).联立解得yT.所以STAB2a.解得1a22.所以椭圆的离心率e .即椭圆的离心率的取值范围为. 例3(20xx全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F.过F的直线l与C交于A.B两点.点M的坐标为(2.0)(1)当l与x轴垂直时.求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点.证明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1.0).l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2.0).所以直线AM的方程为yx或yx.即xy20或xy20.(2)证明：当l与x轴重合时.OMAOMB0.当l与x轴垂直时.OM为AB的垂直平分线.所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时.设l的方程为yk(x1)(k0).A(x1.y1).B(x2.y2).则x1.x2b0)上.O为坐标原点.直线l：1的斜率与直线OA的斜率乘积为.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线yxt(t0且tR)与椭圆C交于P.Q两点.P关于原点的对称点为R(与点A不重合).直线AQ.AR与y轴分别交于两点M.N.求证：|AM|AN|.解：(1)由题意知.kOAkl.即a24b2.又1.所以联立.解得所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1.y1).Q(x2.y2).则R(x1.y1).由得x2txt210.所以4t20.即2tb0)的离心率为.右焦点为F.以原点O为圆心.椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)如图.过定点P(2.0)的直线l交椭圆C于A.B两点.连接AF并延长交C于M.求证：PFMPFB.解：(1)依题意可设圆O的方程为x2y2b2.圆O与直线xy0相切.b1.a2c21.又.a.椭圆C的方程为y21.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在.设l的方程为yk(x2)由得(12k2)x28k2x8k220.l与椭圆有两个交点.0.即2k21b0)的离心率为e.点(.1)在椭圆D上(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0.t)的直线l的斜率为k.且与椭圆D交于M.N两点.设直线OM.ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1.k2.若对任意k.存在实数.使得k1k2k.求实数的取值范围解：(1)椭圆D的离心率e.ab.又点(.1)在椭圆D上.1.得a2.b.椭圆D的方程为1.(2)由题意得.直线l的方程为ykxt.由消元可得(2k21)x24ktx2t240.设M(x1.y1).N(x2.y2).则x1x2.x1x2.k1k22k2kt.由k1k2k.得k.此等式对任意的k都成立.即t22.点P(0.t)在椭圆内.0t22.即020)的准线l1与x轴交于点M.直线l2：4x3y60与抛物线C没有公共点.动点P在抛物线C上.点P到l1.l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M的直线与抛物线C交于两个不同的点A.B.设 .求|AB|的取值范围解：(1)作PG.PH分别垂直于l1.l2.垂足为G.H.设抛物线C的焦点为F.则F.由抛物线定义知|PG|PF|.所以点P到直线l1.l2的距离之和的最小值即为点F到直线l2的距离.故2.又p0.所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)可得点M的坐标为(1.0).由题意知直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为yk(x1)由消去x.整理得ky24y4k0.因为直线AB与抛物线交于两个不同的点.所以1616k20.所以0k21.设A(x1.y1).B(x2.y2).则y1y24.y1y2.因为.M(1.0).所以(x11.y1)(x21.y2).所以y1y2.由可得k2.所以|AB| |y1y2| .则|AB|216161616.令f().1.则f()在上单调递减.因此可得2.所以016.所以0b0)的离心率为.其左焦点到点P(2.1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A.B两点.且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP的面积取最大值时.直线l的方程解：(1)依题意知.e.左焦点(c.0)到点P(2.1)的距离d0.得a24.c21.所以b23.故椭圆C的方程为1.(2)易得直线OP的方程为yx.设A(x1.y1).B(x2.y2).AB的中点R(x0.y0)(y00).其中y0x0.因为A.B在椭圆C上.所以1.1.两式相减得0.即0.故kAB.由题意可设直线l的方程为yxm(m0).代入1中.消去y并整理得3x23mxm230.由(3m)243(m23)3(12m2)0.得2m2且m0.由根与系数的关系.得x1x2m.x1x2.所以|AB|x1x2| .又点P(2.1)到直线l的距离d.所以ABP的面积SABP|AB|d.其中2m2且m0.令f(m)(4m)2(12m2)(2m2且m0).则f(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1).令f(m)0.得m1(4和1不满足2m0.当m(1.2)且m0时.f(m)0.即34k2m20.x1x2.x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.|.即0.即(x12.y1)(x22.y2)x1x22(x1x2)4y1y20.240.7m216mk4k20.