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高中数学选修1 1 第二章圆锥曲线与方程 第四课时 2 2 2双曲线的简单几何性质 直线与双曲线的位置关系 典例讲评 例2 过点P 2 2 的直线被双曲线x2 2y2 8截得的弦MN的中点恰好为P 求该直线的方程 中点弦问题 例3 已知双曲线2x2 y2 2 问过点N 1 1 能否作一直线与双曲线交于C D两点 且使点N是CD的中点 若存在 求出CD的方程 若不存在 说明理由 例1 已知过点A 2 1 的直线与曲线2x2 y2 2交于P Q两点 求线段PQ的中点M的轨迹方程 例4 课本P54 第5题如图 圆O的半径为定长r A是圆O外一个定点 P是圆上任意一点 线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q 当点P在圆上运动时 点Q的轨迹是什么 为什么 变式1 若定点P在圆O内呢 变式2 若定点P在圆O上又怎样 例5 试确定直线与双曲线的公共点的个数 代入 得 例5 试确定直线与双曲线的公共点的个数 方程变为 这就是说 当时 直线恰与双曲线 的渐近线平行 直线与双曲线右支的一个交点的横标为 1 当即时 y x o F1 F2 方程是二次方程 当即 时 方程组有两组不等的实根 这时直线与双曲线有两个不同的交点 时 y x o 当时 直线与双曲的两支各有一个交点 时 当或时 y o x 直线与双曲线的右支有两个交点 当即时 y x o 方程组有相个等的实根 这时直线与双曲线只有一个公共点 为直线与双曲线相切 当即时 方程组无实数解 这时直线与双曲线没有公共点 y x o 判断直线与双曲线位置关系的一般思路 直线方程与双曲线方程联立并消元 一元一次方程 一元二次方程 直线与双曲线的渐近线平行 计算判别式 相交 一个公共点 0 0 0 相交 相切 相离 1 过双曲线的右焦点F作倾斜角为60 的直线l 若直线l与双曲线右支有且只有一个交点 求双曲线离心率的取值范围 e 2 课堂练习 2 已知直线时 问直线与双曲线公共点的个数 y x o 3 若直线与双曲线只有一个公共点 求的值 典例讲评 例7 设两动点A B分别在双曲线的两条渐近线上滑动 且 AB 2 求线段AB的中点M的轨迹方程 典例讲评 EX 设F1 F2为双曲线的左 右焦点 P为双曲线右支上一点 已知PF2 x轴 PF2 6 双曲线的离心率为 求双曲线的顶点坐标 6 0 1 双曲线的对称性和离心率与椭圆类似 但范围和顶点与椭圆有所不同 渐近线是双曲线的一个特有性质 课堂小结 2 双曲线的离心率和渐近线都能换算为a b c任意两个数之间的直接关系 也是确定双曲线的一个基本条件 在解题中会经常遇
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