点与直线的对称问题.doc

浅谈解析几何点与直线的对称问题编者：蔡澍辰前言：解析几何是数学很关键的一部分，高中最先接触的是直线与方程，首次接触的难点是通过坐标建立几何与代数相联系的思维，本文以其中重点直线为例浅谈解析几何思维。注：由于与坐标轴垂直的直线的相关问题较为简单，本文为了简便只讨论不与坐标轴垂直的直线，但请读者注意解题时可能需要分类讨论，本文不另作叙述。一、 基础点与点间的关系点与点的代数关系是解决解析几何问题的最基础内容，常见关系如下：1、两点连线的中点：（x1，y1）与（x2，y2）的中点是（x1+ x2）/2，（y1 +y2）/22、一个点关于另一个点的对称点：（x1，y1）关于（x2，y2）的对称点是（2 x2 -x1，2y2- y1）证明过程：设该对称点为（x3，y3），根据1则有x2 =（x1+ x3）/2，y2 = （y1 + y3）/2，整理得x3=2 x2 -x1， y3=2y2- y1。二、 进阶点与直线的关系接下来，我们需要用点和点的关系建立点与直线间的代数关系，常见关系如下：1、两点连线的中垂线：（x1，y1）与（x2，y2）连线的中垂线方程是y-（y1 +y2）/2=- (x2-x1)/( y2-y1) x-（x1+ x2）/2证明过程：两点连线的斜率为（y2-y1）/（x2-x1），中垂线斜率即为-(x2-x1)/( y2-y1)，又两点连线中点必在中点上，可用点斜式方程。2、一点关于直线的对称点：（x1，y1）关于Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点：设对称点为（x2，y2），解下列方程组：（y2-y1）/（x2-x1）*(-A/B)=-1A（x1+ x2）/2+B（y1 +y2）/2+C=0证明过程：利用1内容，该直线为两点中垂线，利用两点连线与该直线垂直、中点在该直线上两个关系列出方程组。3、直线关于一点的对称直线： Ax+By+C=0关于（x1，y1）的对称直线：(y-2y1 + y2)/ (y2-y3)=(x-2x1+x2)/( x2-x3) （x2，x1），（x3，y3）为该直线两点上证明过程：这两点关于该直线的对称点分别为（2 x1 -x2，2y1- y2），（2 x1 -x3，2y1- y3），两对称点必在对称直线上，用两点式方程。以上规律是否适用于一般题型呢？让我们用一道例题验证一下。例题：求3x-y+1=0关于点（1，1）的对称直线。解：当x=1时，y=4,当x=2时，y=7，（1，4），（2，7）在直线3x-y+1=0上(y-2*1 + 4)/ (4-7)=(x-2*1+1)/( 1-2)整理得，3x-y-5=0所以3x-y+1=0关于点（1，1）的对称直线为3x-y-5=0由此可见，只要分辨题目类型然后利用公式即可解决问题。三、 应试直线与直线的关系最后需要探讨的是直线与直线的关系，小编认为常见关系有以下几条：1、两条直线的对称轴直线方程：A1x+B1y+C1=0（A1与B1不同时为0）与A2x+B2y+C2=0（A2与B2不同时为0）的对称轴直线方程是（2y-y1-y2）/（y3+y4-y1-y2）=（2x-x1-x2）/（x3+x4-x1-x2）（x1，y1），（x3，y3）在A1x+B1y+C1=0上，（x2，y2），（x4，y4）在A2x+B2y+C2=0上证明过程：在A1x+B1y+C1=0找两点（x1，y1），（x3，y3），在A2x+B2y+C2=0上找两点（x2，y2），（x4，y4）（注意两两对应连线的中点不要重合），求出两中点坐标并使用两点式方程。2、一条直线关于另一条直线的对称直线：A1x+B1y+C1=0（A1与B1不同时为0）关于A2x+B2y+C2=0（A2与B2不同时为0）的对称直线方程求解方法为在该直线上找两个点，分别求出其关于对称轴直线的对称点再使用两点式方程，由于一般性方程过于复杂且使用难度大，本文暂不予列出。基本的点与直线的对称关系都已经探讨完毕，那么这些知识是否足够用来解答高考难题呢，来看这一道例题。例题：已知等边三角形ABC，顶点A坐标为（1，1），BC所在直线方程为2x+y-7=0，求ABC的BC边的中位线的方程。解：过A作DE平行于BC，设DE所在直线方程为2x+y+C 1=0（C 1-7），代入点A得，C 1=-3，DE方程为2x+y-3=0在直线2x+y-7=0上，当x=1时，y=5， 当x=2时，y=3， 在直线2x+y-3=0上， 当x=3时，y=-3（1，5），（2，3）在2x+y-7=0上 （3，-3）在2x+y-3=0上（2y-5+3）/（3+1-5+3）=（2x-1-3）/（2+1-1-3）整理得，2x+y-5=0，ABC的BC边的中位线的方程为2x+y-5=0由此可见，只要将问题转化为本文所讲内容，再利用公式即可解出答案。结论