解得m12k.m2k.且均满足34k2m20.当m12k时.l的方程为ykx2kk(x2).直线恒过点(2.0).与已知矛盾；当m2k时.l的方程为ykxkk.直线恒过点.直线l过定点.定点坐标为.题后悟通直线过定点问题的解题模型多练强化1(20xx北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2.1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点.过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M.N.直线y1分别交直线OM.ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线C：x22py经过点(2.1).得p2.所以抛物线C的方程为x24y.其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0.1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.设M(x1.y1).N(x2.y2).则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1.得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0.n).则.(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0.即4(n1)20.得n1或n3.综上.以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0.1)和(0.3)2(20xx安徽省考试试题)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为P.右顶点为Q.直线PQ与圆x2y2相切于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A.B两点.且0.求证：直线l过定点解：(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2.则直线PQ的斜率kPQ.所以直线PQ的方程为y.即x2y2.可求得P(0.1).Q(2.0).故a2.b1.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率不存在时.显然不满足条件当直线l的斜率存在时.设l的方程为ykxn(n1).由消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0.(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0.得4k21n2.设A(x1.y1).B(x2.y2).则x1x2.x1x2.由0.得(x1.y11)(x2.y21)0.又y1kx1n.y2kx2n.所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20.由得n1(舍)或n.满足.此时l的方程为ykx.故直线l过定点. 例2已知椭圆C：1(ab0).过A(2.0).B(0.1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上.直线PA与y轴交于点M.直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得.a2.b1.所以椭圆C的方程为y21.又c .所以离心率e.(2)证明：设P(x0.y0)(x00.y00).则x4y4.又A(2.0).B(0.1).所以直线PA的方程为y(x2)令x0.得yM.从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0.得xN.从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值题后悟通解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始.求出定值.再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等多练强化如图所示.已知点M(a.3)是抛物线y24x上一定点.直线AM.BM的斜率互为相反数.且与抛物线另交于A.B两个不同的点(1)求点M到其准线的距离；(2)求证：直线AB的斜率为定值解：(1)M(a.3)是抛物线y24x上一定点.324a.a.抛物线y24x的准线方程为x1.点M到其准线的距离为(1).(2)证明：由题知直线MA.MB的斜率存在且不为0.设直线MA的方程为y3k.A(xA.yA).B(xB.yB)由得y2y90.yA3.yA3.直线AM.BM的斜率互为相反数.直线MB的方程为y3k.同理可得yB3.kAB.直线AB的斜率为定值. 例3(2019市学业质量调研)如图.已知椭圆C：1(ab0).其左、右焦点分别为F1(2.0)及F2(2.0).过点F1的直线交椭圆C于A.B两点.线段AB的中点为G.AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D.E两点.且|AF1|.|F1F2|.|AF2|构成等差数列(1)求椭圆C的方程；(2)记GF1D的面积为S1.OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB.使得S1S2？请说明理由解(1)|AF1|.|F1F2|.|AF2|构成等差数列.2a|AF1|AF2|2|F1F2|8.a4.又c2.b212.椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线AB.使得S1S2.显然直线AB不能与x.y轴垂直设AB的方程为yk(x2)(k0).将其代入1.整理得(4k23)x216k2x16k2480.设A(x1.y1).B(x2.y2).x1x2.点G的横坐标为.G.DGAB.k1.解得xD.即D.RtGDF1和RtODE相似.若S1S2.则|