2017_18学年高中数学第一讲第1节不等式创新应用教学案.docx

第1节 不等式核心必知1实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系(1)设a，bR，则abab0；abab0；abab0(2)设b(0，)，则1ab；1ab；1ab.2不等式的基本性质对称性如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba传递性如果ab，bc，那么ac即ab，bcac可加性如果ab，那么acbc可乘性如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc乘方如果ab0，那么anbn(nN，n2)开方如果ab0，那么(nN，n2)问题思考1若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，则ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出恒成立即恒成立的不等式有2已知三个不等式：ab0，bcad0，0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？提示：由已知可组成三个命题若ab0，bcad0，则0，此命题正确，只需在不等式bcad0两侧同除以ab，根据不等式性质，整理即得结论；若ab0，0，则bcad0，此命题正确，只需在不等式0两侧同乘以ab，根据不等式性质，整理即得结论；若0，bcad0，则ab0，此命题正确，因为00，又因为bcad0，故ab0即可组成的正确命题有3个xR，比较x31与2x22x的大小精讲详析本题考查利用作差法比较两个代数式的大小解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x31与2x22x的大小(x31)(2x22x)(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)x2x10，当x1时，(x1)(x2x1)0.即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x.(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论1xR，比较(x1)与(x2x1)的大小解：因为(x1)(x1)(x1)(x2x1)(x1)，(x2x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)作差，得(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)(x2x1)(x2x)0，(x1)(x2x1).下列命题中正确的是()(1)若ab，cb，则ac；(2)若ab，则lg0；(3)若ab，cd，则acbd；(4)若ab0，则0，所以ab0，两边同乘以，得.(5)错误只有当cd0时，结论才成立(6)正确因为cd，所以dc，又ab，所以adbc.综上可知(4)(6)正确答案：B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减2(广州二模)设a，b为正实数，则“ab”是“ab成立的”()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：选C若a0，b0，则，ab.若a0，b0a2bbab2aa2bab2ba0，ab(ab)(ab)0(ab)(ab1)0ab0ab1，0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogacb1，0cbc，选项A不正确yx，(1，0)在(0，)上是减函数，当ab1，0c1，即1c10时，ac1bac，选项B不正确ab1，lg alg b0，alg ablg b0，.又0c1，lg c0.，alogbclogbc，选项D不正确一、选择题1(浙江高考)若a，b为实数，则“0ab1”是“a或b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A对于0ab1，如果a0，则b0，a成立，如果a0，则b0，b成立，因此“0ab1”是“a或b”的充分条件；反之，若a1，b2，结论“a或b”成立，但条件0ab1不成立，因此“0ab1”不是“a或b”的必要条件；即“0ab1”是“a或b”的充分而不必要条件2已知a，b，cR，且ab0，则下面推理中正确的是()Aabam2bm2 B.abCa3b3 Da2b2ab解析：选C对于A，若m0，则不成立；对于B，若c0，则不成立；对于C，a3b30(ab)(a2abb2)0，a2abb22b20恒成立，ab0，ab.又ab0，.C成立；对于D，a2b2(ab)(ab)0，不能说ab.3已知a0，1b0，那么()Aaabab2Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：选Dab2abab(b1)，a0，1b0，b10，ab0.ab2ab0.即ab2ab；又ab2aa(b21)，1b0，b21，即b210.又a0，ab2a0，即ab2a.故abab2a.4如果aR，且a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2aBaa2a2aCaa2aa2Da2aaa2解析：选Ba2a0，即a(a1)0可得，1a0，aa20，0a2a.综上有aa2a2a.二、填空题5若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x)解析：f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110，f(x)g(x)答案：6有以下四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0.其中能使成立的有_个条件解析：b0，0.a0，0.ba0，.a0b，0，0.ab0，.综上知，均能使成立答案：37给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中能推出logblogalogab成立的条件的序号是_(填所有可能的条件的序号)解析：logb1，若1ab，则1b，logaloga1，故条件不可以；若0ab1，则b1.logablogaloga1logb，故条件可以；若0a1b，则01，loga0，logab0，条件不可以故应填.答案：8下列命题：cacbab；ab0，cd0；，且c0ab；(nN，n1)ab.其中真命题是_(填序号)解析：cacbabab.ab0，cd00， .0，c0，有或即或不正确，中无论n为奇数或偶数，均可由(nN，n1)ab.正确答案：三、解答题9已知，求，的范围解：，.因而两式相加得.又，.又，0.0.