2020高考数学理二轮课标通用题型练：大题专项（六）函数与导数综合问题 含解析.docx

教学资料范本2020高考数学理二轮课标通用题型练：大题专项（六）函数与导数综合问题 含解析编 辑：_时 间：_8大题专项(六)函数与导数综合问题题型练第72页一、解答题1.设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex(xR).f(1)=(1-a)e.由题设知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e0,所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若a,则当x时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a,则当x(0,2)时,x-20,ax-1x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是2.已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.(2)求F(x)的最小值m(a);求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解：(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=当0x2时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=3.设函数f(x)=x3-x2+ax,aR.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=x3-x2+ax,aR,所以f(x)=x2-x+a.因为x=2是f(x)的极值点,所以f(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因为g(x)=x3-(1+a)x2+ax+,所以g(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a),当a1时,x(0,1),g(x)0恒成立,即g(x)单调递增.又g(0)=0,因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.当0a0,即g(x)单调递增;x(a,1),g(x)0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,所以(1+a)+a+0,解得a-1,舍去.当a0时,x(0,1),g(x)0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,解得a-1满足条件.综上可得,a的取值范围是(-,-1).4.已知函数f(x)=ax-a+1-(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解：(1)f(x)=ax-a+1-,f(x)=a-函数f(x)为减函数,f(x)0,即a对x(0,+)恒成立.设m(x)=,则m(x)=m(x)在区间内单调递减,在区间(,+)内单调递增.m(x)min=m()=-a-,即a-e-3,故实数a的取值范围是(-,-e-3.(2)易知函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=设h(x)=ax2-(a-1)x-ln x,则原命题等价于函数h(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围,可知h(x)=ax-(a-1)-,当a0时,函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.若函数h(x)有两个不同的零点,则必有h(1)=-a+12.此时,在x(1,+)内,有h(2)=2a-2(a-1)-ln 2=2-ln 20;在x(0,1)内,h(x)=a(x2-2x)+x-ln x,-1x2-2x-a+x-ln x,h()-a+-ln()=0,h(x)在区间(0,1),(1,+)内各有一个零点,故a2符合题意;当a=-1时,可知函数h(x)在区间(0,+)内单调递减,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当-1a0,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当a0,函数h(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(2,+).5.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,bR,且a0),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若对任意x,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.解：(1)由f(x)=,得f(x)=,由题意得f(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=xf(x)-g(x)=x2-(a+e)x+aeln x,则任意x,f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在区间有且只有两个零点.由h(x)=x2-(a+e)x+aeln x,得h(x)=,当a时,由h(x)0得xe;由h(x)0得xe.此时h(x)在区间内单调递减,在区间(e,+)内单调递增.因为h(e)=e2-(a+e)e+aeln e=-e20(或当x+时,h(x)0亦可),所以要使得h(x)在区间内有且只有两个零点,则只需h+aeln0,即a当a0得xe;由h(x)0得axe.此时h(x)在区间(a,e)内单调递减,在区间和(e,+)内单调递增.此时h(a)=-a2-ae-aeln a-a2-ae+aeln e=-a2e时,由h(x)0得xa,由h(x)0得exa,此时h(x)在区间和(a,+)内单调递增,在区间(e,a)上单调递减,且h(e)=-e20,即h(x)在区间内至多只有一个零点,不合题意.综上所述,a的取值范围为6.(20xx全国,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.()证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;()求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解：(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)()证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.()由()可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-