高二数学 平行六面体与长方体 ppt.ppt

平行六面体与长方体 学习目标 1 理解平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体的概念 2 掌握四棱柱之间的从属关系 3 掌握平行六面体的性质 4 掌握长方体的性质 复习提问 1 棱柱的定义中 强调了棱柱的二个特点 它们分别指什么 2 棱柱分为斜棱柱 直棱柱 正棱柱的依据是什么 3 棱柱的三条性质 平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱 直平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体 长方体 底面是矩形的直平行六面体 正方体 棱长都相等的长方体 特殊的四棱柱 一 平行六面体与长方体 四棱柱 平行六面体 长方体 直平行六面体 正四棱柱 正方体 底面变为平行四边形 侧棱与底面垂直 底面是矩形 底面为正方形 侧棱与底面边长相等 几种六面体的关系 其关系为 练习 下列四个命题 正确的是 a 底面是矩形的平行六面体是长方体b 棱长都相等的直四棱柱是正方体c 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体d 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 d 二 特殊的四棱柱性质 问题1 在平面几何中平行四边形 长方形各有什么性质 平行四边形对角线互相平分 长方形的长为a 宽为b 则对角线长为l2 a2 b2 问题2 在立体几何中平行六面体 长方体是否也有类似的性质呢 定理1 平行六面体的对角线相交于一点 并且在交点处互相平分 已知 平行六面体abcd a b c d 求证 对角线ac bd ca db 相交于一点o 且在点o处互相平分 证明 设o是a的中点 则 设p m n分别是 的中点 同样可证 由此可知o p m n四点重合 定理得证 结论 1 平行六面体的对棱平行且相等 2 平行六面体的对角线交于一点 并且在交点处互相平分 3 平行六面体的四条对角线的平方和等于它12条棱的平方和 定理2 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 证明 结论 长方体ac 中 ac 是它的一条对角线 则 例1 若长方体的三个面的面积分别为 和 则长方体的对角线长为 解 设长方体的长 宽 高分别为a b c 对角线长为l 则 把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上 展开后的图形称为棱柱的侧面展开图 展开图的面积称为棱柱的侧面积 棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积之和 棱柱的侧面积和体积 s侧 s1 s2 直棱柱 斜棱柱 s侧 s1 s2 v斜棱柱 s底 h高 棱柱的侧面积和体积 v直棱柱 s底 h高 s底 l侧棱 s侧 直截面周长 侧棱长 v斜棱柱 直截面面积 侧棱长 例2 如图在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cd的中点 1 求证 ad d1f 2 求ae与d1f所成的角 3 证明 平面aed 平面a1fd1 f e 例2 如图在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cd的中点 1 求证 ad d1f 2 求ae与d1f所成的角 3 证明 平面aed 平面a1fd1 解 1 ac1是正方体 ad 平面dc1 d1f 平面dc1 ad d1f f e 解 2 取ab中点g 连结a1g ge fg f是cd中点 gf ad gf ad 又a1d1 ad a1d1 ad gf a1d1且gf a1d1 gfd1a1是平行四边形 a1g d1f且a1g d1f 设ae a1g交于h 则 aha1是ae与d1f所成的角 a b c d a1 b1 c1 d1 e f h 例2 如图在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cd的中点 1 求证 ad d1f 2 求ae与d1f所成的角 3 证明 平面aed 平面a1fd1 解 3 ad d1f ae d1f 又ad ae a d1f 平面aed 又d1f 平面a1fd1 平面aed 平面a1fd1 例2 如图在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cd的中点 1 求证 ad d1f 2 求ae与d1f所成的角 3 证明 平面aed 平面a1fd1 例3 平行六面体abcd a1b1c1d1的棱长都相等 且 b1c1d1 cc1b1 cc1d1 60 1 求证 平面acc1a1 平面bb1d1d 2 若aa1 a 求c到平面a1b1c1的距离 a b c d a1 b1 c1 d1 例3 平行六面体abcd a1b1c1d1的棱长都相等 且 b1c1d1 cc1b1 cc1d1 60 1 求证 平面acc1a1 平面bb1d1d 2 若aa1 a 求c到平面a1b1c1的距离 解 1 作co 平面a1b1c1于o 由 cc1b1 cc1d1 o在 b1c1d1的角平分线上 又因为a1b1c1d1是菱形 o在a1c1上 根据三垂线定理 由b1d1 a1c1得d1b1 cc1 b1d1 平面a1c1ca 平面bb1d1d 平面a1c1ca a b c d a1 b1 c1 d1 2 作om b1c1于m 连cm 由三垂线定理得cm b1c1 在rt cc1m中 cc1 a cc1m 60 rt c1mo中 oc1m 30 有oc1 于是oc2 cc12 c1o2 即得c到平面a1b1c1的距离为 a b c d a1 b1 c1 d1 o c1m 例3 平行六面体abcd a1b1c1d1的棱长都相等 且 b1c1d1 cc1b1 cc1d1 60 1 求证 平面acc1a1 平面bb1d1d 2 若aa1 a 求c到平面a1b1c1的距离 应用 1 下列说法正确的是 a 直四棱柱是直平行六面体b 底面是平行四边形的棱柱是平行六面体c 底面是矩形的平行六面体是长方体d 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 2 长方体同一顶点的三个面对角线长分别为a b c 则它的体对角线长为 b c 解 建立如图空间直角坐标系作be ac于e mf ac于f得 3 如图 已知正三棱