即，.10已知a0，A1a2，B1a2，C，D，试比较A，B，C，D的大小解：a0，不妨取a，可得A，B，C，D，由此猜测CABD.CA(1a2)，1a0，a0，0，CA.AB(1a2)(1a2)2a20，AB.BD1a2.，a0，1a0，0.BD.综上，CABD.11已知f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围解：由4f(1)1，1f(2)5得：设uac，v4ac，则有a，c，f(3)9acuv.又1uv20，即1f(3)20.f(3)的取值范围为1，20第2课时基本不等式核心必知1定理1如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2定理2(基本不等式)如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均3算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们就称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均4利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值问题思考1在基本不等式中，为什么要求a，b(0，)?提示：对于不等式，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b(0，)2利用基本不等式求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值已知a，b，c为正实数，求证：(1)8；(2)abc.精讲详析本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对ab，bc，ca分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可(1)a，b，c为正实数，ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.即8.(2)a，b，c为正实数，ab2，bc2，ca2，由上面三式相加可得(ab)(bc)(ca)222.即abc.(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当时取等号”这句话要搞清楚1设a，b，cR，求证： (abc)证明：a2b22ab， 2(a2b2)(ab)2.又a，b，cR，|ab|(ab)同理：(bc)，(ac)三式相加，得 (abc)当且仅当abc时取等号.已知x0，y0，且1，求xy的最小值精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”2求函数f(x)(x0)的最大值及此时x的值解：f(x)1.因为x0，所以2x2，得(2x)2，因此f(x)12，当且仅当2x，即x2时，式子中的等号成立由于x0，因而x时，等号成立因此f(x)max12，此时x.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有Sxy，由题意，得40x245y20xy3 200，由基本不等式，得3 200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，从而S100.因此S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 8092 10 80910 989，当且仅当9x，即x10时取等号即该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)90061 8000.99x9 729(x35)，令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2).x2x135，x2x10，x1x20，100x1x20, f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x当x35时为增函数，当x35时，f(x)有最小值，此时y210 069.710 989.该厂应接受此优惠条件本课时经常考查基本不等式在求函数最值中的应用，其中，建立函数模型，利用基本不等式求解最值问题是高考的热点考题印证(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.v Dv命题立意考查基本不等式的应用，考查应用数学知识解决实际问题的能力解析选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为。从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av.一、选择题1设x、y为正实数，且xy(xy)1，则()Axy2(1)Bxy2(1)Cxy(1)2 Dxy(1)2解析：选Ax0，y0，xy(xy)1xy1(xy)1(xy)xy2(1)2已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1解析：选Dx，x2.f(x)(x2)2 1，当且仅当，即x3时，等号成立f(x)min1.3(湖南高考)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：选C由，知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.4(陕西高考)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab解析：选B代入a1，b2，则有0a11.5b2，我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.二、填空题5已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，所以2 ，即 1，解得xy3，所以其最大值为3.答案：36(湖南高考)设x，yR，且xy0，则的最小值为_解析：144x2y2142 9，当且仅当4x2y2时等号成立，即|xy|时等号成立答案：97若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确； a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故错误；1112，当且仅当ab时取等号，故正确答案：8(陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_解析：(ambn)(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2abmnmn(a2b2)4ab2(a2b2)2(2aba2b2)2(ab)22(当且仅当mn时取等号)答案：2三、解答题9已知a，b，x，yR，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，1，xy的最小值为18，求a，b.