1第一章数值计算引论1.ppt

数值计算方法 数理系 穆静静Email mujing0404 第1章数值计算引论 1 1数值计算方法 本课程简称为 计算方法 又称 数值分析 科学计算 数值分析与数值计算 它是一门研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法以及相关理论的课程 计算数学VS 纯粹 数学 纯粹 数学解决的是数学问题 通过数学求解方法求的的是解析解 正确解 计算数学解决的是数值问题 通过特定数值求解方法求得的解是近似解 数值解 很多数学问题的解析解不一定求的到 但数值解一般都能够求得到 数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法 对那些在经典数学中 用解析方法在理论上已作出解的存在 但要求出他的解析解又十分困难 甚至是不可能的这类数学问题 数值解法就显得不可缺少 同时又十分有效 课程地位与作用 随着科学技术的飞速发展 科学计算愈来愈显示出其重要性 科学计算的应用之广已遍及各行各业 例如 气象资料的分析图像 飞机 汽车及轮船的外形设计 高科技研究等都离不开科学计算 因此 作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学 物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课 也是工科硕士研究生的学位必修课 课程地位与作用 在数值计算中 有的方法在理论上虽不够严格 但通过实际计算 对比分析等手段 被证明是行之有效的方法 也可以采用 因此 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点 又有应用的广泛性与实验的高度技术性特点 是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程 课程地位与作用 重点讨论 数值问题的来源 课程要求 1 重视手算 2 独立按时完成作业 把作业写在作业纸上 交给课代表 要在下次上课前交给我 一旦上课 不再收交作业 课时安排 理论学习 54课时 期末闭卷考试 上机实验 一周 编制解题程序 上机软件为Matlab7 0 举例 本题用一般方法很难求得精确解 故可考虑使用数值方法 例如图解法 解 令 等数值方法求出其近似解 例2 计算定积分 解 1 由牛顿 莱布尼兹公式得 利用数值方法 分别选取梯形公式 辛普森公式 柯特斯公式 2 该积分由于被积函数没有原函数 故用牛顿 莱布尼兹公式无法求解 但由积分存在条件知其可积 故可采用数值方法求解 从上可知 很多数学问题虽在理论上存在精确解 但很难将其求出 有些数学问题虽有理论上的准确的公 式解 但不一定实用 又例如行列式中的Cramer法则原 则上可用来求解线性方程组 用这种方法解一个n元方程 组 要算n 1个n阶行列式的值 总共需要n n 1 n 1 次 乘法 即使 用每秒千亿次的计算机也得需要上百年 方法 如高斯 Guass 消去法约需2660次乘除法运算 而用数值计算 并且愈大 相差就愈大 可见研究和选择好的算法是非常 重要的 当n 20时 其乘除法运算次数约需次方 1 2误差的来源 1 数的分类 精确数 精确地反映实际情况的数 又称准确数或 真值 近似数 近似地反映实际情况的数 又称近似值 误差 准确值与近似值之差 在数值算法中 绝大多数情况下是不存在绝对的严格和精确的 在考虑数值算法时应该能够分析误差产生的原因 并能将误差限制在许可的范围之内 数值 数 数字 由0 9十个数字 小数点和正负号等组成的数 2 误差的来源 模型误差 数学模型与实际问题之间的差距 观测误差 数学模型中所取参数的值与其真实值之间的误差 也称测量误差 截断误差 数学模型的准确解与利用数值方法得到的准确解之间的误差 注 在数值计算方法中不研究上述两种误差 总认为数学模型是正确合理地反映了客观实际 只是对求解数学模型时产生的误差进行分析研究 舍入误差 由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差 1 3近似数的误差表示 1 绝对误差 定义1 1 简称误差 简记为 特点 1 可正可负 3 2 有量纲 定义1 2 如果 简称误差限 特点 绝对误差限 的程度越好 精度越高 例1 1 用一把有毫米刻度的尺子 测量桌子的长度 读出来的值 似值 由尺子的精度可以知道 这个近似值的误差 不会超过 这里绝对误差限 误差限是末位的半个单位 11 23517四舍五入保留6位数字为 11 2352 误差为 0 00003 误差限可取为 0 00005 即末位的半个单位 0 31842四舍五入保留3位数字为 0 318 误差为 0 00042 误差限可取为 0 0005 即末位的半个单位 定义1 2 设 四舍五入 的绝对误差限 四舍五入保留位数字 得到近似值 四舍时 五入时 则四舍五入的误差限 四舍五入得到的近似数的绝对误差限是其末位的半个单位 四舍时 五入时 n个0 n个0 n 1个0 n个0 四舍五入得到的近似数的绝对误差限是其末位的半个单位 2 相对误差 定义1 3 注 1 相对误差无量纲 常用百分数表示 2 相对误差反映了近似数的准确程度 相对误差 越小 精确度就越高 3 计算时由于真值往往未知 故常取 作为的相对误差 测量10mm 误差1mm 测量1m 误差2mm 定义1 4 如果 相对误差限 注 1 相对误差限无量纲 常用百分数表示 2 相对误差可由绝对误差限求出 绝对误差限 也可由相对误差限求出 例1 4 相对误差限 取3 14作为的四舍五入的近似值时 试求其 解 作为四舍五入近似值的绝对误差限 是其末位的半个单位 即 则其相对误差限 3 有效数字 定义1 5 设数的近似值 若 准确 若近似值的绝对误差限是某位的半个单位 则称 精确到该位 若从该位到的左面第一位非零数字一 则称近似值有位有效数字 共有位 注 例如 或用定义 故 即4位有效数字 取3 142315作为的近似值时 有几位有效数字 故有3位有效数字 四舍五入得到的近似数的绝对误差限是其末位的半个单位 注 4 准确值被认为具有无穷多位有效数字 4 有效数字与相对误差 定理1 1 效数字 则其相对误差 分析 具有位有效数字 则 定理1 2 则该近似数至少具有位有效数字 分析 由定义知其至少具有位有效数字 1 4数值运算误差分析 函数运算误差 当自变量有误差时 函数也会相应的产生误差 通常用泰勒公式分析这种误差 设一元函数的自变量的近似值为 的 近似值为 对在近似值附近泰勒展开 移项有 取绝对值有 记 相对误差 绝对误差 1 5数值稳定性和减小运算误差 1 数值稳定性 一个算法 如果计算结果受误差的影响小 就称 这个算法具有较好的数值稳定性 否则 就成数值稳 定性不好 例如计算积分 由分部积分法得 即 由 代入公式依次递推得出 如下表第一列 由于被积函数 因此积分值非负 观察知 显然出错 Whathappened 这个误差在后续计算中累积传播 导致计算误差不断 增大 因此这一算法是不稳定的 考虑将递推式改写为 由积分估计式 得 故 取 反向递推 结果见表中第二列 注 表中第三列为真值 2 减小运算误差 1 两个相近的数相减 会严重损失有效数字 3 绝对值太小的数不宜做除数 4 简化计算步骤 减少运算次数