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文档简介

矩阵的初等变换有非常重要的应用 不仅用于求解线性方程组 而且还可用于求逆矩阵 矩阵的秩及求向量组的极大无关组等 同时 与初等变换有关的初等矩阵 也是线性代数理论中的一个重要工具 初等矩阵 第i行 第j行 定义初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵 三种初等行 列 变换对应着三种不同的初等矩阵 1 交换两行 或列 第i行 2 以非零数乘以某一行 或列 第i行 第j行 3 把某一行 或列 的k倍加到另一行 或列 上 例如 经过一次初等变换可以得到下列几种初等矩阵 先看如下的例子 相当于对实A施第一种初等行变换 再看如下的例子 相当于对实A施第一种初等列变换 可以证明 的行乘以 的行的倍加到行上 交换的 两行 的列乘以 的列的倍加到列上 交换的 两列 定理 初等方阵都是可逆的 且有以下求逆结果 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵 初等矩阵的性质 1 A是可逆矩阵 2 齐次线性方程组只有零解 3 A可以经过有限次初等行变换化为 4 A可表示为有限个初等矩阵的乘积 证 1 2 设A是可逆矩阵 那么存在 于是 逆矩阵定理 为了得到利用矩阵初等变换求矩阵的逆的方法 我们首需要建立如下的定理 定理3 逆矩阵定理 设A为阶矩阵 那么下列各命题等价 因此 齐次线性方程组只有零解 R中非零行的行数等于n 从而 故也可以经过有限次初等变换为A 即 存在初等矩阵使得 为行最简形矩阵R 因为只有零解 可知 2 3 设齐次线性方程组只有解 由前面的知识知道 A可以经过有限次初等行变换化为 3 4 设A可以经过有限次初等行变换为 由于矩阵初等变换是可逆的 4 1 设可表示为有限个初等矩阵的乘积 即 由于初等矩阵是可逆的矩阵 且可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵 故A是可逆矩阵 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 设阶矩阵A可逆 由定理3存在初等矩 使得 即 利用分块矩阵 上面两式可合并表示为 表明可以经过一系列初等行变换化为 表明可以经过一系列初等行变换化为 通过一系列初等行变换把变成的同时 就变成了 例判定矩阵 是否可逆 解 A所对应的齐次方程有非零解 所以不可逆 例利用初等行变换求矩阵 的逆矩阵 解 所以 矩阵方程问题 求矩阵 使 其中是可逆矩阵 可知
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