解：xy(xy)abab2()2，当且仅当时取等号又(xy)min()218，即ab218，又ab10，由可得或10设x0，y0且xy4，要使不等式m恒成立，求实数m的取值范围解：由x0，y0，且xy4，得1，当且仅当时等号成立，即y2x(x0，y0，y2x舍去)，此时，结合xy4，解得x，y.的最小值为.m，即m的取值范围是.11. 如图所示，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB100千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车以v千米/小时的速度从B站沿BA方向行驶至A站即停止前行(甲车仍继续行驶) (1)求甲、乙两车的最近距离(两车的车长忽略不计)；(2)若甲、乙两车从开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t0小时，问v为何值时，t0最大？解：(1)设乙车行驶t小时到D，甲车到E，若0tv100，则DE2AD2AE2(100tv)2(50t)2(2 500v2)t2200vt10 000.当t时，DE2取最小值，DE也取最小值.若tv100，则乙车停止，甲车继续前进，所以DE越来越大由、知，甲、乙两车的最近距离为千米(2)t01.当且仅当v，即v50千米/小时时，t0最大第3课时三个正数的算术几何平均不等式核心必知1三个正数的算术几何平均不等式如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2n个正数a1，a2，an的算术几何平均不等式对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当a1a2an时，等号成立问题思考1满足不等式成立的a，b，c的范围是什么？提示：a，b，c的范围为a0，b0，c02应用三个正数的算术几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值当且仅当三个正数相等时取得已知xR，求函数yx(1x2)的最大值精讲详析本题考查三个正数的算术几何平均不等式在求最值中的应用解答本题要根据需要拼凑出利用其算术几何平均不等式的条件，然后再求解yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y2.当且仅当2x21x21x2，即x时取“”号y.y的最大值为.(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用算术几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性1已知xR，求函数yx2(1x)的最大值解：yx2(1x)xx(1x)xx(22x).当且仅当x22x，即x时取等号此时，ymax.设a、b、cR，求证：(1)(abc)227；(2)(abc).精讲详析本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题(1)a，b，cR，abc30，从而(abc)290，又30，(abc)23927当且仅当abc时，等号成立(2)a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).当且仅当abc时，等号成立三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致2设0a1，0b1，0c1，求证：abc(1a)(1b)(1c).证明：0a0.0a(1a).同理0b(1b)，0c(1c).当且仅当abc时，以上三个式子等号成立将以上三个不等式相乘得abc(1a)(1b)(1c).已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积精讲详析本题考查算术几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术几何平均不等式求最大值设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，r(Hh)V圆柱r2h(Hh)2h(0hH)根据平均不等式可得V圆柱hR2H.当且仅当h，即hH时，V圆柱最大R2H.(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的3制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？解：设圆柱形饮料盒的体积为V(定值)，底面半径为r，高为h，表面积为S.则Vr2h，h.S2r22rh2r22r23 .即当2r2，r时表面积最小此时h2r.即饮料盒的底面半径为r，高为2 时，用料最省本课时经常考查算术几何平均不等式在求最值中的应用本考题以解答题的形式考查了算术几何平均不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点考题印证已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26，并确定a，b，c为何值时，等号成立命题立意本题考查基本不等式、算术几何平均不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算能力解法一：因为a，b，c均为正数，由平均不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以9(abc).故a2b2c23(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原不等式等号成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c2abbcac3336.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc3时，原不等式等号成立一、选择题1设x0，则yx的最小值为()A2B2C3 D3解析：选Dyx33，当且仅当时取“”号2设x，y，zR且xyz6，则lgxlgylgz的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：选Blg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz，lg(xyz)lg83lg2(当且仅当xyz2时，等号成立)3若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选Cxyx2xyxyx23333(当且仅当xyx2，即x1，y2时，等号成立)4已知a，b，cR，x，y，z，则()Axyz